2020年高考数学(文)二轮专项复习专题03三角函数与解三角形12259.pdf

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1、 1 专题 03 三角函数与解三角形 三角函数是一种重要的基本初等函数，它是描述周期现象的一个重要函数模型，可以加深对函数的概念和性质的理解和运用其主要内容包括：三角函数的概念、三角变换、三角函数、解三角形等四部分 在掌握同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式的基础上，能进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明；理解并能正确解决正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质问题；运用三角公式和正弦定理、余弦定理解斜三角形重点考查相关的数学思想方法，如方程的思想、数形结合、换元法等 31 三角函数的概念【知识要点】1角扩充到任意角：通过旋转和弧度制使得三角函

2、数成为以实数为自变量的函数 2弧度 rad 以及度与弧度的互化：3.57)180(rad1,180;rl 3三角函数的定义：在平面直角坐标系中，任意角的顶点在原点，始边在 x 轴正半轴上，终边上任意一点 P(x，y)，OPr(r0)，则;cos;sinrxryxytan 4三角函数的定义域与值域：函数 定义域 值域 ysinx R 1，1 ycosx R 1，1 ytanx,2|Z kkxx R 5三角函数线：正弦线MP，余弦线OM，正切线AT 6同角三角函数基本关系式：cossintan,1cossin22 7诱导公式：任意角的三角函数与角2,等的三角函数之间的关系，可以统一为“k2”形式，

3、记忆规律为“将看作锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶 2 不变”【复习要求】1会用弧度表示角的大小，能进行弧度制与角度制的互化；会表示终边相同的角；会象限角的表示方法 2根据三角函数定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号，牢记特殊角的三角函数值，3会根据三角函数定义，求任意角的三个三角函数值 4理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式【例题分析】例 1 (1)已知角的终边经过点 A(1，2)，求 sin，cos，tan的值；(2)设角的终边上一点),3(yP，且1312sin，求 y 的值和 tan 解：(1)5|OAr，所以.2tan,55cos,55252sinxyrxry(2),13

4、123sin,3|22yyyOPr 得13123022yyy，解得.3236tan,6xyy【评析】利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握，同时应关注其中变量的符号 例 2 (1)判断下列各式的符号：sin330cos(260)tan225 sin(3)cos4(2)已知 cos0 且 tan0，那么角是()A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角(3)已知是第二象限角，求角2,2的终边所处的位置 解：如图 311，图 312(1)330是第四象限角，sin3300；260是第二象限角，cos(260)0；225是第三象限角，tan2250；所以 sin330cos(26

5、0)tan2250.3 是第三象限角，sin(3)0；5 是第四象限角，cos50，所以 sin(3)cos50 或：3357.3171.9，为第三象限角；5557.3286.5，是第四象限角【评析】角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针、顺时针两个方向旋转进行判断，图 311，图 312 两个坐标系应予以重视 3 (2)cos0，所以角终边在第二或第三象限或在 x 轴负半轴上 tan0，所以角终边在第二或第四象限中，所以角终边在第二象限中，选 B.【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握，(3)分析：容易误认为2是第一象限角，其错误原因为认为第二象限角的范围是),2(是第

6、二象限角，所以 2k22k，(kZ)，所以,224kk)(Zk如下图 313，可得2是第一象限或第三象限角，又 4k24k2，2是第三象限或第四象限角或终边落在 y 轴负半轴的角 【评析】处理角的象限问题常用方法(1)利用旋转成角，结合图 311，图 312，从角度制和弧度制两个角度处理；(2)遇到弧度制问题也可以由)180(rad157.3化为角度处理；(3)在考虑角的终边位置时，应注意考虑终边在坐标轴上的情况(4)对于象限角和轴上角的表示方法应很熟练 如第一象限角：)(,222Zkkk，注意防止20的错误写法 例 3 (1)已知 tan3，且为第三象限角，求 sin，cos的值；(2)已知

7、31cos，求 sintan的值；(3)已知 tan2，求值：cossincossin2；sin2sincos 解：(1)因为为第三象限角，所以 sin0，cos0 4 1cossin3cossin22，得到.1010cos10103sin(2)因为031cos，且不等于1，所以为第二或第三象限角，当为第二象限角时，sin0，,22cossintan,322cos1sin2 所以324tansin 当为第三象限角时，sin0，,22cossintan,322cos1sin2 所以324tansin 综上所述：当为第二象限角时，324tansin，当为第三象限角时，324tansin【评析】已知

8、一个角的某一个三角函数值，求其余的三角函数值的步骤：(1)先定所给角的范围：根据所给角的函数值的符号进行判断(2)利用同角三角函数的基本关系式，求其余的三角函数值(注意所求函数值的符号)(3)当角的范围不确定时，应对角的范围进行分类讨论(3)(法一)：因为 tan2，所以.cos2sin,2cossin 原式1cos3cos3coscos2coscos4，原式(2cos)2(2cos)cos2cos2，因为1cossincos2sin22，得到51cos2，所以52cossinsin2(法二)：原式,112141tan1tan21cossin1cossin2 原式5214241tantanta

9、ncossincossinsin22222【评析】已知一个角的正切值，求含正弦、余弦的齐次式的值：5(1)可以利用cossintan将切化弦，使得问题得以解决；(2)1 的灵活运用，也可以利用 sin2cos21，cossintan，将弦化为切 例 4 求值：(1)tan2010_；(2)619sin(_；(3)2cos()3sin()23sin()cos()2sin(解：(1)tan2010tan(1800210)tan210tan(18030)3330tan(2)216sin)6sin()63sin(619sin)619sin(或:216sin)6sin()63sin()619sin(【评

10、析】“将看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”，6226，可以看出是2的2 倍(偶数倍)，借助图 312 看出6 为第二象限角，正弦值为正(3)原式)2cos()sin()2(sin)cos(sin sin1sincoscossinsin)2sin(cossin【分析】2323，将看做锐角，借助图 312 看出23为第三象限角，正弦值为负，2的3倍(奇数倍)，改变函数名，变为余弦，所以可得cos)23sin(，同理可得sin)2cos(，所以原式cscsin1sinsincos)cos(sin.【评析】诱导公式重在理解它的本质规律，对于“将看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”要灵

11、活运用，否则容易陷入公式的包围，给诱导公式的应用带来麻烦 例 5 已知角的终边经过点)5sin,5cos(，则的值为()A5 B54 C)(,5Zkk D)(,254Zkk 解：因为05sin,05cos，所以点)5sin,5cos(在第二象限中，由三角函数定义得，6 5tan5cos5sintanxy，因为角的终边在第二象限，所以)254tan(54tan)5tan(tank，所以，)(,254Zkk，选 D 例 6 化简下列各式：(1)若为第四象限角，化简2sin1tan (2)化简2tan1cos(3)化简)4cos(4sin21 解：(1)原式|cos|cossin|cos|tanco

12、stan2，因为为第四象限角，所以 cos0，原式sincoscossin，(2)原式|cos|coscos1coscossincoscoscossin1cos222222 当为第二、三象限角或终边在 x 轴负半轴上时，cos0，所以原式1coscos，当为第一、四象限角或终边在 x 轴正半轴上时，cos0，所以原式1coscos.(3)原式|4cos4sin|)4cos4(sin4cos4sin212.4 弧度属于第三象限角，所以 sin40，cos40，所以原式(sin4cos4)sin4cos4【评析】利用同角三角函数关系式化简的基本原则和方法：(1)函数名称有弦有切：切化弦；(2)分式

13、化简：分式化整式；(3)根式化简：无理化有理(被开方式凑平方)，运用|2xx，注意对符号的分析讨论；(4)注意公式(sincos)212sincos1sin2的应用 例 7 扇形的周长为定值 L，问它的圆心角(0)取何值时，扇形的面积 S 最大?并求出最大值 解：设扇形的半径为)20(Lrr，则周长 Lr2r(0)所以44214421)2(21212,22222222LLLrrSLr 因为844244，当且仅当4，即2(0，)时等号成立 7 此时16812122LLS，所以，当2 时，S 的最大值为162L.练习 31 一、选择题 1已知32cos，角终边上一点 P(2，t)，则 t 的值为(

14、)A5 B5 C55 D55 2“tan1”是“Zkk,42”的()A充分而不必要条件 B必要不而充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已知点 P(sincos，tan)在第一象限，则在0，2上角的取值范围是()A)45,()43,2(B)45,()2,4(C)23,45()43,2(D),43()2,4(4化简170cos10sin21()Asin10cos10 Bsin10cos10 Ccos10sin10 Dsin10cos10 二、填空题 5已知角，满足关系20;，则的取值范围是_ 6扇形的周长为 16，圆心角为 2 弧度，则扇形的面积为_ 7若23,sinm，则 tan()

15、_ 8已知：24,81cossin，则 cossin_ 三、解答题 9已知 tan2，且 cos()0，求(1)sincos的值 (2)2cossin22的值 10已知21tan，求值：(1)cossincos2sin；(2)cos22sincos 8 11化简tan1tancossin)1cos()1sin()cos()sin(2kkkk 32 三角变换【知识要点】1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin()sincoscossin；sin()sincoscossin；cos()coscossinsin；cos()coscossinsin；tantan1tantan)tan(;tantan

16、1tantan)tan(2正弦、余弦、正切的二倍角公式 sin22sincos：cos2cos2sin212sin22cos21；2tan1tan22tan【复习要求】1牢记两角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用；2掌握三角变换的通法和一般规律；3熟练掌握三角函数求值问题【例题分析】例 1 (1)求值 sin75_；(2)设54sin),2(，则)4cos(_；(3)已知角2的终边经过点(1，2)，则)4tan(的值为_；(4)求值15tan115tan1_ 解：(1)30sin45cos30cos45sin)3045sin(75sin222322 21426 (2)因为53cos,

17、54sin),2(所以，1027)5453(22sin22cos22)4cos(9(3)由三角函数定义得，342tan12tan2tan,22tan2，所以71tan1tan1tan4tan14tantan)4tan(.(4)3330tan)1545tan(15tan45tan115tan45tan15tan115tan1 3330tan)1545tan(15tan45tan115tan45tan15tan115tan1o【评析】两角的和、差、二倍等基本三角公式应该熟练掌握，灵活运用，这是处理三角问题尤其是三角变换的基础和核心注意tan1tan1)4tan(和tan1tan1)4tan(运用

18、例 2 求值：(1)12sin12cos3_；(2)cos43cos77sin43cos167_；(3)37tan23tan337tan23tano_ 解：(1)原式)12sin3cos12cos3(sin2)12sin2112cos23(2 24sin2)123sin(2.【评 析】辅 助角 公 式：,cos),sin(cossin2222baaxbaxbxa 22sinbab应 熟 练 掌 握，另 外 本 题 还 可 变 形 为)12sin2112cos23(2 12cos6(cos2.24cos2)126cos(2)12sin6sin(2)分析所给的角有如下关系：7743120，1679

19、077，原式cos43cos77sin43cos(9077)cos43cos77sin43sin77 cos(4377)cos12021(3)分析所给的角有如下关系：372360，函数名均为正切，而且出现两角正切的和tanatan与两角正切的积tantan，所有均指向公式tantan1tantan)tan(10,337tan23tan137tan23tan)3723tan(60tan,37tan23tan3337tan23tan 337tan23tan337tan23tano【评析】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构以上题目是给角求值问题，应首看角的关系：先从所给角的关系入

20、手，观察所给角的和、差、倍是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口 公式tantan1tantan)tan(的变形 tantantan()(1tantan)应予以灵活运用 例 3 41)tan(,52)tan(，则 tan2_；(2)已知1312)4sin(,53)sin(),43(,，求)4cos(的值 解：(1)分析所给的两个已知角，和所求的角 2之间有关系()()2，)()tan(2tanaaa1813415214152)tan()tan(1)tan()tan(，(2),43(,，)43,2(4),2,23(，又53)sin(，54)cos

21、(；1312)4sin(，135)4cos()4sin()sin()4cos()cos()4()cos()4cos(65561312)53()135(54.【评析】此类题目重在考察所给已知角与所求角之间的运算关系，主要是指看两角之间的和、差、倍的关系，如2)(,4)4()(，)()(等，找到它们的关系可以简化运算，同时在求三角函数值时应关注函数值的符号 例 4 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于 A，B 两点，已知 A，B 的横坐标分别为552,102.11 ()求 tan()的值；()求2的值 解：由三角函数定义可得552cos,1

22、02cos，又因为，为锐角，所以55sin,1027sin，因此 tan7，21tan()3tantan1tantan)tan(；()34tan1tan22tan2，所以12tantan12tantan)2tan(，为锐角，432,2320【评析】将三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式结合在一起进行考查，要求基础知识掌握牢固，灵活运用；根据三角函数值求角，注意所求角的取值范围 例 5 化简(1)12cos2sin22sin22cos2；(2).2sin3)4cos()4cos(2xxx 解：(1)原式)4sin(2sincoscossinsincoscossin2cos22(2)法一

23、：原式xxxxx2sin3)sin22cos22)(sin22cos22(2 xxx2sin3sincos22)62sin(2)2sin232cos21(22sin32cosxxxxx 法二：,2)4()4(xx 原式xxx2sin3)4cos()4(2cos2 xxxxx2sin3)22sin(2sin3)4cos()4sin(2 12)62sin(22sin32cosxxx【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础 例 6 (1)已知为第二象限角，且415sin，求12

24、cos2sin)4sin(的值(2)已知323cossin32cos62xxx，求 sin2x 的值 解：(1)因为为第二象限角，且415sin，所以41cos，原式.2cos42)cos(sincos2)cos(sin221)1cos2(cossin2)cos(sin222【评析】此类题目为给值求值问题，从分析已知和所求的三角式关系入手，如角的关系，另一个特征是往往先对所求的三角式进行整理化简，可降低运算量(2)因为32sin32cos32sin322cos16xxxx 3233)62cos(323)2sin212cos23(32xxx 所以0)62sin(,1)62cos(xx 216si

25、n)62cos(6cos)62sin(6)62sin(2sinxxxx【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)22cos1sin,22cos1cos22和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础，因为处理三角函数图象性质问题时往往先进行三角变换 练习 32 一、选择题 1已知53sin),2(，则)4tan(等于()A71 B7 C71 D7 2cos24cos54sin24cos144()A23 B21 C23 D21 3o30sin1()13 Asin15cos15 Bsin15cos15 Csin15cos

26、15 Dcos15sin15 4若22)4sin(2cos，则 cossin的值为()A27 B21 C21 D27 二、填空题 5若53)2sin(，则 cos2_ 610cos310sin1_ 7若53)cos(,51)cos(，则 tantan_ 8已知31tan，则2cos1cos2sin2_ 三、解答题 9证明2tancos1cos.2cos12sin 10已知为第四象限角，且54sin，求cos)42sin(21的值 11已知为第三象限角，且33cossin.(1)求 sincos的值；(2)求cos82cos112cos2sin82sin522的值 33 三角函数【知识要点】14

27、 1函数 ysinx，ycosx，ytanx 的图象性质 性质 ysinx ycosx ytanx 一周期简图 最小正周期 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 增区间 Zkkk,22,22 2k，2k2，kZ Zkkk,2,2 上是增函数 减区间 Zkkk),232,22(2k，2k，kZ 对称性 对称轴 Zkkx,2 xk，kZ 对称中心Zkk),0,2(对称 中心(k，0)，kZ Zkk),0,2(2 三角函数图象是研究三角函数的有效工具，应熟练掌握三角函数的基本作图方法 会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数 yAsin(x)(A0，0)的简图 3三角函数是描述周期函数的重

28、要函数模型，通过三角函数体会函数的周期性函数yAsin(x)(0)的最小正周期：|2T；yAtan(x)(0)的最小正周期：|T同时应明确三角函数与周期函数是两个不同的概念，带三角函数符号的函数不一定是周期函数，周期函数不一定带三角函数符号【复习要求】1 掌握三角函数 ysinx，ycosx，ytanx 的图象性质：定义域、值域(最值)、单调性、周期性、奇偶性、对称性等 2会用五点法画出函数 ysinx，ycosx，yAsin(x)(A0，0)的简图，掌握图象的变换方法，并能解决相关图象性质的问题 3本节内容应与三角恒等变换相结合，通过变换，整理出三角函数的解析式，注意使用换元法，转化为最基本

29、的三个三角函数 ysinx，ycosx，ytanx，结合三角函数图象，综合考察三角函数性质【例题分析】例 1 求下列函数的定义域(1)xxycos2cos1；(2)xy2sin.解：(1)cosx0，定义域为,2|Zkkxx 15(2)sin2x0，由正弦函数 ysinx 图象(或利用在各象限中和轴上角的正弦函数值的符号可得终边在第一二象限，x 轴，y 轴正半轴上)可得 2k2x2k，定义域为,2|Zkkxkx 例 2 求下列函数的最小正周期(1)23sin(xy；(2)42tan(xy；xy2cos)3(2；(4)y2sin2x2sinxcosx；(5)ysinx 解：(1)|2|2T(2)

30、22T(3)214cos2124cos1xxy，所以2T.(4)1)42sin(212cos2sin2sin22cos12xxxxxy，所以 T(5)ysinx的图象为下图，可得，T 【评析】(1)求三角函数的周期时，通常利用二倍角公式(降幂升角)和辅助角公式先将函数解析式进行化简，然后用|2T(正余弦)或|T(正切)求最小正周期(2)对于含绝对值的三角函数周期问题，可通过函数图象来解决周期问题 例 3 (1)已知函数 f(x)(1cos2x)sin2x，xR，则 f(x)是()A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的偶函数 C最小正周期为2的奇函数 D最小正周期为2的偶函数(2)若函数 f(

31、x)2sin(2x)为 R 上的奇函数，则_(3)函数)22(lncosxxy的图象()16 解：(1),44cos12sin21)cossin2(21sincos2)(2222Rxxxxxxxxf 周期为2，偶函数，选 D(2)f(x)为奇函数，f(x)f(x)，所以 2sin(2x)2sin(2x)对 xR 恒成立，即 sincos2xcossin2xsin2xcoscos2xsin，所以 2sincos2x0 对 xR 恒成立，即 sin0，所以k，kZ【评析】三角函数的奇偶性问题可以通过奇偶性定义以及与诱导公式结合加以解决 如在本题(2)中除了使用奇偶性的定义之外，还可以从公式 sin

32、(x)sinx，sin(x2)sinx得到当2k或2k，kZ，即k，kZ 时，f(x)2sin(2x)可以化为f(x)sinx 或 f(x)sinx，f(x)为奇函数(3)分析：首先考虑奇偶性，f(x)lncos(x)lncosxf(x)，为偶函数，排除掉 B，D选项 考虑(0，2)上的函数值，因为 0cosx1，所以 lncosx0，应选 A【评析】处理函数图象，多从函数的定义域，值域，奇偶性，单调性等方面综合考虑 例 4 求下列函数的单调增区间(1)321cos(xy;(2)0,),62sin(2xxy；(3)xxy2sin32cos；(4)23sin(2xy 解：(1)ycosx 的增区

33、间为2k，2k2，kZ，由223212kxk可得3144384kxk)321cos(xy的增区间为Zkkk,3144,384，(2)先求出函数)62sin(2xy的增区间Zkkk,6,3 然后与区间，0取交集得到该函数的增区间为65,和0,3，(3)32cos(2)2sin232cos21(2xxxy，转化为问题(1)，增区间为 Zkkk,65,3(4)原函数变为)32sin(2xy，需求函数)32sin(xy的减区间，2323222kxk，得1211125kxk，17)23sin(2xy的增区间为.,1211,125Zkkk【评析】处理形如 yAsin(x)k，(0)的函数单调性时，可以利用

34、诱导公式将 x 的分数化正，然后再求相应的单调区间 求三角函数单调区间的一般方法：(1)利用三角变换将解析式化为只含有一个函数的解析式，利用换元法转化到基本三角函数的单调性问题(2)对于给定区间上的单调性问题，可采用问题(2)中的方法，求出所有的单调增区间，然后与给定的区间取交集即可 例 5 求下列函数的值域(1)函数1)621cos(2xy的最大值以及此时 x 的取值集合(2)32,6(,sin2xxy(3)3,2(),32cos(2xxy(4)ycos2x2sinx 解：(1)当Zkkx,2621时，1)621cos(x，函数的最大值为 3，此时 x 的取值集合为,354|Zkkxx(2)

35、结合正弦函数图象得：当)32,6(x时，1sin21x 该函数的值域为(1，2(3)分析：利用换元法，转化为题(2)的形式)6,3(),32cos(2xxy，,32323),6,3(xx 设32 xt，则原函数变为323,cos2tty，结合余弦函数图象得：1cos21t，所以函数的值域为(1，2(4)y2sin2x2sinx1，设 tsinx，则函数变为 y2t22t1，t1，1，因为23)21(22ty 18 结合二次函数图象得，当 t1 时，函数最小值为3，当21t时，函数最大值为23，所以函数的值域为.23,3【评析】处理三角函数值域(最值)的常用方法：(1)转化为只含有一个三角函数名

36、的形式，如 yAsin(x)k，yAcos(x)k，yAtan(x)k 等，利用换元法，结合三角函数图象进行处理(2)转化为二次型：如 Asin2xBsinxC，Acos2xBcosxC 形式，结合一元二次函数的图象性质求值域 例 6 函数 ysin(x)的图象(部分)如图所示，则和的取值是()A3,1 B3,1 C6,21 D6,21 解：)3(324T，即24 T，所以21，当3x时，0)3(21sin，所以Zkk,6，选 C 例 7 (1)将函数xy21sin的图象如何变换可得到函数)621sin(xy的图象(2)已知函数 ysinx 的图象，将它怎样变换，可得到函数)32sin(2xy

37、的图象 解：(1)xy21sin个单位图象向左平移3)621sin()3(21sinxxy(2)法一：ysinx个单位图象向右平移3)3sin(xy 倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,)32sin(xy 倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)32sin(2xy 法二：ysinx 倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,xy2sin 个单位图象向右平移6)6(2sinxy 19 倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)32sin(2xy【评析】由 ysinx 的图象变换为 yAcos(x)(0)的图象时，特别要注意伸缩变换和横向平移的先后顺序不同，其横向平移过程中左右平移的距离不

38、同 例 8 (1)函数)321sin(2xy的一条对称轴方程为()A34x B65x C3x D32x(2)函数)32cos(xy的对称轴方程和对称中心的坐标 解：(1)法一：)321sin(2xy的对称轴为Zkkx,2321，即Zkkx,352，当 k1 时，3x，选 C 法二：将四个选项依次代入)321sin(2xy中，寻找使得函数取得最小值或最大值的选项 当3x时，22sin2)36sin(2y，选 C(2)32cos(xy的对称轴为Zkkx,32，即Zkkx,62 对称中心：,232Zkkx此时Zkkx,1252 所以对称中心的坐标为Zkk),0,1252(【评析】正余弦函数的对称轴经

39、过它的函数图象的最高点或最低点，对称中心是正余弦函数图象与 x 轴的交点，处理选择题时可以灵活运用 例 9 已知函数)0(),2sin(sin3,sin)(2xxxxf的最小正周期为(1)求的值(2)求 f(x)在区间32,0上的值域(3)画出函数 y2f(x)1 在一个周期0，上的简图(4)若直线 ya 与(3)中图象有 2 个不同的交点，求实数 a 的取值范围 解：(1)xxxxfcossin322cos1)(21)62sin(212cos21sin23xxx 因为函数 f(x)的最小正周期为，且0，所以22，解得1(2)由(1)得21)62sin()(xxf，因为320 x，所以6762

40、6x，20 结合正弦函数图象，得1)62sin(21x 因此2321)62sin(0 x，即 f(x)的取值范围为23,0(3)由(1)得)62sin(21)(2xxfy 列表 62 x 0 2 23 x 0 12 3 127 65 y 1 0 2 0 2 1(4)由图象可得，2a2 且 a1【评析】本节内容应与三角恒等变换相结合，利用降幂升角公式和辅助角公式等三角公式化简三角函数解析式，整理、变形为只含有一个函数名的解析式，如 yAsin(x)(0)或 yAcos(x)(0)的形式，利用换元法，结合 ysinx、ycosx 的图象，再研究它的各种性质，如求函数的周期，单调性，值域等问题，这是

41、处理三角函数问题的基本方法 练习 33 一、选择题 1设函数),22sin()(xxfxR，则 f(x)是(）A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的偶函数 C最小正周期为2的奇函数 D最小正周期为2的偶函数 2把函数 ysinx(xR)的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是()ARxxy),32sin(BRxxy),62sin(21 CRxxy),32sin(DRxxy),322sin(3函数)32sin(xy的图象()A关于点(3，0)对称 B关于直线4x对称 C关于点(4，0)对称 D关于直线3x对

42、称 4函数 ytanxsinxtanxsinx在区间)23,2(内的图象大致是(）二、填空题 5函数)2sin(sin3)(xxxf的最大值是_ 6函数)1(2cos)2cos(xxy的最小正周期为_ 7函数)20,0)(sin(xy的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为y_ 8函数 ycos2xcosx 的值域为_ 三、解答题 9已知函数 f(x)2cosx(sinxcosx)1，xR()求函数 f(x)的对称轴的方程；()求函数 f(x)的单调减区间 10已知函数.34sin324cos4sin2)(2xxxxf()求函数 f(x)的最小正周期及最值；()令)3()(xfxg，判断函数

43、 g(x)的奇偶性，并说明理由 22 11已知Raaxxxxf,0(,cossin32cos2)(2，a 为常数)，且满足条件f(x1)f(x2)0 的x1x2的最小值为2()求的值；()若 f(x)在3,6上的最大值与最小值之和为 3，求 a 的值 34 解三角形【知识要点】1三角形内角和为 ABC ACB,2222CBA，注意与诱导公式相结合的问题 2正弦定理和余弦定理 正弦定理：rCcBbAa2sinsinsin，(r 为ABC 外接圆的半径)余弦定理：abcbaCacbcaBbcacbA2cos;2cos;2cos222222222.a2b2c22bccosA；b2a2c22accos

44、B；c2a2b22abcosC 3在解三角形中注意三角形面积公式的运用：21ABCS底高.21ABCSabsin.sin21sin21BacAbcC 4解三角形中注意进行“边角转化”，往往结合三角变换处理问题【复习要求】1会正确运用正余弦定理进行边角的相互转化；2会熟练运用正弦定理和余弦定理解决三角形中的求角，求边，求面积问题【例题分析】例 1 (1)在ABC 中，3a，b1，B30，则角 A 等于()A60 B30 C120 D60或 120(2)ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a、b、c，满足等式(ab)2abc2，则角 C 的大小为_.(3)在ABC 中，若 sinAsin

45、BsinC578，则B 的大小是_(4)在ABC 中，若31tanA，C150，BC1，则 AB_ 解：(1),23sin,30sin1sin3,sinsinAABbAa 又ab，AB30，A60或 120，(2)(ab)2abc2，a2b2c2ab，23,120,2122cos222CabababcbaC(3)CcBbAasinsinsin，sinAsinBsinC578.abc578，218524964252cos222acbcaB，B60(4)分析：已知条件为两角和一条对边，求另一条对边，考虑使用正弦定理，借助于31tanA求 sinA 210,150sin10101,sinsin,10

46、10sin,31tanABABBACABCAA.【评析】对于正弦定理和余弦定理应熟练掌握，应清楚它们各自的使用条件，做到合理地选择定理解决问题 例 2 (1)在ABC 中，acosAbcosB，则ABC 一定是()A直角三角形 B等边三角形 C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形(2)在ABC 中，2sinBsinC1cosA，则ABC 的形状为()A直角三角形 B等边三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 解：(1)法一：BbAasinsin，acosAbcosB，sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B，2A，2B(0，2)，2A2B 或 2A2B，AB 或2 BA，选 D

47、法二：acosAbcosB，acbcabbcacba2)(2)(222222，整理得(a2b2)(a2b2c2)0 所以：ab 或 a2b2c2，选 D(2)2sinBsinC1cosA，cos(BC)cos(A)cosA，2sinBsinC1(cosBcosCsinBsinC)，cosBcosCsinBsinC1，cos(BC)1，B，C(0，)，BC(，)，BC0，BC，选 C【评析】判断三角形形状，可以从两个角度考虑(1)多通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而判断三角形形状，(2)多通过余弦定理将角的关系转化为边的关系，进而判断三角形形状，通常情况下，24 以将边的关系转化为角的关

48、系为主要方向，特别需要关注三角形内角和结合诱导公式带给我们的角的之间的转化 例 3 已知ABC 的周长为12，且 sinAsinB2sinC(1)求边 AB 的长；(2)若ABC 的面积为Csin61，求角 C 的度数 解：(1)由题意及正弦定理，得 ABACBCACBCAB212，解得 AB1(2)由ABC 的面积CCACBCSsin61sin21，得31ACBC，因为2 ACBC，所以(BCAC)2BC2AC22ACBC2，可得3422 ACBC，由余弦定理，得212cos222BCACABBCACC，所以 C60 例 4 在ABC 中，A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，设 a、b

49、、c 满足条件b2c2bca2和bc321，求A 和 tanB 的值 解(1)由已知和余弦定理得212cos222bcacbA，所以A60(2)分析：所给的条件是边的关系，所求的问题为角，可考虑将利用正弦定理将边的关系转化为角的关系 在ABC 中，sinCsin(AB)sin(60B)，因为BBBBBBCbcsinsin60coscos60sinsin)60sin(sinsin.32121tan123B 所以21tanB【评析】体现了将已知条件(边321bc)向所求问题(角 tanBsina，cos)转化，充分利用了正弦定理和三角形内角关系实现转化过程 例 5 在ABC 中，内角 A，B，C

50、对边的边长分别是 a，b，c，已知 c2，3C()若ABC 的面积等于3，求 a，b；()若 sinCsin(BA)2sin2A，求ABC 的面积 25 解：()由余弦定理abcbaC2cos222及已知条件得，a2b2ab4，又因为ABC 的面积等于3，所以3sin21Cab，得 ab4 联立方程组,4,422ababba解得 a2，b2()由题意得 sin(BA)sin(BA)4sinAcosA，(sinBcosAcosBsinA)(sinBcosAcosBsinA)4sinAcosA，即 sinBcosA2sinAcosA，当 cosA0 时，332,334,6,2baBA，当 cosA