中考必胜,名师精品!2020中考数学压轴题全揭秘突破专题16二次函数的存在性问题45283.pdf

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1、1专题 16 二次函数的存在性问题【典例分析】【考点 1】二次函数与相似三角形问题【例 1】已知抛物线23y ax bx与 x 轴分别交于(3,0)A，(1,0)B两点，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标；（2）点 F 是线段 AD 上一个动点如图 1，设AFkAD，当 k为何值时，2CFAD1.如图 2，以 A，F，O 为顶点的三角形是否与ABC相似？若相似，求出点 F 的坐标；若不相似，请说明理由【答案】（1）223yxx ，D 的坐标为(1,4)；（2）12k；以 A，F，O 为顶点的三角形与ABC2相似，F 点的坐标为6 18,55或(2,2)【解析】(1)将

2、 A、B 两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点D(1,4)；(2)由 A、C、D 三点的坐标求出AC3 2，DC2，AD2 5，可得ACD为直角三角形，若1CFAD2，则点 F 为 AD 的中点，可求出 k 的值；由条件可判断DACOBC，则OAFACB，若以 A，F，O 为顶点的三角形与ABC相似，可分两种情况考虑：当AOFABC或AOFCAB45时，可分别求出点 F 的坐标【详解】(1)抛物线2yaxbx3过点A(3,0)，B(1,0)，933030abab ，解得：12ab ，抛物线解析式为2yx2x3 ；22yx2x3x14 ，顶点 D 的

3、坐标为(1,4)；(2)在RtAOC中，OA3，OC3，222ACOAOC18，D1,4，C 0,3，A3,0，222CD112 ，222AD2420，222ACCDAD，ACD为直角三角形，且ACD90，1CFAD2，F 为 AD 的中点，AF1AD2，1k2；3在RtACD中，DC21tanACDAC33 2，在RtOBC中，OB1tanOCBOC3，ACDOCB，OAOC，OACOCA45，FAOACB，若以 A，F，O 为顶点的三角形与ABC相似，则可分两种情况考虑：当AOFABC时，AOFCBA，OF BC，设直线 BC 的解析式为ykxb，03kbb，解得：33kb，直线 BC 的

4、解析式为y=3x+3，直线 OF 的解析式为y=3x，设直线 AD 的解析式为y=mx+n，430kbkb ，解得：26kb，直线 AD 的解析式为y=2x6，263yxyx，解得：65185xy，6 18F,55当AOFCAB45时，AOFCAB，CAB45，OFAC，直线 OF 的解析式为y=x，426yxyx，解得：22xy，F2,2，综合以上可得 F 点的坐标为6 18,55或(2,2)【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题【变式

5、 1-1】如图，抛物线2y2axxc经过(1,0)A，B两点，且与y轴交于点(0,3)C，抛物线与直线1yx 交于A，E两点（1）求抛物线的解析式；（2）坐标轴上是否存在一点Q，使得AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由（3）P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与ABE相似，求点P的坐标【答案】（1）2yx2x3 ；（2）存在，4 0Q，或04，理由见解析；（3）3p05，或9p02，【解析】（1）将 A、C 的坐标代入2y2axxc求出 a、c 即可得到解析式；（2）先求出 E 点坐标，然后作 AE 的垂直平分线，与 x 轴交

6、于 Q，与 y 轴交于 Q，根据垂直平分线的性质可知 Q、与 A、E，Q与 A、E 组成的三角形是以 AE 为底边的等腰三角形，设 Q 点坐标(0,x)，Q坐标(0,y)，根据距离公式建立方程求解即可；（3）根据 A、E 坐标，求出 AE 长度，然后推出BAE=ABC=45，设 p0m，由相似得到PBABBCAE或PBAEBCAB，建立方程求解即可5【详解】（1）将(1,0)A，(0,3)C代入2y2axxc得：203acc ，解得13ac 抛物线解析式为2y23 xx（2）存在，理由如下：联立y1x 和2yx2x3 ，2y123xyxx ，解得10 xy 或45xy E 点坐标为(4,-5)

7、，如图，作 AE 的垂直平分线，与 x 轴交于 Q，与 y 轴交于 Q，此时 Q 点与 Q点的坐标即为所求，设 Q 点坐标(0,x)，Q坐标(0,y)，由 QA=QE，QA=QE 得：221405 xx，22220 10045yy解得4x，4y 故 Q 点坐标为 4 0，或04，（3）(1,0)A，45E，22145=5 2AE，当2230 xx 时，解得1x 或 3B 点坐标为(3,0)，3OB OC645ABC，4AB，3 2BC，由直线1yx 可得 AE 与 y 轴的交点为(0,-1)，而 A 点坐标为(-1,0)BAE=45设 p0m，则3mBP，PBC和ABE相似PBABBCAE或P

8、BAEBCAB，即343 25 2m或35 243 2m解得35m或92m，3p05，或9p02，【点睛】本题考查二次函数的综合问题，是中考常见的压轴题型，熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质是解题的关键【变式 1-2】如图，已知抛物线1(2)()yxx mm(m0)与 x 轴相交于点 A，B，与 y 轴相交于点 C，且点 A 在点 B 的左侧.（1）若抛物线过点（2，2），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点 H，使 AH+CH的值最小，若存在，求出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点

9、 M，使得以点 A，B，M 为顶点的三角形与ACB 相似？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）211242yxx；（2）点 H 的坐标为（1，32）；（3）当 m=22 2时，在第四象限内抛物线上存在点 M，使得以点 A，B，M 为顶点的三角形与ACB 相似.【解析】分析：（1）把点（2，2）代入1(2)()(0)yxx m mm 中，解出 m 的值即可得到抛物线的解析式；（2）由（1）中所得解析式求出点 A、B、C 的坐标，由题意可知，点 A、B 关于抛物线的对称轴对称，这样连接 BC 与对称轴的交点即为所求的点 H，根据 B、C 的坐标求出直线 BC 的解析式即可求

10、得点 H 的坐标；7（3）由解析式1(2)()(0)yxxm mm 可得点 A、B、C 的坐标分别为（-2，0）、（m，0）和（0，2），如下图，由图可知ACB 和ABM 是钝角，因此存在两种可能性：当ACBABM，ACBMBA，分这两种情况结合题中已知条件进行分析解答即可.详解：（1）把点（2，2）代入抛物线，得 2=1222mm.解得 m=4.抛物线的解析式为2111yx2x4xx2442 .（2）令211yxx2042 ，解得12x2x4，.则 A（-2，0），B（4，0）.对称轴 x=-121124.211yxx242 中当 x=0 时，y=2，点 C 的坐标为（0，2）.点 A 和点

11、 B 关于抛物线的对称轴对称，连接 BC 与对称轴的交点即为点 H，此时 AH+CH 的值最小，设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，把 B（4，0），C（0，2）代入得：402kbb，解得：1 22kb，直线 BC 的解析式为 y=1x22.当 x=1 时，y=1122=32.点 H 的坐标为（1，32）.（3）假设存在点 M，使得以点 A，B，M 为顶点的三角形与ACB 相似.如下图，连接 AC，BC，AM，BM，过点 M 作 MNx 轴于点 N，8由图易知，ACB 和ABM 为钝角，当ACBABM 时，有ACAB=ABAM，即2ABACAM.A（-2，0），C（0，2），即 OA=OC

12、=2，CAB=BAM=o45.MNx 轴，BAM=AMN=45，AN=MN.可设 M 的坐标为：（x，-x-2）（x0），把点 M 的坐标代入抛物线的解析式，得：-x-2=1x2xmm.化简整理得：x=2m，点 M 的坐标为：（2m，-2m-2）.AM=222m22m22 2 m 1.2ABACAM，AC=2 2，AB=m+2，2m22 22 2 m1.解得：m=22 2.m0，m=22 2.当ACBMBA 时，有ABMA=CBBA，即2ABCBMA.CBA=BAM，ANM=BOC=o90，ANMBOC，MNAN=COBO.BO=m，设 ON=x，2MNx=2m，即 MN=2m（x+2）.9令

13、 M（x，2x2m）（x0），把 M 点的坐标代入抛物线的解析式，得2x2m=1x2xmm.解得 x=m+2.即 M（m+2，2m4m）.2ABCBMA，CB=2m4ANm4，MN=2m4m，222224 m4m2m4m4m.化简整理，得 16=0，显然不成立.综上所述，当 m=22 2时，在第四象限内抛物线上存在点 M，使得以点 A，B，M 为顶点的三角形与ACB 相似.点睛：本题是一道二次函数和几何图形综合的题目，解题的要点有以下两点：（1）“知道点 A、B 是关于抛物线的对称轴对称的，连接 BC 与对称轴的交点即为所求的点 H”是解答第 2 小题的关键；（2）“能根据题意画出符合要求的图

14、形，知道ACB 和ABM 为钝角，结合题意得到存在：当ACBABM，ACBMBA 这两种可能情况”是解答第 3 小题的关键.【考点 2】二次函数与直角三角形问题【例 2】如图，抛物线20y ax bx ca 的顶点坐标为 2,1，图象与y轴交于点 0,3C，与x轴交于A、B两点 1求抛物线的解析式；2设抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求ACD的面积；3点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点F，问是否存在点E使DEF为直角三角形？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由10【答案】(1)22(2)143yxxx ;(2)2;(3)见解析.【解析】（1）可设

15、抛物线解析式为顶点式，把 C 点坐标代入可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得 A、B 坐标，利用待定系数法可求得直线 BC 解析式，利用对称轴可求得 D 点坐标，则可求得 AD2、AC2和 CD2，利用勾股定理的逆定理可判定ACD 为直角三角形，则可求得其面积；（3）根据题意可分DFE=90和EDF=90两种情况，当DFE=90时，可知 DFx 轴，则可求得 E 点纵坐标，代入抛物线解析式可求得 E 点坐标；当EDF=90时，可求得直线 AD 解析式，联立直线 AC 和抛物线解析式可求得点 E 的横坐标，代入直线 BC 可求得点 E 的坐标【详解】解：1抛物线的顶点坐标为 2,1，可

16、设抛物线解析式为2(2)10y axa，把 0,3C代入可得2(02)13a ，解得1a，抛物线解析式为22(2)143yxxx ；2在243y xx中，令0y 可得2430 xx，解得1x或3x，1,0A，3,0B，设直线BC解析式为3y kx，把 3,0B代入得：330k ，解得1k ，直线BC解析式为3yx ，由 1可知抛物线的对称轴为2x，此时231y ，2,1D，22AD，210AC，28CD，222ADCDAC，ACD是以AC为斜边的直角三角形，1122 2222ACDSAD CD；3由题意知/EFy轴，则90FEDOCB，DEF为直角三角形，分90DFE和90EDF两种情况，当9

17、0DFE时，即/DFx轴，则D、F的纵坐标相同，F点纵坐标为1，11点F在抛物线上，2431xx，解得22x ，即点E的横坐标为22，点E在直线BC上，当22x 时，312yx ，当22x 时，312yx ，E点坐标为22,12或22,12；当90EDF时，1,0A，2,1D，直线AD解析式为1y x，直线BC解析式为3yx ，AD BC，直线AD与抛物线的交点即为E点，联立直线AD与抛物线解析式有2431xxx ，解得1x 或4x，当1x 时，32yx ，当4x 时，31yx ，E点坐标为 1,2或 4,1，综上可知存在满足条件的点E，其坐标为22,12或22,12或 1,2或 4,1【点睛

18、】考查了待定系数法求函数解析式，利用已知的顶点坐标，列出方程组，可以求出函数解析式.【变式 2-1】如图，经过x轴上(10)(3 0)AB，两点的抛物线2(1)4y mxm（0m）交y轴于点C，设抛物线的顶点为D，若以DB为直径的G经过点C，求解下列问题：（1）用含m的代数式表示出C D，的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）能否在抛物线上找到一点Q，使BDQ为直角三角形？如能，求出Q点的坐标，若不能，请说明理由。12【答案】（1）点C的坐标为(03)Cm，,点D的坐标为(14)m，；（2）抛物线的解析式为2yx2x3 ；（3）满足题意的Q点有三个：(0 3)，、3 92 4，和1 1524，

19、【解析】【试题分析】（1）214ym xm是顶点式，则顶点D的坐标为03Cm，,当 x=0,则 y=-3m,即点C的坐标为03Cm，；（2）连接 CD、BC，过点D作DEy轴于E，如图所示:根据直径所对的圆周角是直角，得90DCB,出现“一线三等角模型”，得DECCOB根据相似三角形的性质得：DEECCOOB133mm即，解得1m，则抛物线的解析式为223yxx .（3）分三种情况分类讨论：90BQD（图）显然Q与C点重合，点Q坐标为03Q，；DBQ=90（图）作QF y轴于F，DHx轴于H，根据两角对应相等，两三角形相似，得RtRtDHBBFQ，DHHBBFFQ，则DH FQ BF HB，由

20、于点Q坐标223kkk，则 24232 3kkk，解得：3 2k 由32k 得Q坐标：3924Q，；BDQ=90（图）延长DQ交y轴于M，作DEy轴于E，DHx轴于H,同理可证：DEMDHB，则DEEMDHHB，即142EM,得12EM，点M的坐标为702，设DM所在的直线解析式为 y=kx+b,用待定系数法，把 M702，和 D（1,4）代入得：13724bk b 解得：17,22kb则直线 DM 的解析式为1722yx,把1722yx代入223yxx 得：22310 xx，解得，12x，最后把12x代入1722yx得154y,点Q的坐标为1 1524，综上述，Q点有三个：0 3，、3 92

21、 4，和1 1524，【试题解析】（1）y 214m xm是顶点式点D的坐标为14m，当 x=0 时，y=-3m点C的坐标为03Cm，（2）连接 CD、BC，过点D作DEy轴于E，如图所示：BD 是G 的直径DCB=090ECD+BCO=090ECD+EDC=090BCO=EDCDEC=BOC=090DECCOBDEECCOOB133mm21m1m 0m1m 抛物线的解析式为223yxx （3）能在抛物线上找到一点 Q，使BDQ 为直角三角形很明显，点C即在抛物线上，又在G 上，90BCD，这时Q与C点重合点Q坐标为03Q，如图，若DBQ为90，作QFy轴于F，DHx轴于H14同理可证：RtR

22、tDHBBFQDHHBBF FQDH FQ BFHB点Q坐标223kkk，24232 3kkk 化简得：22390kk,解得：3k（不合题意，舍去），32k 由32k 得Q坐标：3924Q，若BDQ为90,如图，延长DQ交y轴于M，作DEy轴于E，DHx轴于H,同理可证：DEMDHBDEEMDHHB则142EM,得12EM，点M的坐标为702，设DM所在的直线解析式为 y=kx+b,把 M702，和 D（1,4）代入得：724bkb 解得：17,22kb直线 DM 的解析式为1722yx,把1722yx代入223yxx 得：22310 xx 解为：1x（不合题意，舍去），12x，把12x代入1

23、722yx得154y,点Q的坐标为1 1524，综合上述，满足题意的Q点有三个：0 3，、3 92 4，和1 1524，15【方法点睛】本题目是一道二次函数的综合题，涉及到顶点坐标，与坐标轴的交点，一线三等角证相似，并且多次运用相似三角形的对应边成比例，直角三角形的确定（3 种情况分类讨论），难度较大.【变式 2-2】已知抛物线221y xx m 与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为 B（1）求m的值；（2）过 A作 x 轴的平行线，交抛物线于点 C，求证：ABC 是等腰直角三角形；（3）将此抛物线向下平移 4 个单位后，得到抛物线y，且与 x 轴的左半轴交于 E点，与 y

24、 轴交于 F点，16如图请在抛物线y上求点 P，使得EFP是以 EF 为直角边的直角三角形？【答案】（1）m=2；（2）证明见解析；（3）满足条件的 P 点的坐标为（103，139）或（73，209）【解析】试题分析：（1）根据抛物线与 x 轴只有一个交点可知的值为 0，由此得到一个关于 m 的一元一次方程，解此方程可得 m 的值；（2）根据抛物线的解析式求出顶点坐标，根据 A 点在 y 轴上求出 A 点坐标，再求 C 点坐标，根据三个点的坐标得出ABC 为等腰直角三角形；（3）根据抛物线解析式求出 E、F 的坐标，然后分别讨论以 E 为直角顶点和以 F 为直角顶点 P 的坐标试题解析：（1）

25、抛物线 y=x2-2x+m-1 与 x 轴只有一个交点，=（-2）2-41（m-1）=0，解得，m=2；（2）由（1）知抛物线的解析式为 y=x2-2x+1=（x-1）2，易得顶点 B（1，0），当 x=0 时，y=1，得 A（0，1）由 1=x2-2x+1，解得，x=0（舍）或 x=2，所以 C 点坐标为：（2，1）过 C 作 x 轴的垂线，垂足为 D，则 CD=1，BD=xD-xB=1在 RtCDB 中，CBD=45，BC=2同理，在 RtAOB 中，AO=OB=1，于是ABO=45，AB=2ABC=180-CBD-ABO=90，AB=BC，因此ABC 是等腰直角三角形；（3）由题知，抛物

26、线 C的解析式为 y=x2-2x-3，当 x=0 时，y=-3；当 y=0 时，x=-1 或 x=3，17E（-1，0），F（0，-3），即 OE=1，OF=3第一种情况：若以 E 点为直角顶点，设此时满足条件的点为 P1（x1，y1），作 P1Mx 轴于 MP1EM+OEF=EFO+OEF=90，P1EM=EFO，得 RtEFORtP1EM，则113PMOEEMOF，即 EM=3P1MEM=x1+1，P1M=y1，x1+1=3y1由于 P1（x1，y1）在抛物线 C上，则有 3（x12-2x1-3）=x1+1，整理得，3x12-7x1-10=0，解得，x1103，或 x2=-1（舍去）把 x

27、1103代入中可解得，y1=139P1（103，139）第二种情况：若以 F 点为直角顶点，设此时满足条件的点为 P2（x2，y2），作 P2Ny 轴于 N18同第一种情况，易知 RtEFORtFP2N，得213FNOEP NOF，即 P2N=3FNP2N=x2，FN=3+y2，x2=3（3+y2）由于 P2（x2，y2）在抛物线 C上，则有 x2=3（3+x22-2x2-3），整理得 3x22-7x2=0，解得 x2=0（舍）或 x273把 x2103代入中可解得，y2209P2（73，209）综上所述，满足条件的 P 点的坐标为：（103，139）或（73，209）.【考点 3】二次函数与

28、等腰三角形问题【例 3】如图，已知：二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B两点，其中 A点坐标为（3，0），与 y 轴交于点 C，点 D（2，3）在抛物线上（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上有一动点 P，求出 PA+PD的最小值；（3）若抛物线上有一动点 M，使ABM 的面积等于ABC 的面积，求 M 点坐标（4）抛物线的对称轴上是否存在动点 Q，使得BCQ 为等腰三角形？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，说明理由19【答案】（1）yx2+2x3；（2）3 2；（3）点 M 的坐标为（17，3），（1+7，3），（2，3）；（4）存在；点 Q 的坐标为（1，6）

29、，（1，6），（1，0），（1，6），（1，1）【解析】（1）由点 A，D 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 B 的坐标，连接 BD，交抛物线的对称轴于点 P，由抛物线的对称性及两点之间线段最短可得出此时 PA+PD 取最小值，最小值为线段 BD 的长度，再由点 B，D 的坐标，利用两点间的距离公式可求出 PA+PD 的最小值；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 C 的坐标，设点 M 的坐标为（x，x2+2x-3），由ABM 的面积等于ABC 的面积可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可求出点 M 的坐标；（4）设点 Q 的

30、坐标为（-1，m），结合点 B，C 的坐标可得出 CQ2，BQ2，BC2，分 BQ=BC，CQ=CB 及 QB=QC三种情况，找出关于 m 的一元二次（或一元一次）方程，解之即可得出点 Q 的坐标【详解】解：（1）将 A（3，0），D（2，3）代入 yx2+bx+c，得：930423bcbc，解得：23bc，抛物线的表达式为 yx2+2x3（2）当 y0 时，x2+2x30，解得：x13，x21，点 B 的坐标为（1，0）连接 BD，交抛物线的对称轴于点 P，如图 1 所示20PAPB，此时 PA+PD 取最小值，最小值为线段 BD 的长度点 B 的坐标为（1，0），点 D 的坐标为（2，3）

31、，BD22(2 1)(30)32，PA+PD 的最小值为 32（3）当 x0 时，yx2+2x33，点 C 的坐标为（0，3）设点 M 的坐标为（x，x2+2x3）SABMSABC，|x2+2x3|3，即 x2+2x60 或 x2+2x0，解得：x117，x21+7，x32，x40（舍去），点 M 的坐标为（17，3），（1+7，3），（2，3）（4）设点 Q 的坐标为（1，m）点 B 的坐标为（1，0），点 C 的坐标为（0，3），CQ2（10）2+m（3）2m2+6m+10，BQ2（11）2+（m0）2m2+4，BC2（01）2+（30）210分三种情况考虑（如图 2 所示）：21当 BQ

32、BC 时，m2+410，解得：m16，m26，点 Q1的坐标为（1，6），点 Q2的坐标为（1，6）；当 CQCB 时，m2+6m+1010，解得：m30，m46，点 Q3的坐标为（1，0），点 Q4的坐标为（1，6）；当 QBQC 时，m2+4m2+6m+10，解得：m51，点 Q5的坐标为（1，1）综上所述：抛物线的对称轴上存在动点 Q，使得BCQ 为等腰三角形，点 Q 的坐标为（1，6），（1，6），（1，0），（1，6），（1，1）【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、两点间的距离公式、三角形的面积、等腰三角形的性质以及解一元二次（或

33、一元一次）方程，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用两点之间线段最短，找出点 P 的位置；（3）利用两三角形面积相等，找出关于 x 的一元二次方程；（4）分 BQ=BC，CQ=CB 及 QB=QC 三种情况，找出关于 m 的方程【变式 3-1】如图，抛物线32bxaxy与 x 轴交于点 A（1，0）和 B（3，0）22（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，点 F 是位于 x 轴上方对称轴上一点，FCx 轴，与对称轴右侧的抛物线交于点 C，且四边形 OECF 是平行四边形，求点 C 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴

34、上是否存在点 P，使OCP 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）342xxy；（2）C（4，3）；（3）P（2 21，）或（2 21，）或（2 3+21，）或（2 321，）【解析】试题分析：（1）把点 A、B 的坐标代入函数解析式，解方程组求出 a、b 的值，即可得解；（2）根据抛物线解析式求出对称轴，再根据平行四边形的对角线互相平分求出点 C 的横坐标，然后代入函数解析式计算求出纵坐标，即可得解；（3）设 AC、EF 的交点为 D，根据点 C 的坐标写出点 D 的坐标，然后分O 是顶角，C 是顶角，P 是顶角三种情况讨论试题解析：（1）把点 A

35、（1，0）和 B（3，0）代入32bxaxy得，033903baba，解得41ba，所以，抛物线的解析式为342xxy；（2）抛物线的对称轴为直线 x=2，四边形 OECF 是平行四边形点 C 的横坐标是 4，点 C 在抛物线上，334442y，点 C 的坐标为（4，3）；（3）点 C 的坐标为（4，3），OC 的长为 5，点 O 是顶角顶点时，OP=OC=5，222EPOEOP，OE=2212522EP，23所以，点 P 的坐标为（2，21）或（2，-21）；点 C 是顶角顶点时，CP=OC=5，同理求出 PF=21，所以，PE=213，所以，点 P 的坐标为（2，321）或（2，321）；

36、点 P 是顶角顶点时，点 P 在 OC 上，不存在.综上所述，抛物线的对称轴上存在点 P（2，21）或（2，-21）或（2，321）或（2，321），使OCP 是等腰三角形考点：二次函数综合题【变式 3-2】如图，抛物线与直线相交于两点，且抛物线经过点.（1）求抛物线的解析式；（2）点是抛物线上的一个动点（不与点、点重合），过点作直线轴于点，交直线于点.当时，求点坐标；是否存在点使为等腰三角形，若存在请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2+4x+5；（2）P 点坐标为（2，9）或（6，7）；（，）或（4+，48）或（4，48）或（0，5）【解析】试题分析：（1）由直线

37、解析式可求得 B 点坐标，由 A、B、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；24（2）可设出 P 点坐标，则可表示出 E、D 的坐标，从而可表示出 PE 和 ED 的长，由条件可知到关于 P点坐标的方程，则可求得 P 点坐标；由 E、B、C 三点坐标可表示出 BE、CE 和 BC 的长，由等腰三角形的性质可得到关于 E 点坐标的方程，可求得 E 点坐标，则可求得 P 点坐标试题解析：（1）点 B（4，m）在直线 y=x+1 上，m=4+1=5，B（4，5），把 A、B、C 三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为 y=x2+4x+5；（2）设 P（x，x2+4x+5），则

38、 E（x，x+1），D（x，0），则 PE=|x2+4x+5（x+1）|=|x2+3x+4|，DE=|x+1|，PE=2ED，|x2+3x+4|=2|x+1|，当x2+3x+4=2（x+1）时，解得 x=1 或 x=2，但当 x=1 时，P 与 A 重合不合题意，舍去，P（2，9）；当x2+3x+4=2（x+1）时，解得 x=1 或 x=6，但当 x=1 时，P 与 A 重合不合题意，舍去，P（6，7）；综上可知 P 点坐标为（2，9）或（6，7）；设 P（x，x2+4x+5），则 E（x，x+1），且 B（4，5），C（5，0），BE=|x4|，CE=，BC=，当BEC 为等腰三角形时，则有

39、 BE=CE、BE=BC 或 CE=BC 三种情况，当 BE=CE 时，则|x4|=，解得 x=，此时 P 点坐标为（，）；当 BE=BC 时，则|x4|=，解得 x=4+或 x=4，此时 P 点坐标为（4+，48）或（4，48）；25当 CE=BC 时，则=，解得 x=0 或 x=4，当 x=4 时 E 点与 B 点重合，不合题意，舍去，此时 P 点坐标为（0，5）；综上可知存在满足条件的点 P，其坐标为（，）或（4+，48）或（4，48）或（0，5）考点：二次函数综合题【考点 4】二次函数与平行四边形问题【例 4】如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于点 A（3，0），B（1

40、，0），与 y 轴相交于（0，32），顶点为 P（1）求抛物线解析式；（2）在抛物线是否存在点 E，使ABP 的面积等于ABE 的面积？若存在，求出符合条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点 F，使得以 A、B、P、F 为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点 F 的坐标，并求出平行四边形的面积【答案】（1）y=12x2+x32（2）存在，（122，2）或（1+22，2）（3）点 F 的坐标为（1，2）、（3，2）、（5，2），且平行四边形的面积为 8【解析】（1）设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，把（3，0），（1，0），（0，32）代入求出

41、 a、b、c 的值即可；（2）根据抛物线解析式可知顶点 P 的坐标，由两个三角形的底相同可得要使两个三角形面积相等则高相等，根据 P 点坐标可知 E 点纵坐标，代入解析式求出 x 的值即可；（3）分别讨论 AB 为边、AB 为对角线两种情况求出 F 点坐标并求出面积即可；26【详解】（1）设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，将（3，0），（1，0），（0，32）代入抛物线解析式得09a-3b+c0a+b+c32c，解得：a=12，b=1，c=32抛物线解析式：y=12x2+x32（2）存在y=12x2+x32=12（x+1）22P 点坐标为（1，2）ABP 的面积等于ABE 的面积，点 E

42、 到 AB 的距离等于 2，设 E（a，2），12a2+a32=2解得 a1=122，a2=1+22符合条件的点 E 的坐标为（122，2）或（1+22，2）（3）点 A（3，0），点 B（1，0），AB=4若 AB 为边，且以 A、B、P、F 为顶点的四边形为平行四边形ABPF，AB=PF=4点 P 坐标（1，2）点 F 坐标为（3，2），（5，2）平行四边形的面积=42=8若 AB 为对角线，以 A、B、P、F 为顶点的四边形为平行四边形AB 与 PF 互相平分设点 F（x，y）且点 A（3，0），点 B（1，0），点 P（1，2）273 112200222xy，x=1，y=2点 F（1，

43、2）平行四边形的面积=1244=8综上所述：点 F 的坐标为（1，2）、（3，2）、（5，2），且平行四边形的面积为 8【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的几何应用，分类讨论并熟练掌握数形结合的数学思想方法是解题关键.【变式 4-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线，经过 A（0，4），B（，0），C（，0）三点，且（1）求 b，c 的值；（2）在抛物线上求一点 D，使得四边形 BDCE 是以 BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形？若存在，求出点 P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由【答

44、案】（1），；（2）D（，）；（3）存在一点 P（3，4），使得四边形 BPOH 为菱形，不能为正方形【解析】试题分析：（1）把 A（0，4）代入可求 c，运用根与系数的关系及，可求出 b；（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的 D 点，就是抛物线的顶点；（3）由四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形，可得 PH 垂直平分 OB，求出 OB 的中点坐标，代入抛物线28解析式即可，再根据所求点的坐标与线段 OB 的长度关系，判断是否为正方形即可试题解析：（1）抛物线，经过点 A（0，4），c=4，又由题意可知，、是方程的两个根，由已知得，

45、解得：，当 b=时，抛物线与 x 轴的交点在 x 轴的正半轴上，不合题意，舍去b=；（2）四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点 D 必在抛物线的对称轴上，又=，抛物线的顶点（，）即为所求的点 D；（3）四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形，点 B 的坐标为（6，0），根据菱形的性质，点 P 必是直线 x=3 与抛物线的交点，当 x=3 时，=4，在抛物线上存在一点 P（3，4），使得四边形 BPOH 为菱形四边形 BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形 BPOH 为正方形，点 P 的坐标只能是（3，3），但这一点不在抛物线上考点：1二次函数综合题；2探究型

46、；3存在型；4压轴题【变式 4-2】如图，抛物线与直线交于，两点，直线交轴与点，点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点.(1)求抛物线的表达式；(2)连接，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；(3)在轴上存在一点，连接，当点运动到什么位置时，以为顶点的四边形是矩形？求出此时点的坐标；在的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求的最小值.29【答案】(1)y=x22x+4；(2)G（2，4）；(3)E（2，0）H（0，1）；5 52【解析】试题分析:（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先利用待定系数法求出直线 AB 的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可

47、；（3）先判断出要以点 A，E，F，H 为顶点的四边形是矩形，只有 EF 为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；先取 EG 的中点 P 进而判断出PEMMEA 即可得出 PM=AM，连接 CP 交圆 E 于 M，再求出点 P的坐标即可得出结论试题解析：（1）点 A（4，4），B（0，4）在抛物线 y=x2+bx+c 上，16444bcc ，24bc，抛物线的解析式为 y=x22x+4；（2）设直线 AB 的解析式为 y=kx+n 过点 A，B，直线 AB 的解析式为 y=2x+4，设 E（m，2m+4），G（m，m22m+4），四边形 GEOB 是平行四边形，EG=OB=4，m22m+42m

48、4=4，m=2，G（2，4）；30（3）如图 1，由（2）知，直线 AB 的解析式为 y=2x+4，设 E（a，2a+4），直线 AC：y=x6，F（a，a6），设 H（0，p），以点 A，E，F，H 为顶点的四边形是矩形，直线 AB 的解析式为 y=2x+4，直线 AC：y=x6，ABAC，EF 为对角线，（4+0）=（a+a），（4+p）=（2a+4a6），a=2，P=1，E（2，0）H（0，1）；如图 2，由知，E（2，0），H（0，1），A（4，4），31EH=，AE=2，设 AE 交E 于 G，取 EG 的中点 P，PE=，连接 PC 交E 于 M，连接 EM，EM=EH=，=，=，

49、PEM=MEA，PEMMEA，32PM=AM，AM+CM 的最小值=PC，设点 P（p，2p+4），E（2，0），PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，PE=，5（p+2）2=，p=或 p=（由于 E（2，0），所以舍去），P（，1），C（0，6），PC=，即：AM+CM=考点：二次函数综合题【达标训练】一、单选题1将抛物线 y=2x21 向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（）A32个单位B 1 个单位C12个单位D 2个单位【答案】A33【解析】试题分析设抛物线向上平移 a（a1）个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，

50、且这些交点能构成直角三角形，则有平移后抛物线的解析式为：y=2x21+a，AM=a，抛物线 y=2x21 与 y 轴的交点 M 为（0，1），即 OM=1，OA=AMOM=a1，令 y=2x21+a 中 y=0，得到2x21+a=0，解得：x=12a，B（12a，0），C（12a，0），即 BC=212a，又ABC 为直角三角形，且 B 和 C 关于 y 轴对称，即 O 为 BC 的中点，AO=12BC，即 a1=12a，两边平方得：（a1）2=，a10，a1=12，解得：a=32故选 A【考点】二次函数图象与几何变换2 如图，抛物线2yx2x3 与y轴交于点C，点(0,1)D，点P是抛物线上