中考数学专题：固定边的等腰三角形与二次函数问题(解析版).docx

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1、专题29 固定边的等腰三角形与二次函数问题1、如图1，已知抛物线y=x24x+5交x轴于点A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接AD（1）求直线AD的解析式（2）点E（m，0）、F（m+1，0）为x轴上两点，其中（5m3.5）EE、FF分别平行于y轴，交抛物线于点E和F，交AD于点M、N，当ME+NF的值最大时，在y轴上找一点R，使得|RERF|值最大，请求出点R的坐标及|RERF|的最大值（3）如图2，在抛物线上是否存在点P，使得PAC是以AC为底边的等腰三角形，若存在，请出点P的坐标及PAC的面积，若不存在，请说明理由。【答案】（1）y=3x+15；（2）点

2、R的坐标是（0，17），最大值为10；（3）存在，P（3292,3+292 ），P（3292,3292），面积为529+102 【解析】（1）如图1，y=x24x+5=（x+5）（x1）或y=（x+2）2+9，A（5，0），B（1，0），D（2，9）设直线AD的解析式为：y=kx+b（k0），把A、D的坐标代入，得，解得故直线AD的解析式为：y=3x+15； （2）如图1，EEy轴，FFy轴，E（m，0）、F（m+1，0），E（m，m24m+5）、F（m+1，（m+1）24（m+1）+5），M（m，3m+15），N（m+1，3（m+1）+15），ME=m24m+5（3m+15）=m27m10，

3、NF=m29m18，ME+NF=m27m10m29m18=2m216m2820，m=4，ME+NF有最大值，此时E（4，5），F（3，8），要使|RERF|值最大，则点E、F、R三点在一条直线上，设直线EF：y=kx+b（k0），则，解得，直线EF：y=3x+17（k0）当x=0时，y=17，则点R的坐标是（0，17）此时，|RERF|的最大值为=； （3）如图2，设点P（x，x24x+5）当PA=PC时，点P在线段AC的垂直平分线上，OC=OA，点O在线段AC的垂直平分线上，点P在AOC的角平分线上，x=x24x+5，解得x1=，x2=，P（，），P（，）PH=OPOH=，PH=OP+OH=

4、，SPAC=ACPH=5=或SPAC=ACPH=5=2、已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于和，点是线段上的动点（不与重合），过点作轴，与二次函数的图象交于点（1）求的值；（2）求线段长的最大值；（3）当为的等腰直角三角形时，求出此时点的坐标【答案】（1）1，3；（2）最大值为；（3）【解析】解：（1）在直线上，又在拋物线上，解得（2）设，则，当时，有最大值，最大值为（3）如图，为的等腰三角形且轴，连接，轴，化简，得，解得，（不合题意，舍去）当时，此时点的坐标为3、如图，在平面直角坐标系中直线y=x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交

5、于点A，连结AC，A(-1,0)（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值；（3）若M为抛物线的顶点，点Q在直线BC上，点N在直线BM上，Q，M，N三点构成以MN为底边的等腰直角三角形，求点N的坐标【答案】（1）y=x2+2x+3；（2）S=（m）2+，当m=时，S有最大值是；（3）点N的坐标为（2，2）或（1，8）【解析】解：（1）直线y=x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，当x=0时，y=3，C（0，3），OC=3，当y=0时，-x+3=0，x=3，B（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-

6、3），把C（0，3）代入得：3=a（0+1）（0-3），a=-1，y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；（2）如图1，过P作PEx轴于E，P（m，n），OE=m，BE=3-m，PE=n，S=S梯形COEP+SPEB=OE（PE+OC）+BEPE，=m（n+3）+n（3-m），=m+n，n=-m2+2m+3，S=m+（-m2+2m+3）=-m2+m+=-（m-）2+，当m=时，S有最大值是；（3）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，M（1，4），设直线BM的解析式为：y=kx+b，把B（3，0），M（1，4）代入得：，解得：，直线BM的解析式为：y=-2x+6，设N（a，-2a+6

7、），Q（n，-n+3），分两种情况：当N在射线MB上时，如图2，过Q作EFy轴，分别过M、N作x轴的平行线，交EF于E、F，EQN是等腰直角三角形，MQ=QN，MQN=90，EQM+FQN=90，EQM+EMQ=90，FQN=EMQ，QEM=QFN=90，EMQFQN，EM=FQ，EQ=FN，解得：，当a=2时，y=-2a+6=-22+6=2，N（2，2），当N在射线BM上时，如图3，同理作辅助线，得ENQFQM，EN=FQ，EQ=FM，解得：，N（-1，8），综上所述，点N的坐标为（2，2）或（-1，8）4、抛物线yax2+bx3（a0）与直线ykx+c（k0）相交于A（1，0）、B（2，3

8、）两点，且抛物线与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标【答案】（1）yx22x3;（2）C（0，3）,D（0，1）;（3）P（1+，2）.【思路引导】（1）把A（1，0）、B（2，3）两点坐标代入yax2+bx3可得抛物线解析式（2）当x0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x0可求D点坐标（3）由题意可知P点纵坐标为2，代入抛物线解析式可求P点横坐标【解析】解：（1）把A（1，0）、B（2，3）两点坐标代入yax2+bx3可得 解得 yx22x3（2）把x0代入yx22x3中可得y

9、3C（0，3）设ykx+b，把A（1，0）、B（2，3）两点坐标代入解得 yx1D（0，1）（3）由C（0，3），D（0，1）可知CD的垂直平分线经过（0，2）P点纵坐标为2，x22x32解得：x1，x0x1+P（1+，2）【方法总结】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式可求点P的横坐标5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：yax2+bx1经过点A(2，1)和点B(1，1)，抛物线C2：y2x2+x+1，动直线xt与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M（1）求抛物线C1的表达

10、式；（2）直接用含t的代数式表达线段MN的长；（3）当AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值【答案】（1）yx2+x1；（2）MNt2+2；（3）t0或1【解析】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线C1的表达式为：yx2+x1；（2）点M、N的坐标分别为：（t，2t2+t+1）、（t，t2+t1），则MN（2t2+t+1）（t2+t1）t2+2；（3）当ANM90时，ANMN，ANt（2）t+2，MNt2+2，tt2+2，解得：t0或1（舍去0），故t1；当AMN90时，AMMN，AMt+2MNt2+2，解得：t0或1（舍去1），故t1；综上，t0或16

11、、如图1，抛物线yax2bxc（a、b、c是常数，a0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的P总经过定点A(0, 2)（1）求a、b、c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，P始终与x轴相交；（3）设P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标图1思路点拨1不算不知道，一算真奇妙，原来P在x轴上截得的弦长MN4是定值2等腰三角形AMN存在三种情况，其中MAMN和NANM两种情况时，点P的纵坐标是相等的满分解答（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以yax2所以b0，c0将代入yax2，得解得（舍去了负值）

12、（2）抛物线的解析式为，设点P的坐标为已知A(0, 2)，所以而圆心P到x轴的距离为，所以半径PA圆心P到x轴的距离所以在点P运动的过程中，P始终与x轴相交（3）如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN在RtPMH中，所以MH24所以MH2因此MN4，为定值等腰AMN存在三种情况：如图3，当AMAN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0图2 图3如图4，当MAMN时，在RtAOM中，OA2，AM4，所以OM2此时xOH2所以点P的纵坐标为如图5，当NANM时，点P的纵坐标为也为图4 图5考点伸展如果点P在抛物线上运动，以点P为圆心的P总经过定点B(0, 1)，那么在点P运动的过程中，

13、P始终与直线y1相切这是因为：设点P的坐标为已知B(0, 1)，所以而圆心P到直线y1的距离也为，所以半径PB圆心P到直线y1的距离所以在点P运动的过程中，P始终与直线y1相切7、如图1，在RtABC中，A90，AB6，AC8，点D为边BC的中点，DEBC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且PDQ90（1）求ED、EC的长；（2）若BP2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若PDF为等腰三角形，求BP的长图1 备用图思路点拨1第（2）题BP2分两种情况2解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系3第（3）题探求等腰三角形

14、PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ满分解答（1）在RtABC中， AB6，AC8，所以BC10在RtCDE中，CD5，所以，（2）如图2，过点D作DMAB，DNAC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是ABC的两条中位线，DM4，DN3由PDQ90，MDN90，可得PDMQDN因此PDMQDN所以所以，图2 图3 图4如图3，当BP2，P在BM上时，PM1此时所以如图4，当BP2，P在MB的延长线上时，PM5此时所以（3）如图5，如图2，在RtPDQ中，在RtABC中，所以QPDC由PDQ90，CDE90，可得PDFCDQ因此PDFCDQ当PDF是等腰三角形时，CDQ也

15、是等腰三角形如图5，当CQCD5时，QNCQCN541（如图3所示）此时所以如图6，当QCQD时，由，可得所以QNCNCQ（如图2所示）此时所以不存在DPDF的情况这是因为DFPDQPDPQ（如图5，图6所示）图5 图6考点伸展如图6，当CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到BDP也是等腰三角形，PBPD在BDP中可以直接求解9、如图1，抛物线yax2bxc经过A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形，若

16、存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由图1 思路点拨1第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时PAC的周长最小2第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(1,0)、B(3, 0)两点，设ya(x1)(x3)，代入点C(0 ,3)，得3a3解得a1所以抛物线的函数关系式是y(x1)(x3)x22x3（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x1当点P落在线段BC上时，PAPC最小，PAC的周长最小设抛物线的对称轴与x轴的交点为H由，BOCO，得PHBH2所以点P的坐标为(1, 2)图2（3）点M的坐标为(1, 1)、(1,)、

17、(1,)或(1,0)考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如图3，当MAMC时，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此时点M的坐标为(1, 1)如图4，当AMAC时，AM2AC2解方程4m210，得此时点M的坐标为(1,)或(1,)如图5，当CMCA时，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)图3 图4 图59、如图1，点A在x轴上，OA4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O

18、、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由图1思路点拨1用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验2本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起满分解答（1）如图2，过点B作BCy轴，垂足为C在RtOBC中，BOC30，OB4，所以BC2，所以点B的坐标为（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为yax(x4)，代入点B，解得所以抛物线的解析式为（3）抛物线的对称轴是直线x2，设点P的坐标为(2

19、, y)当OPOB4时，OP216所以4+y216解得当P在时，B、O、P三点共线（如图2）当BPBO4时，BP216所以解得当PBPO时，PB2PO2所以解得综合、，点P的坐标为，如图2所示图2 图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么DOA与OAB是两个相似的等腰三角形由，得抛物线的顶点为因此所以DOA30，ODA12010、如图1，已知一次函数yx7与正比例函数 的图象交于点A，且与x轴交于点B（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作ACy轴于点C，过点B作直线l/y轴动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平

20、移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由 图1 思路点拨1把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题2求APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能3讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况满分解答（1）解方程组 得 所以点A的坐标是

21、(3，4)令，得所以点B的坐标是(7，0)（2）如图2，当P在OC上运动时，0t4由，得整理，得解得t2或t6（舍去）如图3，当P在CA上运动时，APR的最大面积为6因此，当t2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8图2 图3 图4我们先讨论P在OC上运动时的情形，0t4如图1，在AOB中，B45，AOB45，OB7，所以OBAB因此OABAOBB如图4，点P由O向C运动的过程中，OPBRRQ，所以PQ/x轴因此AQP45保持不变，PAQ越来越大，所以只存在APQAQP的情况此时点A在PQ的垂直平分线上，OR2CA6所以BR1，t1我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4t7在APQ中， 为定值，如图5，当APAQ时，解方程，得如图6，当QPQA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP2(OROP)解方程，得如7，当PAPQ时，那么因此解方程，得综上所述，t1或或5或时，APQ是等腰三角形 图5 图6 图7