13讲--变化率与导数、导数的计算10309.pdf

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1、1 第 13 讲 变化率与导数、导数的计算 1导数的概念(1)函数 yf(x)在 xx0处的导数：称函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率 limx0 fx0 xfx0 xlimx0 yx为函数 yf(x)在 xx0处的导数，记作 f(x0)或 y|xx0，即 f(x0)limx0 yxlimx0 fx0 xfx0 x.(2)导数的几何意义：函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点 P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)相应地，切线方程为 yy0f(x0)(xx0)(3)函数 f(x)的导函数：称函数 f(x)

2、limx0fxxfxx为 f(x)的导函数 2基本初等函数的导数公式(sin x)cos_x，(cos x)sin_x，(ax)axln_a，(ex)ex，(logax)1xln a，(ln x)1x.3导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)fxgxfxgxfxgxgx2(g(x)0)4复合函数的导数 复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yxyuux，即 y 对 x 的导数等于 y对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止

3、与乘法公式混淆 2求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者 3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别 试一试 1(2013江西高考)设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex)xex，则 f(1)_.解析：因为 f(ex)xex，所以 f(x)xln x(x0)，所以 f(x)11x，所以 f(1)2.答案：2 2函数 yxcos xsin x 的导数为_ 解析：y(xcos x)(sin x)xcos xx(cos x)cos x cos xxsin xcos x 2 xsin x.答案：xsin

4、 x 考点一 利用导数的定义求函数的导数 利用导数的定义求函数的导数：(1)yx2，(2)f(x)1x2.解：(1)因为yxfxxfxx xx2x2x x22xxx2x2x2xx，所以 ylimx0 yxlimx0(2xx)2x.(2)因为yxfxxfxx1xx21x2x 1xx2x2 所以 ylimx0yxlimx0 1xx2x21x22.类题通法 定义法求函数的导数的三个步骤 一差：求函数的改变量 yf(xx)f(x)二比：求平均变化率yxfxxfxx.三极限：取极限，得导数 yf(x)limx0yx.考点二 导数的运算 典例 求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)yex1ex1；

5、(3)yln(2x5)解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)yex1ex1ex1ex1ex12 exex1ex1exex122exex12.3(3)令 u2x5，yln u，则 y(ln u)u12x5222x5，即 y22x5.类题通法 1求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错 2有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量 3复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定

6、复合过程，然后求导 针对训练 已知 f(x)sin 2x，记 fn1(x)fn(x)(nN*)，则 f16f26f2 0136f2 0146_.解析：由题意，可知 f2(x)f1(x)(sin 2x)2cos 2x；f3(x)f2(x)(2cos 2x)4sin 2x；f4(x)f3(x)(4sin 2x)8cos 2x；f5(x)f4(x)(8cos 2x)16sin 2x；故 f4k1(x)24ksin 2x，f4k2(x)24k1cos 2x，f4k3(x)24k2sin 2x，f4k4(x)24k3cos 2x(kN)所以 f16f26f2 0146 20sin2621cos2622s

7、in26 23cos2624sin2622 010sin2622 011cos2622 012sin2622 013cos26(2022242622 00822 01022 012)sin3(2123252722 00922 01122 013)cos3 11221 0071223221221 00712212 122 0145322122 014512 32122 01410 答案：32122 01410 考点三 导数的几何意义 4 角度一 求切线方程 1(2014洛阳统考)已知函数 f(x)3xcos 2xsin 2x，af4，f(x)是 f(x)的导函数，则过曲线 yx3上一点 P(a，

8、b)的切线方程为()A3xy20 B4x3y10 C3xy20 或 3x4y10 D3xy20 或 4x3y10 解析：选 A 由 f(x)3xcos 2xsin 2x 得 f(x)32sin 2x2cos 2x，则 af432sin22cos21.由 yx3得 y3x2，过曲线 yx3上一点 P(a，b)的切线的斜率 k3a23123.又 ba3，则 b1，所以切点 P 的坐标为(1,1)，故过曲线 yx3上的点 P 的切线方程为 y13(x1)，即 3xy20.角度二 求切点坐标 2(2013辽宁五校第二次联考)曲线 y3ln xx2 在点 P0处的切线方程为 4xy10，则点 P0的坐标

9、是()A(0,1)B(1，1)C(1,3)D(1,0)解析：选 C 由题意知 y3x14，解得 x1，此时 41y10，解得 y3，点 P0的坐标是(1,3)角度三 求参数的值 3已知 f(x)ln x，g(x)12x2mx72(m0)，直线 l 与函数 f(x)，g(x)的图像都相切，且与 f(x)图像的切点为(1，f(1)，则 m 等于()A1 B3 C4 D2 解析：选 D f(x)1x，直线 l 的斜率为 kf(1)1，又 f(1)0，切线 l 的方程为 yx1.导数的几何意义是每年高考的重点，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，利用这一点可以解决有关导数的几何意义的问题.归

10、纳起来常见的命题角度有：1求切线方程；2求切点坐标；3求参数的值.5 g(x)xm，设直线 l 与 g(x)的图像的切点为(x0，y0)，则有 x0m1，y0 x01，y012x20mx072，m0，于是解得 m2，故选 D.类题通法 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点 A(x0，f(x0)求斜率 k，即求该点处的导数值：kf(x0)；(2)已知斜率 k，求切点 A(x1，f(x1)，即解方程 f(x1)k；(3)已知过某点 M(x1，f(x1)(不是切点)的切线斜率为 k 时，常需设出切点 A(x0，f(x0)，利用 kfx1fx0 x1x0求解