【参考实用】六年级奥林匹克数学基础教程-找规律.doc8494.pdf

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1、优质参考文档 优质参考文档 小学数学奥数基础教程找规律 同学们从三年级开始，就陆续接触过许多“找规律”的题目，例如发现图形、数字或数表的变化规律，发现数列的变化规律，发现周期变化规律等等。这一讲的内容是通过发现某一问题的规律，推导出该问题的计算公式。例 1 求 99 边形的内角和。分析与解：三角形的内角和等于 180，可是 99 边形的内角和怎样求呢？我们把问题简化一下，先求四边形、五边形、六边形的内角和，找一找其中的规律。如上图所示，将四边形 ABCD分成两个三角形，每个三角形的内角和等于 180，所以四边形的内角和等于 1802=360；同理，将五边形 ABCDE分成三个三角形，得到五边形

2、的内角和等于 1803 540；将六边形 ABCDEF分成四个三角形，得到六边形的内角和等于 1804 720。通过上面的图形及分析可以发现，多边形被分成的三角形数，等于边数减 2。由此得到多边形的内角和公式：n 边形的内角和=180（n-2）（n 3）。有了这个公式，再求 99 边形的内角和就太容易了。99 边形的内角和=180（99-2）17460。例 2 四边形内有 10 个点，以四边形的 4 个顶点和这 10 个点为三角形的顶点，最多能剪出多少个小三角形？分析与解：在 10 个点中任取一点 A，连结 A 与四边形的四个顶点，构成 4 个三角形。再在剩下的 9 个点中任取一点 B。如果

3、B 在某个三角形中，那么连结 B 与 B所在的三角形的三个顶点，此时三角形总数增加 2 个（见左下图）。如果 B 在某两个三角形的公共边上，那么连结 B 与 B 所在边相对的顶点，此时三角形总数也是增加 2 个（见右下图）。类似地，每增加一个点增加 2 个三角形。所以，共可剪出三角形 4 2 9=22（个）。优质参考文档 优质参考文档 如果将例 2 的“10 个点”改为 n 个点，其它条件不变，那么由以上的分析可知，最多能剪出三角形 4 2（n-1）=2n2=2（n 1）（个）。同学们都知道圆柱体，如果将圆柱体的底面换成三角形，那么便得到了三棱柱（左下图）；同理可以得到四棱柱（下中图），五棱柱

4、（右下图）。如果底面是正三角形、正四边形、正五边形那么相应的柱体就是正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱 例 3 n 棱柱有多少条棱？如果将不相交的两条棱称为一对，那么 n 棱柱共有多少对不相交的棱？分析与解：n 棱柱的底面和顶面都是 n 边形，每个 n 边形有 n 个顶点，所以 n棱柱共有 2n 个顶点。观察三棱柱、四棱柱、五棱柱的图形，可以看出，每个顶点都与三条棱相连，而每条棱连接 2 个顶点，所以 n 棱柱共有棱 2n3 2=3n（条）。进一步观察可以发现，n 棱柱中每条棱都与 4 条棱相交，与其余的 3n4-1=（3n5）条棱不相交。共有 3n 条棱，所以不相交的棱有 3n（3n-5）（条），

5、因为不相交的棱是成对出现的，各计算一遍就重复了一遍，所以不相交的棱共有 3n（3n-5）2（对）。例 4 用四条直线最多能将一个圆分成几块？用 100条直线呢？分析与解：4 条直线时，我们可以试着画，100条直线就不可能再画了，所以必须寻找到规律。如下图所示，一个圆是 1 块；1 条直线将圆分为 2 块，即增加了 1块；2 条直线时，当 2 条直线不相交时，增加了 1 块，当 2 条直线相交时，增加了 2块。由此看出，要想分成的块尽量多，应当使后画的直线尽量与前面已画的直线相交。再画第 3 条直线时，应当与前面 2 条直线都相交，这样又增加了 3 块（见左下图）；画第 4 条直线时，应当与前面

6、 3 条直线都相交，这样又增加了 4 块（见右下图）。所以 4 条直线最多将一个圆分成 1 1 2 3 4=11（块）。优质参考文档 优质参考文档 由上面的分析可以看出，画第 n 条直线时应当与前面已画的（n 1）条直线都相交，此时将增加 n 块。因为一开始的圆算 1 块，所以 n 条直线最多将圆分成 1（1 2 3 n）=1n（n+1）2（块）。当 n=100时，可分成 1 100（1001）2=5051（块）。例 5 用 3 个三角形最多可以把平面分成几部分？10 个三角形呢？分析与解：平面本身是 1 部分。一个三角形将平面分成三角形内、外 2 部分，即增加了 1 部分。两个三角形不相交时

7、将平面分成 3 部分，相交时，交点越多分成的部分越多（见下图）。由上图看出，新增加的部分数与增加的交点数相同。所以，再画第 3 个三角形时，应使每条边的交点尽量多。对于每个三角形，因为 1 条直线最多与三角形的两条边相交，所以第 3 个三角形的每条边最多与前面 2 个三角形的各两条边相交，共可产生 3（2 2）=12（个）交点，即增加 12 部分。因此，3 个三角形最多可以把平面分成 1 1 6 12=20（部分）。由上面的分析，当画第 n（n 2）个三角形时，每条边最多与前面已画的（n 1）个三角形的各两条边相交，共可产生交点 3（n l）2=6（n 1）（个），能新增加 6（n 1）部分。

8、因为 1 个三角形时有 2 部分，所以 n 个三角形最多将平面分成的部分数是 2 6 1 2（n 1）当 n=10时，可分成 2 3 10（101）=272（部分）。优质参考文档 优质参考文档 练习 16 1.求 12 边形的内角和。2.五边形内有 8 个点。以五边形的 5 个顶点和这 8 个点为三角形的顶点，最多能剪出多少个小三角形？3.已知 n 棱柱有 14 个顶点，那么，它有多少条棱？4.n条直线最多有多少个交点？5.6条直线与 2 个圆最多形成多少个交点？6.两个四边形最多把平面分成几部分？答案与提示练习 16 1.1800。2.19个。提示：与例 2 类似可得 5+2（8-1）=19

9、（个）。3.21条棱。提示：n 棱柱有 2n 个顶点，3n 条棱。4.n（n-1）2。解：1+2+3+（n-1）=n（n-1）2。5.41个。解：6 条直线有交点 6（6-1）2=15（个），每条直线与两个圆各有 2 个交点，两个圆之间有 2 个交点，共有交点 15+64+2=41（个）。6.10部分。提示：见右图。与例 5 类似，当画第 n（n 2）个四边形时，每条边应与已画的（n-1）个四边形的各 2 条边相交，共可产生交点 4 （n-1）2=8（n-1）（个），新增加 8（n-1）部分。因为 1 个四边形有2 部分，所以 n 个四边形最多将平面分成 2+81+2+（n-1）=2+4n（n-1）（部分）。优质参考文档 优质参考文档