2020年高考数学(理)之数列专题09数列的求和(分组求和、倒序相加法)(解析版)11643.pdf
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1、 1 数列 09 数列的求和(分组求和、倒序相加法)一、具体目标:一、二、知识概述:具本目标:1.掌握等差、等比数列的求和方法;2.掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法.考纲解读:会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和,非等差、等比数列的求和是高考的热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.二、知识概述:求数列前n项和的基本方法(1)直接用等差、等比数列的求和公式求和;等差:11()(1)22nnn aan nSnad;等比:11(1)(1)(1)1nnnaqSaqqq公比是字母时需要讨论.(理)无穷递缩等比数列时,(2)掌握一些常见的数列的前n项和公式
2、:21321nnn;nnn22642;qaS11【考点讲解】2 2531nn;61213212222nnnn;2333321321nnn(3)倒序相加法求和:如果一个数列 na,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法.(4)错位相减法求和:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求.q倍错位相减法:若数列 nc的通项公式nnncab,其中 na、nb中一个是等差数列,另一个是等比数列,求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比,然后再将所得新和式与原和式相减,
3、转化为同倍数的等比数列求和这种方法叫q倍错位相减法 温馨提示:1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.(5)分组求和:有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,先分别求和,再合并.通项公式为 an,nnb nc n为奇数为偶数的数列,其中数列bn,cn是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和 形如:nnba 其中是等比数列是等差数列nnba,NkknngNkknnfan,2,12,(6)并项求和法 一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和形如 1nnaf
4、n 类型,可采用两项合并求解.合并求和:如求22222212979899100的和.(7)裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差,正负相消剩下首尾若干项.常见拆项:111;(1)1n nnn 1111;(21)(21)2 2121nnnn 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn;nnnn111.3 1.【2019 优选题】设数列2232111212212231222n,的前 n 项和为nS,则的值为nS()A.2n B.2nn C.122n D.122nn【解析】由题意可知数列的通项为211 1212222112nnnna,所以有 232 1212121nnS =2312
5、 1 22222221 2nnnnnn.【答案】D 2.【2019 优选题】数列 2,,21,814,413,2121nn的前 n 项之和为()A.nnn2122)1(B.nnn2112)1(C.122124nnn D.122124nnn【解析】本题考点是分组求和在求数列和的具体运用.原式121021213212211nn 110212121321nn 122124nnn【答案】C 3.【2019 优选题】数列 na的通项公式是 121nann,则该数列的前 100 项之和为()A200 B100 C200 D100【解析】本题考点是分组求和在求数列求和的具体运用.根据题意有 1001 357
6、9211971992 50100S ,【真题分析】4 故选 D【答案】D 4.【2019 优选题】1210100510311nn的值为()A.2)110(910nn B.21)110(910nn C.21)110(91nn D.2)1()110(910nn【解析】原式121051031011032nn 125311010102nn=2)110(910nn【答案】A 5.【2019 优选题】1110113112111,244)(ffffxfxx则设 .【解析】本题考点是倒序相加求和的具体运用.f(x)4x4x2,f(1x)41x41x2224x,f(x)f(1x)4x4x2224x1.12310
7、11111111S ffff设=1098111111111S ffff=两式相加可得101921102111111111111Sffffff=2=10S,=5S.【答案】5 6.设 f(x)4x4x2,若 Sf(12 015)f(22 015)f(2 0142 015)则 S_.【解析】本题考点是倒序相加求和的具体运用 f(x)4x4x2,f(1x)41x41x2224x,f(x)f(1x)4x4x2224x1.Sf(12 015)f(22 015)f(2 0142 015),5 Sf(2 0142 015)f(2 0132 015)f(12 015),得,2Sf(12 015)f(2 014
8、2 015)f(22 015)f(2 0132 015)f(2 0142 015)f(12 015)2 014,S2 01421 007.【答案】1007 7.【2018 年高考天津卷文数】设an是等差数列,其前 n 项和为 Sn(nN*);bn是等比数列,公比大于 0,其前 n 项和为 Tn(nN*)已知 b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6(1)求 Sn和 Tn;(2)若 Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn,求正整数 n 的值【解析】(1)设等比数列nb的公比为 q,由 b1=1,b3=b2+2,可得220qq 因为0q,可得2q,故12nnb所以,1221
9、12nnnT 设等差数列na的公差为d由435baa,可得134ad由5462baa,可得131316,ad从而11,1ad,故nan,所以,(1)2nn nS(2)由(1),有131122(12)(222)=22.12nnnnTTTnnn 由12()4nnnnSTTTab可得11(1)2222nnn nnn,整理得2340,nn解得1n(舍),或4n 所以 n 的值为 4【答案】(1)(1)2nn nS,21nnT;(2)4.8.【2019 优选题】已知数列 na满足651a,若对于任意2,*nNn,二次方程0121xaxann都有根,,且满足133。(1)求证:21na是等比数列;(2)求
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