2018浙江省宁波市中考数学试卷与答案解析10734.pdf

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1、 第 1 页（共 28 页）2018 年浙江省宁波市中考数学试卷 一、选择题（每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1（4 分）在3，1，0，1 这四个数中，最小的数是（）A3 B1 C0 D1 2（4 分）2018 中国（宁波）特色文化产业博览会于 4 月 16 日在宁波国际会展中心闭幕本次博览会为期四天，参观总人数超 55 万人次，其中 55 万用科学记数法表示为（）A0.55106 B5.5105 C5.5104 D55104 3（4 分）下列计算正确的是（）Aa3+a3=2a3 Ba3a2=a6 Ca6a2=a3 D（a3）2=a5 4（4 分）

2、有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字 1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（）A B C D 5（4 分）已知正多边形的一个外角等于40，那么这个正多边形的边数为（）A6 B7 C8 D9 6（4 分）如图是由 6 个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）A主视图 B左视图 C俯视图 D主视图和左视图 7（4 分）如图，在ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 是边 CD 的中点，连结 OE若ABC=60，BAC=80，则1 的度数为（）第 2 页（共 28 页）A50 B40 C

3、30 D20 8（4 分）若一组数据 4，1，7，x，5 的平均数为 4，则这组数据的中位数为（）A7 B5 C4 D3 9（4 分）如图，在ABC 中，ACB=90，A=30，AB=4，以点 B 为圆心，BC长为半径画弧，交边 AB 于点 D，则的长为（）A B C D 10（4 分）如图，平行于 x 轴的直线与函数 y=（k10，x0），y=（k20，x0）的图象分别相交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若ABC 的面积为 4，则 k1k2的值为（）A8 B8 C4 D4 11（4 分）如图，二次函数 y=ax2+bx 的图象开口向下，且经过第三象限的

4、点 P 若点 P 的横坐标为1，则一次函数 y=（ab）x+b 的图象大致是（）第 3 页（共 28 页）A B C D 12（4 分）在矩形 ABCD 内，将两张边长分别为 a 和 b（ab）的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式放置（图 1，图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1 中阴影部分的面积为 S1，图 2 中阴影部分的面积为 S2当 ADAB=2 时，S2S1的值为（）A2a B2b C2a2b D2b 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）13（4 分）计算：|2018|=14（4 分）要使分式有意义，x 的取值应满足

5、15（4 分）已知 x，y 满足方程组，则 x24y2的值为 16（4 分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB，飞机上的测量人员在 C 处测得 A，B 两点的俯角分别为 45和 30若飞机离地面的高度 CH 为1200 米，且点 H，A，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度 AB 为 米（结果保留根号）第 4 页（共 28 页）17（4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 是 AB 的中点，P 是 BC 边上的动点，连结 PM，以点 P 为圆心，PM 长为半径作P当P 与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为 18（4 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，B

6、是锐角，AEBC 于点 E，M 是AB 的中点，连结 MD，ME若EMD=90，则 cosB 的值为 三、解答题（本大题有 8 小题，共 78 分）19（6 分）先化简，再求值：（x1）2+x（3x），其中 x=20（8 分）在 53 的方格纸中，ABC 的三个顶点都在格点上 （1）在图 1 中画出线段 BD，使 BDAC，其中 D 是格点；（2）在图 2 中画出线段 BE，使 BEAC，其中 E 是格点 21（8 分）在第 23 个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用 t 表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按 0t2，2t3，3t4，t4

7、分为四个等级，并依次用 A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由 第 5 页（共 28 页）图中给出的信息解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数；（2）求扇形统计图中等级 B 所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；（3）若该校共有学生 1200 人，试估计每周课外阅读时间满足 3t4 的人数 22（10 分）已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点（1，0），（0，）（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线 y=x2+bx+c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式 23（10 分）如图，在ABC 中，ACB

8、=90，AC=BC，D 是 AB 边上一点（点 D与 A，B 不重合），连结 CD，将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90得到线段 CE，连结 DE 交 BC 于点 F，连接 BE（1）求证：ACDBCE；（2）当 AD=BF 时，求BEF 的度数 24（10 分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了 2000 元，乙种商品共用了 2400 元已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多 8 元，且购进的甲、乙两种商品件数相同（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为 60 元，乙种商品的销售单价为 88 元，销售过程中发现甲种商

9、品销量不好，商场决定：第 6 页（共 28 页）甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变要使两种商品全部售完后共获利不少于 2460 元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？25（12 分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形 （1）已知ABC 是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的 AC的长；（2）如图 1，在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 BD 平分ABC，BAC=ADC 求证：ABC 是比例三角形（3）如图 2，在（2）的条件下，当ADC=90时，求的值 26（14 分）如

10、图 1，直线 l：y=x+b 与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点B，点 C 是线段 OA 上一动点（0AC）以点 A 为圆心，AC 长为半径作A交 x 轴于另一点 D，交线段 AB 于点 E，连结 OE 并延长交A 于点 F （1）求直线 l 的函数表达式和 tanBAO 的值；（2）如图 2，连结 CE，当 CE=EF 时，求证：OCEOEA；求点 E 的坐标；（3）当点 C 在线段 OA 上运动时，求 OEEF 的最大值 第 7 页（共 28 页）2018 年浙江省宁波市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有

11、一项符合题目要求）1（4 分）在3，1，0，1 这四个数中，最小的数是（）A3 B1 C0 D1【分析】根据正数大于零，零大于负数，可得答案【解答】解：由正数大于零，零大于负数，得 3101，最小的数是3，故选：A【点评】本题考查了有理数比较大小，利用正数大于零，零大于负数是解题关键 2（4 分）2018 中国（宁波）特色文化产业博览会于 4 月 16 日在宁波国际会展中心闭幕本次博览会为期四天，参观总人数超 55 万人次，其中 55 万用科学记数法表示为（）A0.55106 B5.5105 C5.5104 D55104【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为

12、整数 确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n是负数【解答】解：550000=5.5105，故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3（4 分）下列计算正确的是（）Aa3+a3=2a3 Ba3a2=a6 Ca6a2=a3 D（a3）2=a5 第 8 页（共 28 页）【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方

13、的运算方法，逐项判定即可【解答】解：a3+a3=2a3，选项 A 符合题意；a3a2=a5，选项 B 不符合题意；a6a2=a4，选项 C 不符合题意；（a3）2=a6，选项 D 不符合题意 故选：A【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确：底数 a0，因为 0 不能做除数；单独的一个字母，其指数是 1，而不是0；应用同底数幂除法的法则时，底数 a 可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么 4（4 分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片

14、背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（）A B C D【分析】让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数5 即为所求的概率【解答】解：从写有数字 1，2，3，4，5 这 5 张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有 2、4 这 2 种结果，正面的数字是偶数的概率为，故选：C 第 9 页（共 28 页）【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比 5（4 分）已知正多边形的一个外角等于 40，那么这个正多边形的边数为（）A6 B7 C8 D9【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数【解答】解

15、：正多边形的一个外角等于 40，且外角和为 360，则这个正多边形的边数是：36040=9 故选：D【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于 360 度 6（4 分）如图是由 6 个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）A主视图 B左视图 C俯视图 D主视图和左视图【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案【解答】解：从上边看是一个田字，“田”字是中心对称图形，故选：C【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了中心对称图形 7（4 分）如图，在ABCD 中，对角线 AC 与 BD

16、 相交于点 O，E 是边 CD 的中点，连结 OE若ABC=60，BAC=80，则1 的度数为（）第 10 页（共 28 页）A50 B40 C30 D20【分析】直接利用三角形内角和定理得出BCA 的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案【解答】解：ABC=60，BAC=80，BCA=1806080=40，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 是边 CD 的中点，EO 是DBC 的中位线，EOBC，1=ACB=40 故选：B【点评】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO 是DBC 的中位线是解题关键 8（4 分）若一组数据 4，1，7，x，5 的平

17、均数为 4，则这组数据的中位数为（）A7 B5 C4 D3【分析】先根据平均数为 4 求出 x 的值，然后根据中位数的概念求解【解答】解：数据 4，1，7，x，5 的平均数为 4，=4，解得：x=3，则将数据重新排列为 1、3、4、5、7，所以这组数据的中位数为 4，故选：C【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 第 11 页（共 28 页）9（4 分）如图，在ABC 中，ACB=90，A=30，AB=4，以点 B 为圆心，

18、BC长为半径画弧，交边 AB 于点 D，则的长为（）A B C D【分析】先根据 ACB=90，AB=4，A=30，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧 CD 的长【解答】解：ACB=90，AB=4，A=30，B=60，BC=2 的长为=，故选：C【点评】本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形 30 度角的性质，解题时注意弧长公式为：l=（弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 R）10（4 分）如图，平行于 x 轴的直线与函数 y=（k10，x0），y=（k20，x0）的图象分别相交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若ABC 的面积为 4，则

19、k1k2的值为（）A8 B8 C4 D4【分析】设 A（a，h），B（b，h），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出 ah=k1，bh=k2根据三角形的面积公式得到 SABC=AByA=（ab）h=（ahbh）=（k1k2）=4，求出 k1k2=8 第 12 页（共 28 页）【解答】解：ABx 轴，A，B 两点纵坐标相同 设 A（a，h），B（b，h），则 ah=k1，bh=k2 SABC=AByA=（ab）h=（ahbh）=（k1k2）=4，k1k2=8 故选：A【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式也考查了三角形的面积 11（4 分）

20、如图，二次函数 y=ax2+bx 的图象开口向下，且经过第三象限的点 P 若点 P 的横坐标为1，则一次函数 y=（ab）x+b 的图象大致是（）A B C D【分析】根据二次函数的图象可以判断 a、b、ab 的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决【解答】解：由二次函数的图象可知，a0，b0，当 x=1 时，y=ab0，y=（ab）x+b 的图象在第二、三、四象限，第 13 页（共 28 页）故选：D【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答 12（4 分）在矩形 ABCD 内，将两张边长分别为 a 和 b（ab）的正方形

21、纸片按图 1，图 2 两种方式放置（图 1，图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1 中阴影部分的面积为 S1，图 2 中阴影部分的面积为 S2当 ADAB=2 时，S2S1的值为（）A2a B2b C2a2b D2b【分析】利用面积的和差分别表示出 S1和 S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差【解答】解：S1=（ABa）a+（CDb）（ADa）=（ABa）a+（ABb）（ADa），S2=AB（ADa）+（ab）（ABa），S2S1=AB（ADa）+（ab）（ABa）（ABa）a（ABb）（ADa）=（ADa）（ABAB+b）+（ABa

22、）（aba）=bAD abbAB+ab=b（ADAB）=2b 故选：B【点评】本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来也考查了正方形的性质 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）13（4 分）计算：|2018|=2018 【分析】直接利用绝对值的性质得出答案【解答】解：|2018|=2018 第 14 页（共 28 页）故答案为：2018【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键 14（4 分）要使分式有意义，x 的取值应满足 x1 【分析】直接利用分式

23、有意义则分母不能为零，进而得出答案【解答】解：要使分式有意义，则：x10 解得：x1，故 x 的取值应满足：x1 故答案为：x1【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键 15（4 分）已知 x，y 满足方程组，则 x24y2的值为 8 【分析】根据平方差公式即可求出答案【解答】解：原式=（x+2y）（x2y）=35=15 故答案为：15【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型 16（4 分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB，飞机上的测量人员在 C 处测得 A，B 两点的俯角分别为 45和 30若飞机离地面的高度 CH

24、 为1200 米，且点 H，A，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度 AB 为 1200（1）米（结果保留根号）【分析】在 RtACH 和 RtHCB 中，利用锐角三角函数，用 CH 表示出 AH、BH 第 15 页（共 28 页）的长，然后计算出 AB 的长【解答】解：由于 CDHB，CAH=ACD=45，B=BCD=30 在 RtACH 中，CAH=45 AH=CH=1200 米，在 RtHCB，tanB=HB=1200（米）AB=HBHA=12001200=1200（1）米 故答案为：1200（1）【点评】本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题题目难度不大，解决本题的关键是用含 CH 的

25、式子表示出 AH 和 BH 17（4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 是 AB 的中点，P 是 BC 边上的动点，连结 PM，以点 P 为圆心，PM 长为半径作P当P 与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为 3 或 4 第 16 页（共 28 页）【分析】分两种情形分别求解：如图 1 中，当P 与直线 CD 相切时；如图 2 中当P 与直线 AD 相切时设切点为 K，连接 PK，则 PKAD，四边形 PKDC 是矩形；【解答】解：如图 1 中，当P 与直线 CD 相切时，设 PC=PM=m 在 RtPBM 中，PM2=BM2+PB2，x2=42+（8x）2，x=5，PC=5

26、，BP=BCPC=85=3 如图 2 中当P 与直线 AD 相切时设切点为 K，连接 PK，则 PKAD，四边形PKDC 是矩形 PM=PK=CD=2BM，BM=4，PM=8，在 RtPBM 中，PB=4 综上所述，BP 的长为 3 或 4 第 17 页（共 28 页）【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题 18（4 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，B 是锐角，AEBC 于点 E，M 是AB 的中点，连结 MD，ME若EMD=90，则 cosB 的值为 【分析】延长 DM 交 CB 的延长线于点

27、 H首先证明 DE=EH，设 BE=x，利用勾股定理构建方程求出 x 即可解决问题【解答】解：延长 DM 交 CB 的延长线于点 H 四边形 ABCD 是菱形，AB=BC=AD=2，ADCH，ADM=H，AM=BM，AMD=HMB，ADMBHM，AD=HB=2，EMDH，EH=ED，设 BE=x，AEBC，AEAD，AEB=EAD=90 AE2=AB2BE2=DE2AD2，22x2=（2+x）222，第 18 页（共 28 页）x=1 或1（舍弃），cosB=，故答案为【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构

28、造全等三角形解决问题，属于中考常考题型 三、解答题（本大题有 8 小题，共 78 分）19（6 分）先化简，再求值：（x1）2+x（3x），其中 x=【分析】首先计算完全平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再把 x 的值代入即可【解答】解：原式=x22x+1+3xx2=x+1，当 x=时，原式=+1=【点评】此题主要考查了整式的混合运算化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值 20（8 分）在 53 的方格纸中，ABC 的三个顶点都在格点上 （1）在图 1 中画出线段 BD，使 BDAC，其中 D 是格点；（2）在图 2 中画出线段 BE，使 BEA

29、C，其中 E 是格点【分析】（1）将线段 AC 沿着 AB 方向平移 2 个单位，即可得到线段 BD；（2）利用 23 的长方形的对角线，即可得到线段 BEAC【解答】解：（1）如图所示，线段 BD 即为所求；第 19 页（共 28 页）（2）如图所示，线段 BE 即为所求【点评】本题主要考查了作图以及平行四边形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图 21（8 分）在第 23 个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用 t 表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按 0t2，2t3，3t4，t4

30、分为四个等级，并依次用 A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数；（2）求扇形统计图中等级 B 所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；（3）若该校共有学生 1200 人，试估计每周课外阅读时间满足 3t4 的人数【分析】（1）由条形图、扇形图中给出的级别A 的数字，可计算出调查学生人数；（2）先计算出 C 在扇形图中的百分比，用 1（A+D+C）在扇形图中的百分比可计算出 B 在扇形图中的百分比，再计算出 B 在扇形的圆心角（3）总人数课外阅读时间满足 3t4 的百分比即得所求【解答】解：

31、（1）由条形图知，A 级的人数为 20 人，由扇形图知：A 级人数占总调查人数的 10%第 20 页（共 28 页）所以：2010%=20=200（人）即本次调查的学生人数为 200 人；（2）由条形图知：C 级的人数为 60 人 所以 C 级所占的百分比为：100%=30%，B 级所占的百分比为：110%30%45%=15%，B 级的人数为 20015%=30（人）D 级的人数为：20045%=90（人）B 所在扇形的圆心角为：36015%=54（3）因为 C 级所占的百分比为 30%，所以全校每周课外阅读时间满足 3t4 的人数为：120030%=360（人）答：全校每周课外阅读时间满足

32、3t4 的约有 360 人 【点评】本题考查了扇形图和条形图的相关知识题目难度不大扇形图中某项的百分比=100%，扇形图中某项圆心角的度数=360该项在扇形图中的百分比 22（10 分）已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点（1，0），（0，）（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线 y=x2+bx+c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出 b 与 c 的值即可；（2）指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可 第 21 页（共 28 页）【解答】解：（1）把（1，0），（0，）代入抛物线解析式得：，解得

33、：，则抛物线解析式为 y=x2x+；（2）抛物线解析式为 y=x2x+=（x+1）2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移 2 个单位，解析式变为 y=x2【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键 23（10 分）如图，在ABC 中，ACB=90，AC=BC，D 是 AB 边上一点（点 D与 A，B 不重合），连结 CD，将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90得到线段 CE，连结 DE 交 BC 于点 F，连接 BE（1）求证：ACDBCE；（2）当 AD=BF 时，求BE

34、F 的度数 【分析】（1）由题意可知：CD=CE，DCE=90，由于ACB=90，所以ACD=ACBDCB，BCE=DCEDCB，所以ACD=BCE，从而可证明ACDBCE（SAS）（2）由ACDBCE（SAS）可知：A=CBE=45，BE=BF，从而可求出BEF的度数【解答】解：（1）由题意可知：CD=CE，DCE=90，ACB=90，ACD=ACBDCB，第 22 页（共 28 页）BCE=DCEDCB，ACD=BCE，在ACD 与BCE 中，ACDBCE（SAS）（2）ACB=90，AC=BC，A=45，由（1）可知：A=CBE=45，AD=BF，BE=BF，BEF=67.5【点评】本题

35、考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型 24（10 分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了 2000 元，乙种商品共用了 2400 元已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多 8 元，且购进的甲、乙两种商品件数相同（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为 60 元，乙种商品的销售单价为 88 元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变要使两种商品全部售完后共获利不少于 2460

36、 元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？【分析】（1）设甲种商品的每件进价为 x 元，乙种商品的每件进价为 y 元根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000 元，乙种商品共用了 2400元购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；（2）设甲种商品按原销售单价销售 a 件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于 2460 元”列出不等式 第 23 页（共 28 页）【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为 x 元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元 根据题意，得，=，解得 x=40 经检验，x=40 是原方程的解 答：甲种商品的每件进价为 40 元，乙种商品的每件进价为 48 元；（

37、2）甲乙两种商品的销售量为=50 设甲种商品按原销售单价销售 a 件，则（6040）a+（600.740）（50a）+（8848）502460，解得 a20 答：甲种商品按原销售单价至少销售 20 件【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润=售价进价 25（12 分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形 （1）已知ABC 是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的 AC的长；（2）如图 1，在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 BD 平分ABC，BAC=A

38、DC 求证：ABC 是比例三角形（3）如图 2，在（2）的条件下，当ADC=90时，求的值【分析】（1）根据比例三角形的定义分 AB2=BCAC、BC2=ABAC、AC2=ABBC三种情况分别代入计算可得；（2）先证ABCDCA 得 CA2=BCAD，再由ADB=CBD=ABD 知 AB=AD 即 第 24 页（共 28 页）可得；（3）作 AHBD，由 AB=AD 知 BH=BD，再证ABHDBC 得 ABBC=BHDB，即 ABBC=BD2，结合 ABBC=AC2知BD2=AC2，据此可得答案【解答】解：（1）ABC 是比例三角形，且 AB=2、AC=3，当 AB2=BCAC 时，得：4=

39、3AC，解得：AC=；当 BC2=ABAC 时，得：9=2AC，解得：AC=；当 AC2=ABBC 时，得：AC=6，解得：AC=（负值舍去）；所以当 AC=或或时，ABC 是比例三角形；（2）ADBC，ACB=CAD，又BAC=ADC，ABCDCA，=，即 CA2=BCAD，ADBC，ADB=CBD，BD 平分ABC，ABD=CBD，ADB=ABD，AB=AD，CA2=BCAB，ABC 是比例三角形；（3）如图，过点 A 作 AHBD 于点 H，第 25 页（共 28 页）AB=AD，BH=BD，ADBC，ADC=90，BCD=90，BHA=BCD=90，又ABH=DBC，ABHDBC，=，

40、即 ABBC=BHDB，ABBC=BD2，又ABBC=AC2，BD2=AC2，=【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质 26（14 分）如图 1，直线 l：y=x+b 与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点B，点 C 是线段 OA 上一动点（0AC）以点 A 为圆心，AC 长为半径作A交 x 轴于另一点 D，交线段 AB 于点 E，连结 OE 并延长交A 于点 F （1）求直线 l 的函数表达式和 tanBAO 的值；（2）如图 2，连结 CE，当 CE=EF 时，求证：OCEOEA；求点 E 的坐标；第 26 页

41、（共 28 页）（3）当点 C 在线段 OA 上运动时，求 OEEF 的最大值【分析】（1）利用待定系数法求出 b 即可得出直线 l 表达式，即可求出 OA，OB，即可得出结论；（2）先判断出CDF=2CDE，进而得出OAE=ODF，即可得出结论；设出 EM=3m，AM=4m，进而得出点 E 坐标，即可得出 OE 的平方，再根据的相似得出比例式得出 OE 的平方，建立方程即可得出结论；（3）利用面积法求出 OG，进而得出 AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论【解答】解：直线 l：y=x+b 与 x 轴交于点 A（4，0），4+b=0，b=3，直线 l 的函数表达式 y=x+3，B（0，3

42、），OA=4，OB=3，在 RtAOB 中，tanBAO=；（2）如图 2，连接 DF，CE=EF，CDE=FDE，CDF=2CDE，OAE=2CDE，OAE=ODF，四边形 CEFD 是O 的圆内接四边形，OEC=ODF，OEC=OAE，COE=EOA，COEEOA，过点 EOA 于 M，由知，tanOAB=，第 27 页（共 28 页）设 EM=3m，则 AM=4m，OM=44m，AE=5m，E（44m，3m），AC=5m，OC=45m，由知，COEEOA，OE2=OAOC=4（45m）=1620m，E（44m，3m），（44m）2+9m2=25m232m+16，25m232m+16=1620m，m=0（舍）或 m=，44m=，3m=，（，），（3）如图，设O 的半径为 r，过点 O 作 OGAB 于 G，A（4，0），B（0，3），OA=4，OB=3，AB=5，ABOG=OAOB，OG=，AG=，EG=AGAE=r，连接 FH，EH 是O 直径，EH=2r，EFH=90=EGO，OEG=HEF，OEGHEF，第 28 页（共 28 页），OEEF=HEEG=2r（r）=2（r）2+，r=时，OEEF最大值为 【点评】此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键