2018年北京市海淀区高三一模理科数学试题及参考答案44217.pdf

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1、海淀区高三年级第二学期期中练习 数学（理科）2018.4 本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分（选择题，共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合0,12AaBxx|，且AB，则a可以是(A)1 (B)0 (C)1 (D)2 （2）已知向量(1,2)a，(1,0)b，则2ab(A)(1,2)(B)(1,4)(C)(1,2)(D)(1,4)（3）执行如图所示的程序框图，输出的S值为(A)2 (B)6 (C)8

2、(D)10 （4）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，若四边形ABCD及其内部的点组成的集合记为,M且(,)P x y为M中任意一点，则yx的最大值为(A)1 (B)2 (C)1 (D)2 （5）已知a，b为正实数，则“1a，1b”是“lglg0ab”的()(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 （6）如图所示，一个棱长为 1 的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S，则S的值不可能是(A)1 (B)65 (C)43 (D)32 （7）下列函数()f x中，其图象上任意一点(

3、,)P x y的坐标都满足条件yx的函数是(A)3()f xx (B)()f xx (C)()e1xf x (D)()ln(1)f xx（8）已知点M在圆221:(1)(1)1Cxy上，点N在圆222:(1)(1)1Cxy上，则下列说法错误的是（A）OM ON的取值范围为 32 2,0 （B）|OMON的取值范围为0,2 2（C）|OMON的取值范围为2 22,2 22（D）若OMON，则实数的取值范围为 32 2,32 2 第二部分（非选择题，共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）复数2i1 i _.（10）已知点(2,0)是双曲线:C2221xya的一

4、个顶点，则C的离心率为_.（11）直线2xtyt（t为参数）与曲线2cossinxy（为参数）的公共点个数为_.（12）在ABC中，若2,3,6caA，则sin_,cos 2_.CC（13）一次数学会议中，有五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有 2 位，B学校有2 位，C学校有 1 位。现在五位老师排成一排照相，若要求来自同一学校的老师不相邻，则共有_种不同的站队方法.（14）已知3,()3,.xx af xxxxa 若()f x有两个零点，则a的取值范围是_；当2a时，则满足()(1)3f xf x 的x的取值范围是_ 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步

5、骤或证明过程。（15）（本小题 13 分）已知2()2 3sincos2cos1f xxxx （）求()6f的值；（）求()f x的单调递增区间.（16）（本小题 13 分）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播.科学测定，当空气月平均相对湿度大于65%或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播.下表记录了某年甲、乙两个城市 12 个月的空气月平均相对湿度。第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 甲地 54%39%46%54%56%67%64%66

6、%78%72%72%59%乙地 38%34%31%42%54%66%69%65%62%70%a%b%（）从上表 12 个月中，随机取出 1 个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；（）从上表第一季度和第二季度的 6 个月中随机取出 2 个月，记这 2 个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列；（）若108ab，设乙地上表 12 个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值.（只需写出结论）（17）（本小题 14 分）已知三棱锥PABC（如图 1）的平面展开图（如图 2）中，四边形ABCD为边长为2 的正方形，AB

7、E和BCF均为正三角形在三棱锥PABC中：（）证明：平面PAC平面ABC；（）求二面角APCB的余弦值；（）若点M在棱PC上，满足CMCP，1 2,3 3，点N在棱BP上，且BMAN，求BNBP的取值范围(图2)(图1)CAFEADCBBP （18）（本小题 13 分）已知函数ln()xf xxa，（）当0a 时，求函数()f x的单调递增区间；（）当0a 时，若函数()f x的最大值为21e，求a的值.（19）（本小题 14 分）已知椭圆C：222210 xyabab的离心率为32，且点2,1T在椭圆上.设与OT平行的直线l与椭圆C相交于,P Q两点，直线,TP TQ分别与x轴正半轴交于,M

8、 N两点.（）求椭圆C的标准方程；（）判断OMON的值是否为定值，并证明你的结论.（20）（本小题 13 分）设1,11,21,2,12,22,1,2,()nni jn nnnn naaaaaaAaaaa是由1，2，3，2n组成一个n行n列的数表（每个数恰好出现一次），2n 且*nN.若存在1 in，1jn，使得,i ja既是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值，则称数表A为一个“N 数表”，,i ja为数表A的一个“N 值”.对任意给定的n，所有“N 数表”构成的集合记作n.（）判断下列数表是否是“N 数表”.若是，写出它的一个“N 值”123456789A，147825693B；（）求证

9、：若数表A是“N 数表”，则A的“N 值”是唯一的；（）在19中随机选取一个数表A，记A的“N 值”为X，求X的数学期望()E X.海淀区高三年级第二学期期中练习 数学(理)参考答案与评分标准 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B A D D B 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。题号 9 10 11 12 13 14 答案 1i 52 2 33 13 48(3,3 1x 注：第 12、14 题第一空均为 3 分，第二空均为 2 分。三、解答题共 6

10、 小题，共 80 分。解答题应写出解答步骤。15.（本题满分 13 分）（）2()2 3sincos2cos16666f 21332 32()1222 2 分 2 3 分（）()3sin 2cos 2f xxx 7 分 2sin(2)6x 9 分 因为函数sinyx的单调递增区间为2,2 22kk（kZ），10 分 令222262kxk（kZ），11 分 解得 36kxk（kZ），12 分 故()f x的单调递增区间为,36kk（kZ）13 分 注：第（）题先化简()f x，再求()6f，求值部分 3 分；第（）题 y=sinx 的单调区间及“解得”没写但最后答案正确，则不扣分；最后结果没写成

11、区间扣 1 分，写开区间不扣分；全部解答过程没有写kZ，扣 1 分。16.（本题满分 13 分）（）设事件A：从上表 12 个月中，随机取出 1 个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播.用iA表示事件抽取的月份为第i月，则 1 分 123456789101112,A A A A A A A A A AAA，共 12 个基本事件，2 分 A=A2,A6,A8,A9,A10,A11，共 6 个基本事件，3 分 所以，61()122P A.4 分（）在第一季度和第二季度的 6 个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有 2 月和 6 月，故X所有可能的取值为0

12、，1，2.5 分 242662(0)155CP XC，1124268(1)15C CP XC，22261(2)15CP XC 8 分 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 25 815 115 9 分（）M的最大值为58%，最小值为54%.13 分 注：第（）题没列 和 A 包含的基本事件，若后面出现612则不扣分，若后面没出现612则扣 2 分，结果不化简不扣分；第（）题X所有可能的取值没列扣 1 分，概率值错一个扣 1 分，分布列不写扣 1 分；第（）题漏写“%”不扣分。17.（本题满分 14 分）（）方法 1：OPCAB 设AC的中点为O，连接BO，PO.由题意 2PAPBPC，1P

13、O，1AOBOCO 因为 在PAC中，PAPC，O为AC的中点 所以 POAC，1 分 因为 在POB中，1PO，1OB，2PB 所以 POOB 2 分 因为 ACOBO，,AC OB平面ABC 3 分 所以 PO平面ABC 因为 PO平面PAC 4 分 所以 平面PAC平面ABC 方法 2：OPCAB 设AC的中点为O，连接BO，PO.因为 在PAC中，PAPC，O为AC的中点 所以 POAC，1 分 因为 PAPBPC，POPOPO，AOBOCO 所以 POAPOBPOC 所以 90POAPOBPOC 所以 POOB 2 分 因为 ACOBO，,AC OB 平面ABC 3 分 所以 PO平

14、面ABC 因为 PO平面PAC 4 分 所以 平面PAC平面ABC 方法 3：设AC的中点为O，连接PO，因为 在PAC中，PAPC，所以 POAC 1 分 设AB的中点Q，连接PQ，OQ及OB.OPCABQ 因为 在OAB中，OAOB，Q为AB的中点 所以 OQAB.因为 在PAB中，PAPB，Q为AB的中点 所以 PQAB.因为 PQOQQ，,PQ OQ 平面OPQ 所以 AB 平面OPQ 因为 PO 平面OPQ 所以 POAB 2 分 因为 ABACA，,AB AC 平面ABC 3 分 所以 PO平面ABC 因为 PO平面PAC 4 分 所以 平面PAC平面ABC 法 4：设AC的中点为

15、O，连接BO，PO.因为 在PAC中，PAPC，O为AC的中点 所以 POAC，1 分 OPCAB 因为 在ABC中，BABC，O为AC的中点 所以 BOAC，2 分 因为 POBOO，PO 平面PAC，BO 平面ABC，所以POB为二面角P-AC-B的平面角。3 分 因为 在POB中，1PO，1OB，2PB 所以 POOB 4 分 故二面角P-AC-B为直二面角，即平面PAC平面ABC。（）由PO 平面ABC，OBAC，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O，(1,0,0)C，(0,1,0)B，(1,0,0)A，(0,0,1)P 5 分 由OB平面APC，故平面APC的法向量为(0,1,

16、0)OB 6 分 由(1,1,0)BC，(1,0,1)PC xOyzPCAB 设平面PBC的法向量为(,)nx y z，则由00BCPC nn得：00 xyxz 令1x，得1y，1z，即(1,1,1)n 7 分 13cos,3|3 1n OBn OBnOB 8 分 由二面角APCB是锐二面角，所以二面角APCB的余弦值为33 9 分（）设BNBP，01，则 10 分(1,1,0)(1,0,1)(1,1,)BMBCCMBCCP(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)ANABBNABBP 11 分 令0BM AN 得(1)1(1)(1)0 12 分 即1111，是关于的单调递增函数，13 分 当1

17、 2,3 3时，1 2,4 5，所以1 2,4 5BNBP 14 分 注：第（1）题四个得分点少一个扣 1 分；第（）题建系前的证明很简单，没写不扣分，若解答从点的坐标开始出错并且这个证明过程写了可以给 1 分；平面PBC的法向量不正确但方程组正确列出给 1 分；向量夹角余弦不正确但公式正确给 1 分；二面角是锐角没说明直接给出正确答案不扣分。第（）题写出0BM AN，而没有给出 和 的关系式，给 1 分；没有写“是关于的单调递增函数”而结论正确不扣分；最后正确求出 的范围，而没写1 2,4 5BNBP不扣分。18.（本题满分 13 分）（）当0a 时，ln()xf xx，定义域为(0,)1

18、分 故221ln1ln()xxxxfxxx 2 分 令()0fx，得0 xe 故()f x的单调递增区间为(0,)e 4 分（）法 1：因为a0，所以函数()f x的定义域为(0,)，5 分 22ln1ln()()()xaaxxxxfxxaxa 6 分 令()1lnag xxx 则221()0axag xxxx 7 分 由()0agee，1111()1(1)(1)0aaaagaaee e，故存在10(,)ax e e，0()0g x 9 分 故当0(0,)xx时，()0g x；当0(,)xx时，()0g x x 0(0,)x 0 x 0(,)x ()fx 0 ()f x 极大值 11 分 故0

19、000020()1ln0ln1()afxxxxf xxa e，解得202xaee 13 分 故a的值为2e.（）法 2：因为a0，所以函数()f x的定义域为(0,)，5 分()f x的最大值为21e的充要条件为对任意的(0,)x，2ln1xxae且存在0(0,)x，使得020ln1xxae，等价于对任意的(0,)x，2lnaxxe且存在 0(0,)x，使得200lnaxxe，8 分 等价于2()lng xxxe的最大值为a.2()1g xxe，9 分 令()0g x，得2xe.x 2(0,)e 2e 2(,)e()g x 0 ()g x 极大值 11 分 故()g x的最大值为22222()

20、lngeeeee，即2ae.13 分 注：第（）题法 1 中对函数f(x)求导若在第（）题中完成，则这 1 分计到本小题；方法 1 中找点()g e、1()age，若用函数()g x的变化趋势说明不扣分；方法 1 中文字说明与列表有一个即可；方法 2 中“等价于2()lng xxxe的最大值为a”与最后结论“2ae”出现一个即可。（19）（本小题 14 分）（）由题意2222241132ababccea，3 分 解得：2 2a，2b，6c 4 分 故椭圆C的标准方程为22182xy 5 分（）假设直线TP或TQ的斜率不存在，则P点或Q点的坐标为(2，1)，直线l的方程为11(2)2yx，即12

21、2yx。联立方程22182122xyyx，得2440 xx，此时，直线l与椭圆C相切，不合题意。故直线TP和TQ的斜率存在。6 分 方法 1：设11(,)P x y，22(,)Q xy，则 直线111:1(2)2yTP yxx，直线221:1(2)2yTQ yxx 故112|21xOMy，222|21xONy 8 分 由直线1:2OTyx，设直线1:2PQ yxt（0t）9 分 联立方程2218212xyyxt，得：222240 xtxt 10 分 当0时，122xxt，21224xxt 11 分|OMON1212224()11xxyy 1212224()111122xxxtxt 121221

22、212(2)()4(1)411(1)()(1)42x xtxxtx xtxxt 12 分 22224(2)(2)4(1)411(24)(1)(2)(1)42tttttttt 13 分 4 14 分 方法 2：设11(,)P x y，22(,)Q xy，直线TP和TQ的斜率分别为1k和2k 由1:2OTyx，设直线1:2PQ yxt（0t）7 分 联立方程2218212xyyxt，得：222240 xtxt 8 分 当0时，122xxt，21224xxt 9 分 12kk12121122yyxx 121211112222xtxtxx 121212(2)()4(1)(2)(2)x xtxxtxx

23、10 分 21224(2)(2)4(1)(2)(2)ttttxx 11 分 0 12 分 故直线TP和直线TQ的斜率和为零 故TMNTNM 故TMTN 13 分 故T在线段MN的中垂线上，即MN的中点横坐标为 2 故|4OMON 14 分 注：第（）题解得a、b、c的值有错则扣 1 分；第（）题直线TP、TQ的斜率不存在的情况若简单说明或未说明均不扣分；法 1 中计算|OMON和法 2 中计算12kk如果没有代入韦达定理直接出结果扣 1 分；法 2 中不写“MN的中点横坐标为 2”不扣分。20.（本题满分 13 分）（）A是“N数表”，其“N值”为 3，B不是“N 数表”3 分（）方法一：假设

24、,i ja和,ija均是数表A的“N值”，若ii，则,1,2,1,2,max,.,max,.,i jiii niii ni jaaaaaaaa；若jj，则,1,2,1,2,min,.,min,.,i jjjn jjjn ji jaaaaaaaa；若ii，jj，则一方面,1,2,1,2,max,.,min,.,i jiii ni jjjn ji jaaaaaaaaa，另一方面,1,2,1,2,max,.,min,.,i jiii ni jjjn ji jaaaaaaaaa；矛盾.即若数表A是“N 数表”，则其“N值”是唯一的 8 分 方法二：假设,i ja和,ija均是数表A的“N值”，,1,2

25、,1,2,max,.,min,.,i jiii ni jjjn ji jaaaaaaaaa，,1,2,1,2,max,.,min,.,i jiii ni jjjn ji jaaaaaaaaa；故,i ji jaa，矛盾.即若数表A是“N 数表”，则其“N值”是唯一的.8 分（）方法一：X所有可能的取值为19,20,21,.,341,342,343.记19中使得Xk的数表A的个数记作kn，19,20,21,.,341,342,343k，则 218182136119(18!)(18!)(18)!kkknCC.则218182362361119(18!)(18!)(18)!kkkknCCn.令kknp

26、N（其中192021343Nnnnn），k19,20,21,343 则362kkpp，1920213431pppp 注意到 192021343()192021343E Xpppp 34334234119()192021343E Xpppp 19202134334334234119pppp 此时有1920213432()362362362362E Xpppp，故()181E X.13 分 方法二：对任意的由1，2，3，361组成的19行19列的数表,19 19()i jAa.定义数表,19 19()j iBb如下，将数表A的第i行，第j列的元素写在数表B的第j行，第i列，即,j ii jba（其

27、中119i，119j）显然有：数表B是由1，2，3，361组成的19行19列的数表 数表B的第j行的元素，即为数表A的第j列的元素 数表B的第i列的元素，即为数表A的第i行的元素 若数表A中，,i ja是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值 则数表B中，,j ib是第i列中的最大值，也是第j行中的最小值.定义数表,19 19()j iCc如下，其与数表B对应位置的元素的和为 362，即,362j ij icb（其中119i，119j）显然有 数表C是由1，2，3，361组成的19行19列的数表 若数表B中，,j ib是第i列中的最大值，也是第j行中的最小值 则数表C中，,j ic是第i列中的

28、最小值，也是第j行中的最大值 特别地，对由1，2，3，361组成的19行19列的数表,19 19()i jAa 数表C是由1，2，3，361组成的19行19列的数表 若数表A中，,i ja是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值 则数表C中，,j ic是第i列中的最小值，也是第j行中的最大值 即对任意的19A，其“N值”为,i ja（其中119i，119j），则19C，且其“N值”为,362362j ij ii jcba.记()CT A，则()T CA，即数表A与数表()CT A的“N 值”之和为362，故可按照上述方式对19中的数表可以两两配对.记19中使得Xk的数表A的个数记作kn，k19,20,21,343，则 362kknn 令kknpN（其中192021343Nnnnn），k19,20,21,343 则362kkpp，1920213431pppp 注意到 192021343()192021343E Xpppp 34334234119()192021343E Xpppp 19202134334334234119pppp 此时有1920213432()362362362362E Xpppp，故()181E X.13 分