2006年普通高等学校招生全国统一考试(四川)数学986.pdf

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1、 第 1 页 考试结束前机密 2006 年普通高等学校招生全国统一考试（四川）数 学（理工农医类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1 至 2 页。第卷3 到 8 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷 注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。3本卷共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件A、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(BPA

2、PBAP 24 RS 如果事件A、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(BPAPBAP 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P，那么 334RV n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 knkknnPPCkP)1()(一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合2A=|560,|213,x xxBxx则集合AB （A）|23xx（B）|23xx（C）|23xx（D）|13xx 2.复数31 3i的虚部为（A）3.（B）3.（C）2 （D）2.3.已知23,1(

3、),2,1xxf xx下面结论正确的是（A）f(x)在 x=1 处连续（B）f(1)5 （C）1lim()2xf x（D）1lim()5xf x 4.已知二面角l 的大小为060，mn、为异面直线，mn且，mn则、所成的角为（A）030 （B）060 （C）090 （D）0120 5.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（A）sin()6yx （B）sin(2)6yx（C）cos(4)3yx （D）cos(2)6yx 6.已知两定点(2,0),A(1,0),B如果动点P 满足条件2,PAPB则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于 （A）（B）4 （C）8 （D）9 7.如图,已知正六边形123

4、456PP PP PP，下列向量的数量积中最大的是（A）121 3PPPP （B）1214PPPP （C）121 5PPPP （D）121 6PPPP 8.某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为11ab、千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为22ab、千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为12dd、元。月初一次性购进本月用原料A、B各12cc、千克。要计划本月生产甲、乙两种产品各多少千克才能使月利润总额达到最大。在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为千克、千克，月利润总额为元，那么，用于求使总利润12zd xd y最大的数学模型中，约束条件为 第 2 页 （A）121

5、122,0,0a xa ycb xb ycxy（B）111222,0,0a xb yca xb ycxy（C）121122,0,0a xa ycb xb ycxy（D）121122,0,0a xa ycb xb ycxy 9.直线3 与抛物线xy42交于A、B 两点，过A、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P、Q，则梯形APQB 的面积为（A）48.（B）56 （C）64 （D）72.10.已知球O半径为1，A、B、C 三点都在球面上，A、B 两点和A、C 两点的球面距离都是4，B、C 两点的球面距离是3，则二面角BCOA的大小是（A）4 （B）3 （C）2 （D）23 11.设cba

6、、分别为ABC的三内角ABC、所对的边，则2()ab bc是AB=2的 （A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件12.从0到 9 这 10 个数字中任取3 个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被整除的概率为 （A）1954 （B）3554 （C）3854 （D）4160 第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分。把答案填在题中横线上。13.在三棱锥O-ABC 中，三条棱OA、OB、OC 两两互相垂直，且OA OB OC,M 是AB 的中点，则OM 与平面ABC 所成角的大小是_（用反三角函数表示）

7、。14.设离散型随机变量 可能取的值为1，2，3，4.P(k)ak+b(k=1，2，3，4),又 的数学期望E 3，则_。15.如图把椭圆2212516xy的长轴AB 分成8 分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于1P,2P,7P七个点，F 是椭圆的一个焦点，则127.PFPFPF_ 16.非空集合G 关于运算满足：（1）对任意的,a bG都有,abG(2)存在,eG都有,abbaa则称G 关于运算为“融洽集”。现给出下列集合和运算：G非负整数，为整数的加法。G偶数，为整数的乘法。G平面向量，为平面向量的加法。G二次三项式，为多项式的加法。G虚数，为复数的乘法。其中G 关于运算为“融洽集”

8、的是_。（写出所有“融洽集”的序号）2006 年普通高等学校招生全国统一考试（四川）韩先华编辑 数 学（理工农医类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1 至 2 页。第卷3 到 8 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷 一、选择题答题卡：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 选项 二、填空题答题卡：第 3 页 。三.解答题 共 6 个小题，共74 分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17（本小题满分12 分）已知A、B、C 是ABC三内角，向量(1,3),m (cos,sin),nAA 且1.m n（）求角A（）若221s

9、in 23,cossinBBB 求 tanC。18（本小题满分12 分）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”。甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9。所有考核是否合格相互之间没有影响。（）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）。19（本小题满分12 分）如图,长方体ABCD-1111DCBA中，E、P 分别是BC、11A D的中点,M、N 分别是AE、1CD的中点,11AD=

10、A A,aAb=2,a（）求证：11MN/ADD;A平面；（）求二面角PAED的大小；（）求三棱锥P DEN 的体积。20（本小题满分12 分）已知数列 na，其中121,3,aa112,(2)nnnaaan记数列 na的 前 n 项和为,nS数列lnnS的前n 项和为.nU()求nU；()设22(),2(!)NUnneF xxn n 11()(),nnkiT xFx（其中1()kF x为()kFx的导函数），计算1()lim()nnnT xTx 得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 第 4 页 21（本小题满分12 分）已知两定点1(2,0),F 2(2,0),F满足条件2

11、12PFPF 的点P 的轨迹是曲线E，直线kx 1 与曲线E 交于A、B 两点。如果6 3,AB 且曲线E上存在点C，使,OAOBmOC 求mABC的值和的面积S。22（本小题满分14 分）已知函数22f(x)+ln(0),xa x xxf(x)的导函数是f(x)。对任意两个不相等的正数12xx、，证明：（）当0a 时，1212()()()22f xf xxxf；（）当4a 时，1212()()fxfxxx。2006 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学及参考答案 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1 至2 页。第卷3 到 10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一

12、并交回。第卷 注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。3本卷共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件A、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(BPAPBAP 24 RS 如果事件A、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(BPAPBAP 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P，那么 334RV n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率

13、其中R 表示球的半径 knkknnPPCkP)1()(一选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分；题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D D B D B A C A C A B（1）已知集合2560Ax xx，集合213Bxx，则集合AB 得分 评卷人 得分 评卷人 第 5 页 （A）23xx （B）23xx （C）23xx （D）13xx （2）复数的虚部为（A）3 （B）3 （C）2 （D）2 （3）已知 23,12,1xxf xx，下面结论正确的是（A）f x在1x 处连续 （B）5f x （C）1lim2xfx （D）1lim5xf x（4

14、）已知二面角l 的大小为060，,m n为异面直线，且,mn，则,m n所成的角为（A）030 （B）060 （C）090 （D）0120（5）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（A）sin6yx （B）sin 26yx （C）cos 43yx （D）cos 26yx （6）已知两定点2,0,1,0AB，如果动点P满足2PAPB，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（A）9 （B）8 （C）4 （D）(7)如图，已知正六边形123456PP PP PP，下列向量的数量积中最大的是（A）121 3,PP PP （B）1214,PP PP （C）121 5,PP PP （D）1216,PP PP

15、 (8)某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为11,a b，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为22,a b千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为12,d d元，月初一次性够进本月用原料,A B各12,c c千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润12zd xd y最大的数学模型中，约束条件为 （A）12112200a xa ycb xb ycxy （B）11122200a xb yca xb ycxy （C）12112200a xa ycb xb ycxy

16、（D）12112200a xa ycb xb ycxy (9)直线3yx与抛物线24yx交于,A B两点，过,A B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q，则梯形APQB的面积为（A）48 （B）56 （C）64 （D）72(10)已知球O的半径是1，,A B C三点都在球面上，,A B两点和,A C两点的球面距离都是4，,B C两点的球面距离是3，则二面角BOAC的大小是（A）4 （B）3 （C）2 （D）23 第 6 页 （11）设,a b c分别是ABC的三个内角,A B C所对的边，则2ab bc是2AB的 （A）充分条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而充分条件 （D）既不

17、充分又不必要条件（12）从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为（A）4160 （B）3854 （C）3554 （D）1954 第卷 二填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分；把答案填在题中的横线上。（13）在三棱锥0ABC中，三条棱,OA OB OC两两互相垂直，且,OAOBOC M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的大小是_arctan2_（用反三角函数表示）（14）设离散性随机变量可能取的值为1,2,3,4,1,2,3,4Pkakb k，又的数学期望3E，则ab_110_;（15）如图，把椭圆2212516xy的长轴AB

18、分成8等份，过每个分点 作x轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,P P P P P P P七个点，F是椭圆的一个焦点，则 1234567PFPFPFPFPFPFPF_35_;（16）非空集合G关于运算满足：（1）对任意,a bG，都有abG；（2）存在eG，使得对一切aG，都有aeeaa，则称G关于运算为“融洽集”；现给出下列集合和运算：,G 非负整数为整数的加法 ,G 偶数为整数的乘法,G 平面向量为平面向量的加法 ,G 二次三项式为多项式的加法,G 虚数为复数的乘法 其中G关于运算为“融洽集”_，_;（写出所有“融洽集”的序号）三解答题：本大题共6 小题，共74 分；解答应写出文字说

19、明，证明过程或演算步骤。（17）（本大题满分12 分）已知,A B C是三角形ABC三内角，向量1,3,cos,sinmnAA，且1m n （）求角A；（）若221 sin23cossinBBB，求tan B 本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12 分。解：（）1m n 1,3cos,sin1AA 即3sincos1AA 312 sincos122AA,1sin62A 50,666AA 66A 3A（）由题知2212sincos3cossinBBBB，整理得22sinsincos2cos0BBBB 第 7 页

20、cos0B 2tantan20BB tan2B 或tan1B 而tan1B 使22cossin0BB，舍去 tan2B tantanCABtan AB tantan1tantanABAB 231 2 3 85 311（18）（本大题满分12 分）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响（）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（）求这三人该课程考核都合格的概

21、率。（结果保留三位小数）本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，考察应用概率知识解决实际问题的能力。满分12 分。解：记“甲理论考核合格”为事件1A；“乙理论考核合格”为事件2A；“丙理论考核合格”为事件3A；记iA为iA的对立事件，1,2,3i；记“甲实验考核合格”为事件1B；“乙实验考核合格”为事件2B；“丙实验考核合格”为事件3B；（）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，记C为C的对立事件 解法1：123123123123P CP A A AA A AA A AA A A 123123123123P A A AP A A AP A A AP A A A 0.9

22、0.80.30.90.20.70.1 0.80.70.90.80.7 0.902 解法2：1P CP C 1231231231231P A A AA A AA A AA A A 1231231231231P A A AP A A AP A A AP A A A 10.1 0.2 0.30.9 0.2 0.30.1 0.8 0.30.1 0.2 0.7 10.098 0.902 所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902（）记“三人该课程考核都合格”为事件D 112233P DPA BABAB 112233P A BP A BP A B 112233P AP BP AP BP AP B 0

23、.90.80.80.80.70.9 0.254016 0.254 所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254 （19）（本大题满分12 分）如图，在长方体1111ABCDABC D中，,E P分别是11,BC AD的 中点，,M N分别是1,AE CD的中点，1,2ADAAa ABa 第 8 页 （）求证：/MN面11ADD A；（）求二面角PAED的大小。（）求三棱锥PDEN的体积。本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力。满分12 分 解法一：（）证明：取CD的中点K，连结,MK NK ,M N K分别为1,AK CD CD的中点

24、1/,/MKAD NKDD /MK面11ADD A，/NK面11ADD A 面/MNK面11ADD A /MN面11ADD A（）设F为AD的中点 P为11AD的中点 1/PFD D PF 面ABCD 作FHAE，交AE于H，连结PH，则由三垂线定理得AEPH 从而PHF为二面角PAED的平面角。在Rt AEF中，17,2,22aAFEFa AEa，从而22217172aaAF EFaFHAEa 在Rt PFH中，117tan2DDPFPFHFHFH 故：二面角PAED的大小为17arctan2 （）12221111542444NEPECD PSSBC CDaaaa 矩形 作1DQCD，交1C

25、D于Q，由11AD 面11CDD C得11ACDQ DQ 面11BCD A 在1Rt CDD中，112255CD DDa aDQaCDa 13P DEND ENPNEPVVSDQ21523 45aa316a 方法二：以D为原点，1,DA DC DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系，则 11,0,0,2,0,0,2,0,0,0,0,A aB aaCaA aaDa,E P M N分别是111,BC AD AE CD的中点 3,2,0,0,0,0,2242aaaaEaPaMaNa（）3,0,42aMNa 取0,1,0n，显然n 面11ADD A 0MN n ，MNn 又MN 面11AD

26、D A /MN面11ADD A 第 9 页 （）过P作PHAE，交AE于H，取AD的中点F，则,0,02aF 设,0H x y，则,022aaHPxy aHFxy 又,2,02aAEa 由0AP AE ，及H在直线AE上，可得:2204244aaxayxya 解得332,3417xa ya 8282,017171717aaaaHPaHF 0HF AE 即HFAE HP 与HF所夹的角等于二面角PAED的大小 2cos,21HP HFHP HFHPHF 故：二面角PAED的大小为2 21arccos21（）设1111,nx y z为平面DEN的法向量，则11,nDE nDN 又,2,0,0,0,

27、222aaaDEaDNaDPa 1111202202axayayz 即 111142xyzy 可取14,1,2n P点到平面DEN的距离为1122416 1 421DP naaadn 8cos,85DE DNDE DNDEDN ，21sin,85DE DN 2121sin,28DENSDEDNDE DNa 3211214338621P DENDENaaVSda （20）（本大题满分12 分）已知数列 na，其中12111,3,22nnnaaaaan，记数列 na的前n项和为nS，数列lnnS的前n项和为nU（）求nU；第 10 页 （）设 2210,2!nUnnnnkkeFxxxTxFxn n

28、，（其中 kFx为 kFx的导函数），计算 1limnnnTxTx 本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及对数运算、导数运算和极限运算的能力，同时考查分类讨论的思想方法，满分12 分。解：（）由题意，na是首项为1，公差为2的等差数列 前n项和21 1212nnSnn，2lnln2lnnSnn 2 ln1ln2ln2ln!nUnn（）222222!22!2!nUnnnnnexFxxxnn nn n 21nnFxx 2221112210111111nnnknkkknxxxxTxFxxnxxxxx 22212221lim1011limlim11111lim11nnnnnnnnnnxxxT

29、xnxTxnxxxx （21）（本大题满分14 分）已知两定点 122,0,2,0FF，满足条件212PFPF 的点P的轨迹是曲线E，直线1ykx与曲线E交于,A B两点，如果6 3AB，且曲线E上存在点C，使OAOBmOC ，求m的值和ABC的面积S 本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分12 分。解：由双曲线的定义可知，曲线E是以 122,0,2,0FF为焦点的双曲线的左支，且2,1ca，易知1b 故曲线E的方程为2210 xyx 第 11 页 设1122,A x yB xy，由题意建立方程组2211y

30、kxxy 消去y，得221220kxkx 又已知直线与双曲线左支交于两点,A B，有 2221221221028 10201201kkkkxxkx xk 解得21k 又 2121ABkxx22121214kxxx x 2222221411kkkk 22221221kkk 依题意得 22221226 31kkk 整理后得 422855250kk 257k 或254k 但21k 52k 故直线AB的方程为5102xy 设,ccC x y，由已知OAOBmOC ，得 1122,ccx yxymx my 1212,ccxxyymx mymm，0m 又12224 51kxxk，2121222222281

31、1kyyk xxkk 点4 58,Cmm 将点C的坐标代入曲线E的方程，得2280641mm 得4m ，但当4m 时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 4m，C点的坐标为5,2 C到AB的距离为22552 1213512 ABC的面积116 3323S （22）（本大题满分14 分）第 12 页 已知函数 22ln0fxxaxxx，f x的导函数是 fx，对任意两个不相等的正数12,x x，证明：（）当0a 时，121222f xf xxxf （）当4a 时，1212fxfxxx 本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力，满分14 分。证明

32、：（）由 22lnfxxaxx 得 1222121212111lnln222f xf xaxxxxxx 22121212121ln2xxxxax xx x 2121212124ln222xxxxxxfaxx 而22222212121212112242xxxxxxx x 又2221212121224xxxxx xx x 1212124xxx xxx 12122xxx x 1212lnln2xxx x 0a 1212lnln2xxax xa 由、得 2221212121212121214lnln22xxxxxxax xax xx xxx 即 121222f xf xxxf（）证法一：由 22lnf

33、xxaxx，得 222afxxxx 12122211222222aafxfxxxxxxx121222121222xxaxxx xx x 121212221212221xxafxfxxxx xx x 下面证明对任意两个不相等的正数12,x x,有12221212221xxax xx x恒成立 即证1212122 xxax xx x成立 第 13 页 121212121224xxx xx xx xx x 设 2124,0tx xu xttt，则 242uxtt 令 0u x 得32t，列表如下：t 30,2 32 32,u t _ 0 u t 极小值33 4 333 41084u ta 12121

34、22 xxx xax x 对任意两个不相等的正数12,x x，恒有 1212fxfxxx 证法二：由 22lnfxxaxx，得 222afxxxx 12122211222222aafxfxxxxxxx121222121222xxaxxx xx x 12,x x是两个不相等的正数 12322121212122422xxaax xx xx xx x31212442x xx x 设121tx x，322440u tttt 则 4 32u ttt，列表：t 20,3 23 2,3 u t _ 0 u t 极小值3827 38127u 即 12221212221xxax xx x 1212121222121222xxafxfxxxxxx xx x 即对任意两个不相等的正数12,x x，恒有 1212fxfxxx 录入：四川省内江市隆昌县黄家中学 第 14 页 程 亮 lc_