普通高中新课程数学教学指导.pdf

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1、 普通高中新课程数学教学指导 目录 第一章 高中数学新课程的设计思路整体把握课程 第一节 高中数学新课程的结构框架 高中数学课程由三部分组成。第一部分是必修课程，由五个模块组成。每个模块要学习 36 个课时，这是每个学生都要学习的内容。第二部分是选修 1、2 系列课程，这部分内容可以选择。对于希望在人文社科方面发展的学生，可以选择选修 1 系列课程，该系列有两个模块，72 个课时；对于希望在理工等方面发展的学生，可以选择选修 2 系列课程，该系列有三个模块，108 个课时。第三部分是选修 3、4 系列课程。这部分内容，学生可以根据自己的兴趣和需求选择，其功能将在后面介绍。高中数学课程的整体结构

2、如下框图所示。1.2 高中数学课程的框图说明 选择性是这次高中数学课程的重要变化，理解选择性是认识课程结构的基础。必修课程 必修系列课程由 5 个模块组成。数学 1：集合、函数概念与基本初等函数 I（指数函数、对数函数、幂函数）；数学 2：立体几何初步、平面解析几何初步；数学 3：算法初步、统计、概率；数学 4：基本初等函数 II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换；数学 5：解三角形、数列、不等式。选修课程 选修课程由选修1，选修2，选修3，选修4等四个系列课程组成。选修 1 系列课程：由两个模块组成。选修 1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用；选修 1-2：统计案例、推理

3、与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。选修 2 系列课程：由三个模块组成。选修 2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何；选修 2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入；选修 2-3：计数原理、统计案例、概率。选修3系列课程：由六个专题组成。选修3-1：数学史选讲；选修3-2：信息安全与密码；选修3-3：球面上的几何；选修3-4：对称与群；选修3-5：欧拉公式与闭曲面分类；选修3-6：三等分角与数域扩充。选修4系列课程：由十个专题组成。选修4-1：几何证明选讲；选修4-2：矩阵与变换；选修4-3：数列与差分；选修4-4：坐标系与参数方程；选修4-5：不等式选

4、讲；选修4-6：初等数论初步；选修4-7：优选法与试验设计初步；选修4-8：统筹法与图论初步；选修4-9：风险与决策；选修4-10：开关电路与布尔代数。关于课程系列的说明 必修课程内容是每个学生都必须学习的数学内容，旨在满足未来公民的基本数学需求，同时为学生进一步的学习提供必要的数学准备。选修课程，是学生可以根据自己的兴趣和对未来发展的愿望进行选择的数学内容，旨在满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高数学修养奠定基础。选修1系列课程是为希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的，选修2系列课程则是为希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的。从这个意义上来说，选修1，选修

5、2系列课程内容也是高中数学课程中的基础性内容。选修3和选修4系列课程是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的，所涉及的内容都是数学的基础性内容，反映了某些重要的数学思想，有助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识，有利于学生终身的发展，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。学生可根据自己的兴趣、志向进行选择。根据选修3系列课程内容的特点，选修3系列不作为高校选拔考试的内容，对这部分内容学习的评价适宜采用定量与定性相结合的方式，由学校进行评价，评价结果作为高校录取的参考。各个学校可以根据实际情况，在选修3和选修4中，可以先开设部分内容，

6、随着新课程的推进，逐步的扩大选修专题的数量。数学探究、数学建模的思想以不同的形式渗透在各模块和专题内容之中。1.3 高中数学新课程的开设顺序 必修系列课程是选修 1，选修 2 系列课程的基础。选修 3，选修 4 系列课程基本上不依赖其他系列的课程，可以与其他系列课程同时开设，这些专题的开设可以不考虑先后顺序。必修系列课程中，数学 1 是数学 2，数学 3，数学 4 和数学 5 的基础。第二节 高中数学新课程的内容框架 我们采取框图的形式介绍课程内容，其目的是希望读者容易对高中数学的内容有一个整体的把握。我们将会在后面的部分详细的介绍内容的定位，把整体和局部有机的结合起来是把握好高中课程一个好的

7、方法。2.2 必修课程与选修 1、2 系列课程的内容体系的内容框图 2.3 选修 3、4 系列课程内容说明 1选修 3 系列的内容说明 选修 3 由六个专题组成：数学史选讲，球面上的几何，对称与群，欧拉公式与闭曲面分类，信息安全与密码，三等分角与数域扩充。选修 3 的内容是以前的高中没有正式开设的，一些学校以选课或课外活动的形式开设过。选修 3 中专题的内容需要认真深入地体会其中蕴涵的思想。“数学史选讲”是希望告诉学生数学发展的一个基本的脉络，选择了数学历史发展中一些重要的事件、成果作为线索，介绍一些伟大的数学家的贡献和奋斗人生。对球面上的几何，顾名思义，讨论“球面上图形的性质”，我们学过平面

8、几何，这两种几何有什么相同，有什么不同？球面上的几何有什么用处？“球面上的几何”这一专题主要就讨论这些问题。“对称”是日常生活中常用的词，特别在生活中有很多“对称的”很漂亮的图形，这些对称图形不相同，如何对它们加以区别？这些对称图形中蕴涵了什么数学思想方法？“对称”有什么用处？“对称与群”专题将讨论这些问题。欧拉是最伟大的数学家之一，他的成就非常丰富，多面体的欧拉公式就是其中之一。四面体、长方体等都是多面体，欧拉发现了：这些图形的“面数减去棱数再加上顶点数等于 2”，并且他给出了很好的证明。这是很有趣的，它反映了这些图形曲面的性质。那么，是否还有其他图形也有这样的性质？是否所有多面体的曲面都有

9、这样的性质？等等。“欧拉定理与闭曲面分类”这个专题将回答这些问题。在“信息时代”，传送信息时对保密的要求越来越大。在“信息安全与密码”中，将告诉学生一些基本的数学原理，学生可以通过操作，进一步了解和熟悉常用的信息安全保密的方法。“用尺规可以三等分角吗？”这是学生都想了解的一个问题。在“三等分角与数域扩充”这个专题中，将引导学生一步一步地解决这个问题。学生会发现，解决这样问题与做习题不大一样，其中蕴涵着一种思考方法，不论是否专门学习数学，这种思考问题的方法都是很有用的。希望学生喜欢这些选题，选几个学一下，会对数学有一些新的感觉。中国一些著名数学家，像华罗庚、段学复、熊庆来等，曾引导年轻一代人学习

10、这些内容，对当时年轻人的发展起了很大作用。2选修 4 系列的内容说明 选修 4 包括十个专题，可以分为三类：一类是与中学数学内容密切联系的，例如，几何证明选讲，不等式选讲，坐标系与参数方程。一类是中小学数学课程内容拓展的，例如，矩阵与变换，数列与差分，初等数论初步。另一类是数学应用方面的选题，例如，风险决策，优选法与实验设计，统筹法与图论初步，开关电路与布尔代数。这样的分类并不严格，仅仅是提供思考的背景。选修 4 与选修 3 一样，需要认真深入地体会其中蕴涵的思想，这些思想在今后学习和工作中会有很大用处。以下我们对这十个专题作一个简要的介绍，在后续的内容中还将针对这些专题的教学进行详细的研讨。

11、几何证明选讲 几何课程是数学课程的主要内容，也是中小学数学课程的主要内容。在高中必修课程中，我们设置了立体几何初步、解析几何初步、平面向量等几何课程的内容，在选修 1、2 课程中，我们设置了圆锥曲线、空间向量与立体几何等几何课程内容。在本专题中，我们是在义务教育数学课程学习的基础上，设置了两部分的内容。一部分内容是以直线与圆的关系为载体，利用相似的理论，讨论圆与直线的位置关系，及其位置关系中的一些几何结果。这部分内容可以成为一个相对独立的体系，对于提高学生的逻辑推理能力会发挥一些作用。在另一部分内容中，我们利用综合几何的方法，依托锥面与平面的关系，讨论它们所截得的曲线的几何特征，即讨论圆锥曲线

12、的基本性质。不等式选讲 恒等关系和不等关系是数学中两种基本的关系，也是中小学数学课程的基本内容，这些内容都是依托不同运算对象的运算规律来完成的。在高中必修课程中，我们设置了有关不等式和简单线性规划的内容。本专题在义务教育课程的基础上，进一步讨论了不等式的基本性质和基本不等式；绝对值不等式及其几何意义，并利用绝对值不等式的几何意义证明和求解一些绝对值不等式；认识柯西不等式的几种不同形式及其几何意义，用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况；用向量递归方法讨论排序不等式；了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题；会用数学归纳法证明贝努利不等式；会用上述不等式证明一些简单问题。能

13、够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值；通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。坐标系与参数方程 解析几何有两个核心概念，一个是坐标系，一个是在坐标系中建立曲线与方程的关系。在义务教育阶段和高中必修课程中，主要学习直角坐标系，并在直角坐标系中讨论了直线、圆、圆锥曲线，及其这些曲线与方程的关系。本专题将在义务教育课程的基础上，介绍极坐标系、柱坐标系、球坐标系等内容，在这些坐标系中讨论简单曲线（直线、圆、圆锥曲线、摆线等）与它们方程的关系。矩阵与变换 在义务教育阶段我们学习了几种重要的几何变换，例如，反射变换，旋转变 换，平移变换，放缩变换等。

14、本专题在义务教育的基础上，介绍反映上述变换的代数表达形式 二阶矩阵，把二阶矩阵看作表示变换的工具，二阶矩阵把平面上的每一个点或每一个向量变成平面上另一个点或一个向量。在这里，矩阵就是映射。我们讨论了反映变换的矩阵的基本性质及其几何意义、在讨论问题中的作用。对于矩阵来说，既可以把它看作一个代数的研究对象，从运算的角度来讨论它；矩阵又可以看作描述几何变换的对象。在本专题中，我们更强调矩阵的几何背景和在讨论几何问题中的作用。数列与差分 函数是数学中一类重要的对象，对于可导的函数，导数和微分是研究这些函数的基本工具。数列是一类特殊的函数，有时也称为“离散”的函数，差分是研究这一类函数的工具。本专题在义

15、务教育学习的基础上，利用差分工具讨论了一些简单数列的规律，例如，等差数列、等比数列以及一阶差分数列。初步体会研究数列这样的离散函数的思想方法。初等数论初步 整数有加、减、乘、除的运算，整数除法是大家熟悉的运算。本专题的第一个重要概念就是除法，特别是带余除法。它可以很好的反映整数的性质，能够很好的对整数进行分类。素数是本专题的另一个重要概念，我们将帮助学生体会素数在研究整数性质中的作用。本专题的另一个重要概念是同余，同余反映了整数之间的一种新的关系，同余类又为我们提供了一种新的运算平台，我们将利用同余的概念讨论一种新的方程形式简单的同余方程、同余方程组。试验设计与优选法 本专题分成两个部分，一部

16、分是针对多因素问题学习如何设计试验方案，以求得实现试验次数少，而试验效果好的目的。在这部分内容中，我们通过具体的实例介绍了两种选择试验方案的工具，一种是拉丁方，另一种是正交表。本专题的第二部分内容就是优选法，在生产实践和科学试验中，人们为了达到优质、高产、低消耗等目的，需要对有关因素的最佳点进行选择。这些选择最佳点的问题，都称之为选优问题。解决这些选优问题的方法称为优选法。上世纪70 年代，我国著名数学家华罗庚在全国推广和普及了优选法，大大地提高了我国科技工作者、管理工作者、普通大众的科学素养和数学水平。在这部分我们将学习运用优选法解决简单实际问题的方法。统筹法与图论初步 本专题由两部分内容组

17、成，一部分是统筹法，另一部分是图论初步。统筹方法是我们日常生活、生产实践中常用的一种数学方法，它可以帮助我们合理安排人力、物力等资源。1964 年，中国著名数学家华罗庚在全国对这种方法进行了大力推广，提高了广大科学工作者、管理人员和普通群众的科学素养。本章将通过实例介绍统筹方法的数学原理和应用。本专题的第二部分内容就是图论初步。图论是数学中有广泛实际应用的一个 分支。心理学、化学、电工学、运输规划、管理学、销售学以及教育学等各个不同领域内的许多问题都可以描述为图论的问题。在这一部分我们将介绍有关图论的基本概念和图论中的几个基本问题，例如，生成树问题，最短路径问题等。开关电路与布尔代数 在初中物

18、理中，我们都学习了三种基本的电路串联电路、并联电路和逆反电路。我们已经熟悉了这些电路的基本功能，也能熟练的利用这些电路搭建较为复杂的电路。在本专题中，我们将给出这些电路的代数刻画布尔代数，讨论它们的运算性质，并利用这些运算性质讨论简单电路的设计问题。风险与决策 风险与决策是统计概率应用中的一类问题。一个随机现象中，“损失”是一个随机变量，“损失”的均值就叫做“风险”，在做决策时，希望平均“损失”达到最小，即“风险”最小。在本专题的教学中，一方面仍应突出这样一个目标，就是通过对具体问题的分析，经历统计的全过程，并且不断地加深对于风险问题的认识。另一方面，在统计问题中，我们还应该认识到“损失”的随

19、机性。因此，不断地加深对于随机思想的认识，是学好本专题教学的关键。在本专题中，离散的随机变量及其数学期望和方差是三个核心概念，它们是刻画“风险”的三个核心概念。第三节 设计思路内容主线 20 世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。克莱因提出了一个重要的思想以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合。”高中数学课程设计中，把函数作为贯穿整个高中数学课程始终的主线，这条线将延续到大学的数学中，我们知道，大学几乎所有的专业都开设了高等数学，有文科的高等数学

20、，有工科的高等数学，在数学系中，有数学与应用数学专业、信息与计算专业、统计数学专业，这些专业开设了不同高等数学内容的课程，虽然，不同的专业开设不同的高等数学课程，但是，函数是这些高等数学课程的一条主线，在数学系课程中，尤显突出，例如，数学分析、复变函数、实变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等，这些课程都是把函数作为研究对象。函数、映射不仅是数学的基本研究对象，它们的思想渗透到几乎每一个数学分支。在高中阶段，如何认识函数的作用？如何把握函数的内容？如何进行函数的教学？学生学完高中课程，在函数的学习中，应留下什么呢？每一个高中数学教师都应该认真思考这些问题。1对函数的认识 （1）函数是刻画

21、变量与变量之间依赖关系的模型 把函数看作是刻画变量与变量之间依赖关系的模型，通过探索，理解可以用变量与变量之间的依赖关系反映自然规律，这是我们认识现实世界的重要视角。在现实生活中，在其他学科中，有些变量和变量之间没有依赖关系，例如，一般的说，速度和湿度就没有依赖关系；有些变量和变量之间存在着依赖关系，一个量的变化引起另一个量的变化。例如，在物理中刻画物体运动时，路程随着时间的变化而变化。又如，世界人口数量是随着时间的变化而变化的。这些对象的变量之间都有着密切的依赖关系，而且，这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征，即当一个变量取定一个值时，依赖于这个变量的另一个变量有唯一确定的值。具有这种特

22、征的变量之间的依赖关系在现实世界中大量存在。例如，在汽车的运动中，运动时间和速度是有依赖关系的两个变量，在任何时刻，汽车只能有唯一的一个速度。又如，邮局按邮件的重量收取邮资，邮资与邮件的重量是有依赖关系的两个变量，对同类型具有一定重量的邮件，只能收取唯一确定的邮资。函数正是反映变量与变量之间这种依赖关系的，它是刻画现实世界中自然规律的重要模型。这也是数学联系实际的基础。（2）函数是联结两类对象的桥梁 把函数看作是联结两类对象的桥梁，即通常说的映射关系。在高中阶段，函数的定义为：给定两个实数集合 A、B，对集合 A 的任一元素 a，按照某种对应关系 f，在集合 B 中存在唯一元素 b 与之对应，

23、即 f(a)=b。我们称这个对应关系 f为集合 A 到集合 B 的一个函数关系，简称函数,记作：f:AB。这是用映射的观点刻画函数，它反映两个数集之间的关系，在两个数集之间架起了一座桥梁。这样的看法反映了数学中的一种基本思想。在代数学中，同构、同态都是构架两个代数结构的桥梁。在拓扑学中，连续、同胚都是构架两个拓扑结构的桥梁。这种思想渗透到每一个数学分支中。（3）函数是“图形”函数关系是平面上点的集合，又可以看作平面上的一个“图形”。在很多情况下，函数是满足一定条件的曲线。因此，从某种意义上说，研究函数就是研究曲线的性质，研究曲线的变化。运用这种看法，函数可以看作数形结合的载体之一。实际上，高中

24、数学课程中的数形结合主要有三个载体：解析几何、向量几何、函数。在讨论函数问题时，帮助学生养成画函数图形，并且用函数图形思考问题的习惯。树立“图形意识”是掌握函数性质、学好函数的关键。以上是认识函数的三个不同角度，它们可以帮助我们更全面地认识函数，也是学生在高中阶段中应留下的东西。这些对于进一步学习是很重要的。进入大学，在高等数学的学习中，我们还会学习认识函数的新的视角，例如，在很多情境中，常常要把具有某些形式的函数作为一个整体，并讨论整体的结构。2中学数学研究函数的什么性质 数学中研究函数主要是研究函数的变化特征。因为，函数的变化特征反映了它所刻画的自然规律的特征。在高中阶段主要研究函数的单调

25、性、周期性。也讨论某些函数的奇偶性。单调性是在高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质。就是当自变量增加（减少）时，函数值是增加还是减少？单调性反映的是某个范围里函数的变化，不是函数的局部性质。从几何的角度看，就是研究函数图像走势的变化规律。在高中数学课程中，对于函数这个性质的研究分成两个阶段。第一阶段，安排在必修 1 中。要求理解单调性的图形直观，理解单调性的定义，通过大量的具体函数，理解单调性在研究函数中的作用。单调性与函数图形有密切联系，了解了函数的单调性，基本上就可以决定函数图形的走势；反过来，掌握了函数图形的走势，也就基本上了解了函数的单调性，这是掌握函数的最基本的东西；单调性与不

26、等式联系密切，单调性的形式化定义是借助于不等式给出的。反之，具体函数的单调性反映了一些不等关系。关于单调性的证明一定要把握好它的“度”，一般的只证明以下几种函数的单调性：y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=x3,y=x-1,y=x.我们应该看到，还可以运用导数与函数单调性的关系来证明上述函数的单调性，这样，我们就会有不同的思想、方法、工具研究函数。对数函数、指数函数单调性的证明也不作要求，因为对数函数、指数函数单调性的严格证明是有难度的。学习了导数的知识，可以给出说明。第二阶段，安排在选修系列 1、2 课程的导数及其应用中。导数是描述函数变化率的概念，导数概念可以帮助我们对“函数的变化”有

27、进一步了解。在这一部分内容中，要求学生理解导数与单调性的联系：在一个区间内，如果函数在每一点的导数大于零，则函数是递增的；如果函数在每一点的导数小于零，则函数是递减的；反之，也可以用单调性判断导数的符号。在一个区间内，递增函数如果有导函数，那么每一点的导数大于或等于零；在一个区间内，递减函数如果有导函数，那么每一点的导数小于或等于零。这些结论的证明要用到拉格朗日中值定理，在高中是不要求的。此外，在高中阶段，对严格单调性和单调性的区别不必深究，否则，会因小失大。对于一些对数学有兴趣的同学，教师可以适当引导他们阅读一些相关的参考书。周期性是中学阶段学习函数的另一个基本的性质。周期性反映了函数变化周

28、而复始的规律。在我们的生活中，存在着大量的周期变化的现象，大到宇宙的变化，例如，在太阳系中，行星围绕太阳的运动；小到粒子的变化。因此，学会用周期的观点来看待周围事物的变化是非常重要的。周期函数，比如，正弦和余弦函数、正切和余切函数都是刻画周期变化的基本函数模型。用周期的观点来研究周期函数，可以使我们集中研究函数在一个周期里的变化，在此基础上，就可以了解函数在整个定义域内的变化情况。在高中数学课程中，不讨论一般函数的周期性，只讨论基本的具体三角函数的周期性，例如，正弦、余弦、正切函数的周期性。奇偶性也是我们在中学阶段学习函数时要研究的函数的性质，但它不是最基本的性质。奇偶性反应了函数图形的对称性

29、质，偶函数图形是关于 y 轴对称的，奇函数图形是关于原点对称的，奇偶性反应图形的对称与坐标系的选择有关。奇偶性可以帮助我们用对称思想来研究函数的变化规律。在高中数学课程中，对于一般函数的奇偶性，也不做深入讨论，只讨论基本的具体函数的奇偶性，例如，简单幂函数的奇偶性，如，y=x2,y=x3,y=x-1。3具体函数模型 了解函数的形式定义，仅仅是理解函数的一部分，理解函数一个重要方法，就是在头脑中留住一批具体函数的模型。在高中阶段，学生应留住哪些函数模型呢？如何让学生把这些模型留在头脑中，并能帮助思考问题？这是每位教师应该思考的问题。对于一个好的数学教育工作者，要帮助学生对每一个抽象的数学概念，使

30、他们在头脑中都有一批具体的“模型”。要帮助学生养成这样一种学习数学的好习惯。幂函数、指数函数、对数函数、三角函数是基本初等函数，这些函数是最基本的，也是最重要的。还有简单的分段函数，一些有实际背景的函数，等等。这些都是基本的、重要的函数模型。（1）线性函数 y=ax+b 与幂函数相联系，它的图形是一条直线；它是函数关系中最常见的，也是最简单的；在很多情况下，例如，在研究比较复杂的函数时，我们常常用它在一点附近的线性函数来近似表示，“以直代曲”是微分的基本思想。（2）正整数指数幂函数 正整数指数幂函数 y=xn也是基本的函数，它们的代数和构成我们熟悉的多项式函数，这些函数都是“好”的函数。所谓好

31、，是指它具有任意阶导数，非常的光滑。此外，它们还有一个极为重要的性质，对于任意一个“好的函数”，在一定范围内都可以用多项式函数来近似地表示，在高等数学中，称为泰勒公式，这是高等数学的重要结果之一，它就是建立在正整数指数幂函数的基础上的。这也是为什么幂函数重要和基本的原因之一。在高中阶段，对幂函数不做一般的讨论，仅仅讨论几种简单的情况：例如，y=x3,y=x-1,y=x。一元二次函数是最重要的一类多项式函数，在高中阶段，我们对这类函数作了详细的研究，我们应该很好掌握这一类函数。（3）指数函数、对数函数 指数函数、对数函数本身都是重要的函数，在刻画自然规律时，它们是用的最多的函数，也是最基本的函数

32、；同时，它们是好函数，它们具有任意阶导数。我们从两个角度认识指数函数、对数函数。一个角度是运算，从运算的角度认识指数、对数的运算规律，利用运算的规律研究函数；另一个角度是函数，从函数的角度认识指数函数、对数函数的规律。对数函数（底数大于 1）、多项式函数（例如，y=x2）、指数函数（底数大于1），这三类函数都是随着自变量的增加而增加，但是，它们增长的速度是不同的，对数函数最慢，多项式函数快一些，指数函数最快，在实际中，我们常常分别称为：对数增长，多项式增长，指数增长，这些是刻画增长的最基本的模式。（4）三角函数 周期现象是现实世界最基本的现象之一，三角函数是刻画周期现象最基本的模型，三角函数包

33、括正弦函数、余弦函数、正切函数等等。很多现实生活中的周期现象都可以用这些三角函数表示。三角函数也是最基本的周期函数，通过三角函数可以帮助我们更好地理解周期函数；三角函数也都是好的函数，具有任意阶导数；三角函数的代数和可以用来表示更多的函数（包括那些好的和不好的函数，如，某些不连续的函数），构成三角级数的理论，它是数学中分析学的基本内容，它还是重要的一个数学分支调和分析、小波分析的基础，小波分析是图像压缩技术的基础，具有极为广泛的应用。综上所述，幂函数、指数函数、对数函数、三角函数都是最基本的初等函数，高中数学的最重要的任务之一就是要把这些基本初等函数模型留在学生脑子里，这些模型是思考其他函数问

34、题的基础。对于上述基本初等函数模型，我们希望学生在脑子里留下三方面的东西：背景，从函数模型的实际背景的角度把握函数；图像，从几何直观的角度把握函数；基本变化，从代数的角度把握函数的变化情况，如，指数函数（底数大于 1）变化之所以快是因为指数运算将和变为积，对数函数（底数大于 1）变化之所以慢是因为对数运算将积变为和。对于函数的教学，教师应该有一个全面的设计，思考一下，高一上学期做什么，下学期做什么，高二上学期做什么，高三下学期做什么。通过函数的教学，要使函数在学生头脑中扎下根。4函数与其他内容的联系 函数作为高中数学的一条主线，贯穿于整个高中数学课程中。特别是在方程、不等式、线性规划、算法、随

35、机变量等内容中都突出的体现了函数思想。（1）函数与方程 用函数的观点看待方程，可以把方程的根看成函数与 x 轴交点的横坐标，即零点的横坐标，因此，解方程 f(x)=0 就是求函数 y=f(x)的零点的横坐标，从而，方程可看作函数的局部性质，求方程的根就变成了思考函数图形与 x 轴的交点问题。函数图形与 x 轴的交点是函数的局部性质，如何利用函数的整体性质来讨论函数的局部性质？这是解决方程问题的基本思想。具体来说，如果函数 y=f(x)连续，且 y=f(x)在区间a,b两端点的值异号，即f(a)f(b)0，那么函数图像会从（a,f(a)）点出发一定会穿过 x 轴到达（b,f(b)）点，即方程 f

36、(x)=0 在区间a,b内有解，原因就是由于函数不间断。如果函数有这一性质我们就可以运用二分法求出方程的近似解。例如，判断方程 x2x6=0 的根的存在性。我们可以考察函数 f(x)x2x6，其图像为抛物线，如图。容易看出，f(0)=60，f(4)=60，f(4)=140，由于函数 f(x)的图像是连续曲线，因此点 B(0,6)与点C(4,6)之间的那部分曲线必然穿过 x 轴，即在区间(0,4)内必有一点 x1，使 f(x1)0；同样，在区间(4,0)内也必有一点x2，使 f(x2)0。所以，方程 x2x6=0 有两个实根。我们可以用学过的解方程的方法来验证这个结论。二分法本质上就是用函数的整

37、体性质：“函数在闭区间连续，且端点函数值异号，”去寻求函数图像与 x 轴的交点。除了二分法外，在数学分析中，还有一些用整体性质讨论方程近似求解的方法。这些方法都是从整体看待局部。例如，切线法，如果一个函数 y=f(x)在闭区间有一阶导数，则可用切线法求方程 f(x)=0的解；又如，割线法，如果一个函数 y=f(x)在闭区间有二阶导数，则可用割线法求方程 f(x)=0 的解。在“计算方法”中可以证明：切线法比二分法快，割线法比切线法快。这是因为，割线法比切线法要求函数具有更好的性质，切线法比二分法要求函数具有更好的性质。有了近似逼近求方程解的思想，解方程的视野界开阔了，微积分的作用也就体现出来了

38、。在初中，解方程的思路只局限在用恒等变形来解方程，时间和精力主要花在恒等变形上。（2）函数与数列 数列是特殊的函数。它的定义域一般是指非负的正整数集，有时也可以为自然数集，或者自然数集的子集。自然数是离散的，因此，数列通常称为离散函数，离散函数是相对于定义域为实数或者实数的区间上的函数而言的。数列作为离散函数，在数学中有着自己的重要地位。在高中和大学，我们所遇到的大部分函数都是“好函数”，“好函数”不仅是连续的，而且是可导的，像幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等都是好函数，它们具有任意阶导数。数列在研究这些连续函数中发挥着重要作用。在高中阶段，主要讨论一些特殊的数列等差、等比数列的性质。等

39、差数列、等比数列都是基本的数学模型，在我们日常经济生活中许多经济问题都可以归结为等差数列、等比数列模型。例如，存贷款、教育储蓄、分期付款、商家返卷等等问题，都可以用等差数列、等比数列来刻画。等差数列是线性函数的离散化，而等比数列是指数函数的离散化。（3）函数与不等式 函数 y=f(x)的图像把坐标系的横坐标轴分成若干部分区域，一部分区域是使函数值等于 0，即0)(xfyx；一部分区域是使函数值大于 0，即 0)(xfyx；一部分区域是使函数值小于 0，即0)(xfyx。用函数的观点看，就是确定使函数图像 y=f(x)在轴x上方或下方的x的区域。这样，我们首先确定函数图像与x 轴的交点（方程 f

40、(x)=0 的解），再根据函数的图像来求解不等式。4 0 4 x 6 y A 6 14 B C 例如，解一元二次不等式。首先分析函数cbxaxy2的图像与x轴有三种关系：不相交、有一个交点、有两个交点。如果再考虑函数cbxaxy2的图像（抛物线）的开口方向，就有六种情况：开口向上的三种情况和开口向下的三种情况。对于每一种情况，我们都能根据函数图象确定出x的范围（x的范围可能是一个区间，也可能是两个区间的并，也可能只有一个点或是空集）。因此，解一元二次不等式)0(02cbxax的问题就归结为以下算法：第一步，确定函数cbxaxy2图象的开口方向（根据a的符号判断）；第二步，确定函数cbxaxy2

41、图象与x轴的关系（根据判别式判断）；第三步，确定x的范围。用函数的观点来讨论不等式的问题，无论是对于理解函数的思想，还是解不等式的有关问题，都是非常有益的，有助于更好的理解这些知识本身和解决有关问题。（4）函数与线性规划 线性规划问题是最优化问题的一部分，从函数的观点看，首先，要确定目标函数，用目标函数来刻画“好、坏”或“大、小”等，在这里，目标函数实际上是二元函数，在具体问题中，学生是不难接受这个概念；接着，需要确定目标函数的可行域（由约束条件确定目标函数的定义域），用平面区域图形可以非常清晰地表达可行域（目标函数的定义域）的特征，可行域的边界是由“直线围成的区域”，其边界上定点的个数是有限

42、的；最后，讨论目标函数在可行域（由约束条件确定的定义域）内的最值问题，为此，认识目标函数的变化趋势，使用等高线（其上函数值相等的平面上的直线）可以直观地给出了目标函数的变化趋势。解线性规划问题，可归结为以下算法：第一步，确定目标函数；第二步，确定目标函数的可行域；第三步，确定目标函数在可行域内的最值。例 1 某医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每 10 g含 5 单位蛋白质和 10 单位铁质，售价 3 元；乙种原料每 10 g 含 7 单位蛋白质和4 单位铁质，售价 2 元。若病人每餐至少需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质，试问：应如何使用甲、乙两种原料，才能既满足营养

43、，又使费用最省？解：首先，确定目标函数。设甲、乙两种原料分别用 10 x g 和 10y g；病人需要使用的费用为：z3x2y；然后，确定目标函数的可行域（定义域）。病人每餐至少需要 35 单位蛋白质，可表示为：5x+7y35；同理，对铁质的要求可以表示为：10 x+4y40；这样，问题成为求目标函数在可行域（有约束条件确定）上的最小值。或者说，在约束条件,0,0,40410,3575yxyxyx下，求目标函数z=3x+2y 的最小值。最后，求目标函数在可行域上的最小值。做出可行域，如图。令 z0，作直线 l0：3x+2y=0。由图形可知，把直线 l0平移至点 A 时,z 取最小值.由,404

44、10,3575yxyx 得 A(3,514)即需甲种原料2810514（g），乙种原料 310=30（g）时，费用最省。（5）函数与算法 在算法中，最基本和重要的结构之一是循环结构。循环结构是理解算法的一个难点，难在对于循环变量的理解。循环结构是通过给循环变量赋值来实现循环的，给循环变量每赋一次值，就执行一次循环。循环变量使得循环体得以“循环”，循环变量控制了循环的“开始”和“结束”，是刻画循环结构的关键。用函数来刻画循环变量，把循环变量看作“运算次数”的函数。循环结构中的循环变量分为两种形式。一种循环变量的值可以取“运算次数”，以此来控制循环次数。例如，从 1000个数中选出最大数的算法，首

45、先，选择一个数，然后，任选一个数与之比较，留下大的数，这算作一次运算，再进行重复，循环变量的值可以取“运算次数”，“运算次数”达到999 次，算法就可以结束。另一种循环变量的值可以取“运算结果”。是控制结果精确度的变量，例如用二分法求方程 f(x)=0 在区间0,1上的一个近似解的算法，区间0,1是有解区域，每作一次运算，就得到缩小的新有解区域，循环变量的值可以取为有解区域的长度，也可以称为精确度。那么，在这个算法过程中，循环变量达到要求的精确度，算法就可以结束。循环变量体现了函数的思想。因为“循环”的过程是依赖于循环变量取值的变化而一步步实现的，这种依赖关系体现了函数的思想。在算法设计中，选

46、择适当的循环变量是得到好算法的关键。总之，在高中课程中，函数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、导数及其应用，包括概率统计中的随机变量等，以及选修系列 3、4 中的大部分专题内容，都与函数有着密切的联系。用函数（映射）的思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点。反过来，通过这些内容的学习，可以加深对于函数思想的认识。实际上，在整个高中数学课程中，都需要不断地体会、理解“函数思想”给我们带来的“好处”。3.2 几何主线 1几何的教育功能 我们常常听到这样的一些词，空间想象能力，“几何直观”能力，把握图形能力，几何洞察能力，等等，这些词都是一些数学家提出来的，“空间想象能力”是我国著名数学家华

47、罗庚提出的，“几何直观”能力是本世纪最著名的数学家希尔伯特提出的，他写了一本重要的著作“直观几何”，“把握图形能力”是著名数学家、本世纪最有影响的数学教育家弗赖登塔尔提出的，“几何洞察能力”是由著名华人数学家项武义提出的（我们没有能考证这些词是否是由他们最早提出的）。这些词的内涵可能有些不同，我们感到这些词的基本含义是相同的，这些能力不仅对数学研究是极为重要的、基本的，对于数学教育、对于数学课程的设计同样是重要的、基本的。培养几何直观能力不仅仅是几何课程的任务，而且是整个数学课程的基本任务。因此，几何是贯穿于整个高中数学课程中的主线之一，在其他的数学内容学习中，也要强调通过直观，通过图形来认识

48、相关内容的数学本质。高中数学课程中，几何的作用主要在于培养学生的几何直观能力和推理论证能力。这两种能力对于学生思维的发展和对数学本质的理解都是非常重要的。在高中数学课程中，几何是“图”“文”并茂的内容，它把数学所特有的逻辑思维和形象思维有机地结合起来。几何思想主要体现在几何直观能力，即把握图形的能力。几何直观能力主要包括空间想象力、直观洞察力、用图形语言来思考问题的能力。借助几何这个载体，可以培养学生的逻辑推理能力。但仅仅把几何作为培养形式推理能力载体的认识是片面的。在中学数学课程中重视几何内容是我国数学教育的传统，也是共识。但是，如何运用几何思想、把握图形的能力去学习其它的数学内容，却没有引

49、起足够的重视。在实验区听课时，最令我们感到遗憾的是：教师不太喜欢“画图”，讲解析几何时也不画图。事实上，几何学能够给我们提供一种直观的形象，通过对图形的把握，可以发展空间想象能力，这种能力是非常重要的，无论是数学本身、数学学习本身，还是在其他方面，都是一种基本能力。搞艺术的人就经常说，这种空间想象能力与他们艺术上的想象能力、艺术创作能力是一种殊途同归的感觉。英国著名数学家 M.阿蒂亚曾说过，几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分，这种区分也许用另外一对词更好，即洞察与严格，两者在真正的数学研究中起着本质的作用。即，几何是直观逻辑，代数是有序

50、逻辑。这表明，几何学不只是一个数学分支，而且是一种思维方式，这种思维方式渗透到数学的所有分支。因此，培养学生的几何直观能力、把握图形的能力应成为高中学习几何的主要目的。我们知道，逻辑推理是数学的基本思维形式，在中学阶段，几何是培养学生推理论证能力的重要载体，但是，这里我们要说的是，我们还应该认识到几何更本质的作用，这就是上面我们所说的：应当重视培养学生的几何直观能力，包括空间想象力、直观洞察力、用图形的语言来思考问题的能力等。在高中数学课程中，我们更加关注通过对整体图形的把握去培养和发展空间想象能力；关注在空间想象能力培养中人的认识规律，并概括了人们认识和探索几何图形的位置关系和有关性质的规律