2021年福建省中考数学试卷与答案10786.pdf

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1、 第1页（共29页）2021 年福建省中考数学试卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1（4 分）在实数，0，1 中，最小的数是（）A1 B0 C D 2（4 分）如图所示的六角螺栓，其俯视图是（）A B C D 3（4 分）如图，某研究性学习小组为测量学校 A 与河对岸工厂 B 之间的距离，在学校附近选一点 C，利用测量仪器测得A60，C90，AC2km据此，可求得学校与工厂之间的距离 AB 等于（）A2km B3km Ckm D4km 4（4 分）下列运算正确的是（）A2aa2 B（a1）2a21 Ca6a3a2

2、D（2a3）24a6 5（4 分）某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进 第2页（共29页）行量化评分，具体成绩（百分制）如表：项目 作品 甲 乙 丙 丁 创新性 90 95 90 90 实用性 90 90 95 85 如果按照创新性占 60%，实用性占 40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（）A甲 B乙 C丙 D丁 6（4 分）某市 2018 年底森林覆盖率为 63%为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020 年底森林覆盖率达到 68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为 x，那么，符合题意的方程是

3、（）A0.63（1+x）0.68 B0.63（1+x）20.68 C0.63（1+2x）0.68 D0.63（1+2x）20.68 7（4 分）如图，点 F 在正五边形 ABCDE 的内部，ABF 为等边三角形，则AFC 等于（）A108 B120 C126 D132 8（4 分）如图，一次函数 ykx+b（k0）的图象过点（1，0），则不等式 k（x1）+b0 的解集是（）第3页（共29页）Ax2 Bx1 Cx0 Dx1 9（4 分）如图，AB 为O 的直径，点 P 在 AB 的延长线上，PC，PD 与O 相切，切点分别为 C，D若 AB6，PC4，则 sinCAD 等于（）A B C D

4、10（4 分）二次函数 yax22ax+c（a0）的图象过 A（3，y1），B（1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A若 y1y20，则 y3y40 B若 y1y40，则 y2y30 C若 y2y40，则 y1y30 D若 y3y40，则 y1y20 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。11（4 分）若反比例函数 y的图象过点（1，1），则 k 的值等于 12（4 分）写出一个无理数 x，使得 1x4，则 x 可以是 （只要写出一个满足条件的 x 即可）13（4 分）某校共有 1000 名学生为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取

5、 100 名学生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是 14（4 分）如图，AD 是ABC 的角平分线若B90，BD，则点 D 到 AC 的距离是 第4页（共29页）15（4 分）已知非零实数 x，y 满足 y，则的值等于 16（4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD5，点 E，F 分别是边 AB，BC 上的动点，点 E 不与 A，B 重合，且 EFAB，G 是五边形 AEFCD 内满足 GEGF 且EGF90的点现给出以下结论：GEB 与GFB 一定互补；点 G 到边 AB，BC 的距离一定相等；点 G 到边 AD，DC 的距离可能

6、相等；点 G 到边 AB 的距离的最大值为 2 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）三、解答题：本题共 9 小题，共 86 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（8 分）计算：18（8 分）如图，在ABC 中，D 是边 BC 上的点，DEAC，DFAB，垂足分别为 E，F，且 DEDF，CEBF求证：BC 第5页（共29页）19（8 分）解不等式组：20（8 分）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是 70 元，批发一箱该农产品的利润是 40 元（1）已知该公司某月卖出 100 箱这种农产品共获利润 4600 元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？（2

7、）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的 30%现该公司要经营 1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？21（8 分）如图，在 RtABC 中，ACB90线段 EF 是由线段 AB 平移得到的，点 F在边 BC 上，EFD 是以 EF 为斜边的等腰直角三角形，且点 D 恰好在 AC 的延长线上 （1）求证：ADEDFC；（2）求证：CDBF 22（10 分）如图，已知线段 MNa，ARAK，垂足为 A（1）求作四边形 ABCD，使得点 B，D 分别在射线 AK，AR 上，且 ABBCa，ABC60，CDAB；（要求：尺规作图，不写作法，

8、保留作图痕迹）（2）设 P，Q 分别为（1）中四边形 ABCD 的边 AB，CD 的中点，求证：直线 AD，BC，PQ 相交于同一点 23（10 分）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒该故事的大意是：齐王 第6页（共29页）有上、中、下三匹马 A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马 A2，B2，C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1A2B1B2C1C2（注：AB 表示 A 马与B 马比赛，A 马获胜）一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙

9、膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率 24（12 分）如图，在正方形 ABCD 中，E，F 为边 AB 上的两个三等分点，点 A 关于 DE的对称点为 A，AA的延长线交

10、 BC 于点 G（1）求证：DEAF；（2）求GAB 的大小；（3）求证：AC2AB 25（14 分）已知抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴只有一个公共点（1）若抛物线过点 P（0，1），求 a+b 的最小值；（2）已知点 P1（2，1），P2（2，1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上 求抛物线的解析式；设直线 l：ykx+1 与抛物线交于 M，N 两点，点 A 在直线 y1 上，且MAN90，过点 A 且与 x 轴垂直的直线分别交抛物线和 l 于点 B，C求证：MAB 与MBC 的面 第7页（共29页）积相等 第8页（共29页）2021 年福建省中考数学试卷答案 一、选择题：本题共

11、10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1（4 分）在实数，0，1 中，最小的数是（）A1 B0 C D【分析】根据正数大于 0，负数小于 0，即可比较出大小，从而得到最小的数【解答】解：10，最小的是1，故选：A【点评】本题考查了实数的比较大小，知道负数小于 0 是解题的关键 2（4 分）如图所示的六角螺栓，其俯视图是（）A B C D【分析】根据俯视图是从上面看的到的图形，可得答案【解答】解：从上边看，是一个正六边形，六边形内部是一个圆，故选：A【点评】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看的到的图形，注意看到的线画实线，看不到的线

12、画虚线 3（4 分）如图，某研究性学习小组为测量学校 A 与河对岸工厂 B 之间的距离，在学校附近 第9页（共29页）选一点 C，利用测量仪器测得A60，C90，AC2km据此，可求得学校与工厂之间的距离 AB 等于（）A2km B3km Ckm D4km【分析】直接利用直角三角形的性质得出B 度数，进而利用直角三角形中 30所对直角边是斜边的一半，即可得出答案【解答】解：A60，C90，AC2km，B30，AB2AC4（km）故选：D【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，正确掌握边角关系是解题关键 4（4 分）下列运算正确的是（）A2aa2 B（a1）2a21 Ca6a3a2 D（2a3）

13、24a6【分析】分别根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可【解答】解：A.2aaa，故本选项不合题意；B（a1）2a22a+1，故本选项不合题意；Ca6a3a3，故本选项不合题意；D（2a3）24a6，故本选项符合题意；故选：D【点评】本题考查了合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键 5（4 分）某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：项目 甲 乙 丙 丁 第10页（共29页）作品 创新性 90 95 90 90 实用性 90 9

14、0 95 85 如果按照创新性占 60%，实用性占 40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（）A甲 B乙 C丙 D丁【分析】首先根据加权平均数的含义和求法，分别求出四人的平均成绩各是多少；然后比较大小，判断出谁的平均成绩最高，即可判断出应推荐谁【解答】解：甲的平均成绩9060%+9040%90（分），乙的平均成绩9560%+9040%93（分），丙的平均成绩9060%+9540%92（分），丁的平均成绩9060%+8540%88（分），93929088，乙的平均成绩最高，应推荐乙 故选：B【点评】此题主要考查了加权平均数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据

15、的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响 6（4 分）某市 2018 年底森林覆盖率为 63%为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020 年底森林覆盖率达到 68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为 x，那么，符合题意的方程是（）A0.63（1+x）0.68 B0.63（1+x）20.68 C0.63（1+2x）0.68 D0.63（1+2x）20.68【分析】设从 2018 年起全市森林覆盖率的年平均增长率为 x，根据 2018 年及 2020 年的全市森林覆盖率，即可得出关于 x 的

16、一元二次方程，此题得解【解答】解：设从 2018 年起全市森林覆盖率的年平均增长率为 x，根据题意得：0.63（1+x）20.68 故选：B 第11页（共29页）【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 7（4 分）如图，点 F 在正五边形 ABCDE 的内部，ABF 为等边三角形，则AFC 等于（）A108 B120 C126 D132【分析】根据等边三角形的性质得到 AFBF，AFBABF60，由正五边形的性质得到 ABBC，ABC108，等量代换得到 BFBC，FBC48，根据三角形的内角和求出BFC66，根据AFCAFB+BFC 即

17、可得到结论【解答】解：ABF 是等边三角形，AFBF，AFBABF60，在正五边形 ABCDE 中，ABBC，ABC108，BFBC，FBCABCABF48，BFC66，AFCAFB+BFC126，故选：C【点评】本题考查了正多边形的内角和，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记正多边形的内角的求法是解题的关键 8（4 分）如图，一次函数 ykx+b（k0）的图象过点（1，0），则不等式 k（x1）+b0 的解集是（）第12页（共29页）Ax2 Bx1 Cx0 Dx1【分析】先把（1，0）代入 ykx+b 得 bk，则 k（x1）+b0 化为 k（x1）+k0，然后解关于 x 的不等式即可【

18、解答】解：把（1，0）代入 ykx+b 得k+b0，解 bk，则 k（x1）+b0 化为 k（x1）+k0，而 k0，所以 x1+10，解得 x0 故选：C 方法二：一次函数 ykx+b（k0）的图象向右平移 1 个单位得 yk（x1）+b，一次函数 ykx+b（k0）的图象过点（1，0），一次函数 yk（x1）+b（k0）的图象过点（0，0），由图象可知，当 x0 时，k（x1）+b0，不等式 k（x1）+b0 的解集是 x0，故选：C【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，把点（1，0）代入解析式求得 k 与 b的关系是解题的关键 9（4 分）如图，AB 为O 的直径，点 P 在 AB

19、 的延长线上，PC，PD 与O 相切，切点分别为 C，D若 AB6，PC4，则 sinCAD 等于（）第13页（共29页）A B C D【分析】连接 OC、OD、CD，CD 交 PA 于 E，如图，利用切线的性质和切线长定理得到OCCP，PCPD，OP 平分CPD，根据等腰三角形的性质得到 OPCD，则COBDOB，根据圆周角定理得到CADCOD，所以COBCAD，然后求出 sinCOP 即可【解答】解：连接 OC、OD、CD，CD 交 PA 于 E，如图，PC，PD 与O 相切，切点分别为 C，D，OCCP，PCPD，OP 平分CPD，OPCD，COBDOB，CADCOD，COBCAD，在

20、RtOCP 中，OP5，sinCOP，sinCAD 故选：D 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了圆周角定 第14页（共29页）理和解直角三角形 10（4 分）二次函数 yax22ax+c（a0）的图象过 A（3，y1），B（1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A若 y1y20，则 y3y40 B若 y1y40，则 y2y30 C若 y2y40，则 y1y30 D若 y3y40，则 y1y20【分析】观察图像可知，y1y4y2y3，再结合题目一一判断即可【解答】解：如图，由题意对称轴 x1，观察图像可知，y1y4y2y3，若

21、y1y20，则 y3y40 或 y3y40，选项 A 不符合题意，若 y1y40，则 y2y30 或 y2y30，选项 B 不符合题意，若 y2y40，则 y1y30，选项 C 符合题意，若 y3y40，则 y1y20 或 y1y20，选项 D 不符合题意，故选：C【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。11（4 分）若反比例函数 y的图象过点（1，1），则 k 的值等于 1 【分析】把点（1，1）代反比例函数 y，即可求出 k 的值 第15页（共29页）【解

22、答】解：反比例函数 y的图象过点（1，1），k111，故答案为 1【点评】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键 12（4 分）写出一个无理数 x，使得 1x4，则 x 可以是 （只要写出一个满足条件的 x 即可）【分析】根据 14 即可得解【解答】解：1216，14，是无理数，故答案为：【点评】此题考查了估算无理数的大小，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法 13（4 分）某校共有 1000 名学生为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取 100 名学生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图根据所学的统

23、计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是 270 【分析】用总人数乘以长跑成绩优秀的学生人数所占的百分比即可【解答】解：根据题意得：1000270（人），故答案为：270【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键 第16页（共29页）14（4 分）如图，AD 是ABC 的角平分线若B90，BD，则点 D 到 AC 的距离是 【分析】由角平分线的性质可求 DEBD，即可求解【解答】解：如图，过点 D 作 DEAC 于 E，AD 是ABC 的角平分线B90，DEAC，DEBD，点 D 到 AC 的距离为，故答案为【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平

24、分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键 15（4 分）已知非零实数 x，y 满足 y，则的值等于 4 【分析】由 y得：xyxy，整体代入到代数式中求值即可【解答】解：由 y得：xy+yx，xyxy，原式 4 故答案为：4【点评】本题考查了分式的值，对条件进行化简，得到 xyxy，把 xy 看作整体，代入到代数式求值是解题的关键 第17页（共29页）16（4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD5，点 E，F 分别是边 AB，BC 上的动点，点 E 不与 A，B 重合，且 EFAB，G 是五边形 AEFCD 内满足 GEGF 且EGF90的点现给出以下结论：GEB 与GFB 一定互补

25、；点 G 到边 AB，BC 的距离一定相等；点 G 到边 AD，DC 的距离可能相等；点 G 到边 AB 的距离的最大值为 2 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）【分析】根据矩形的性质得出B90，又EGF90，有三角形内角和为 360可判断；过 G 作 GMAB，GNBC，分别交 AB 于 M，交 BC 于 N，根据 GEGF 且EGF90，GEFGFE45，可以求出GEMGFN，然后证明GEMGFN，可以判断；由 AB4，AD5 和的结论可以判断；当四边形 EBFG 是正方形时，点 G 到 AB 的距离最大，从而可以判断【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，B90，又EGF90，四边形

26、内角和是 360，GEB+GFB180，故正确；过 G 作 GMAB，GNBC，分别交 AB 于 M，交 BC 于 N，第18页（共29页）GEGF 且EGF90，GEFGFE45，又B90，BEF+EFB90，即BEF90EFB，GEM180BEFGEF18045（90EFB）45+EFB，GFNEFB+GFEEFB+45，GEMGFN，在GEM 和GFN 中，GEMGFN（AAS），GMGN，故正确；AB4，AD5，并由知，点 G 到边 AD，DC 的距离不相等，故错误：当四边形 EBFG 是正方形时，点 G 到 AB 的距离最大，EFAB4，GEEBBFFG42，故正确 故答案为：【点评

27、】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定以及三角形内角和定理，关键是对知识的掌握和运用 三、解答题：本题共 9 小题，共 86 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第19页（共29页）17（8 分）计算：【分析】直接利用算术平方根以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：原式2+33 【点评】此题主要考查了算术平方根以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键 18（8 分）如图，在ABC 中，D 是边 BC 上的点，DEAC，DFAB，垂足分别为 E，F，且 DEDF，CEBF求证：BC 【分析】由垂直的定义，DEDF，CEBF 证明BDFCD

28、E，得出对应角相等即可 【解答】证明：DEAC，DFAB，BFDCED90，在BDF 和CDE 中，BDFCDE（SAS），BC【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，能够证明BDFCDE 是解决问题的关键 19（8 分）解不等式组：【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集【解答】解：解不等式，得：x1，第20页（共29页）解不等式，得：x3，则不等式组的解集为 1x3【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键

29、 20（8 分）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是 70 元，批发一箱该农产品的利润是 40 元（1）已知该公司某月卖出 100 箱这种农产品共获利润 4600 元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的 30%现该公司要经营 1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？【分析】（1）设该公司当月零售这种农产品 x 箱，则批发这种农产品（100 x）箱，依据该公司某月卖出 100 箱这种农产品共获利润 4600 元，列方程求解即可（2）设该公司当月零售这种农产品 m 箱，

30、则批发这种农产品（1000m）箱，该公司获得利润为 y 元，进而得到 y 关于 m 的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解【解答】解：（1）设该公司当月零售这种农产品 x 箱，则批发这种农产品（100 x）箱，依题意得 70 x+40（100 x）4600，解得：x20，1002080（箱），答：该公司当月零售这种农产品 20 箱，批发这种农产品 80 箱；（2）设该公司当月零售这种农产品 m 箱，则批发这种农产品（1000m）箱，依题意得 0m100030%，解得 0m300，设该公司获得利润为 y 元，依题意得 y70m+40（1000m），即 y30m+40000，300，y 随着

31、m 的增大而增大，当 m300 时，y 取最大值，此时 y30300+4000049000（元），第21页（共29页）批发这种农产品的数量为 1000m700（箱），答：该公司零售、批发这种农产品的箱数分别是 300 箱，700 箱时，获得最大利润为 49000元【点评】本题主要考查了一元一次方程和一次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定函数值是解决问题的关键 21（8 分）如图，在 RtABC 中，ACB90线段 EF 是由线段 AB 平移得到的，点 F在边 BC 上，EFD 是以 EF 为斜边的等腰直角三角形，且点 D 恰好在 AC 的延长线上 （1）

32、求证：ADEDFC；（2）求证：CDBF 【分析】（1）由ACB90，得ACBCDF+DFC90，EFD 是以 EF 为斜边的等腰直角三角形，得EDF90，EDFADE+CDF90，由等量代换得ADEDFC；（2）证明四边形 ABEF 是平行四边形，得DAEFCD，AEBF，再证ADECFD，得 AFCD，由等量代换得到结论【解答】（1）证明：ACB90，ACBCDF+DFC90，EFD 是以 EF 为斜边的等腰直角三角形，EDF90，DEFD，EDFADE+CDF90，ADEDFC；（2）第22页（共29页）连接 AE，线段 EF 是由线段 AB 平移得到的，EFAB，EFAB，四边形 AB

33、EF 是平行四边形，AEBC，AEBF，DAEBCA90，DAEFCD，在ADE 和CFD 中，ADECFD（AAS），AECD，AEBF，CDBF【点评】本题考查了三角形全等判定与性质、等腰直角三角形和平移的性质，熟练掌握三角形全等判定与性质是解题的关键 22（10 分）如图，已知线段 MNa，ARAK，垂足为 A（1）求作四边形 ABCD，使得点 B，D 分别在射线 AK，AR 上，且 ABBCa，ABC60，CDAB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设 P，Q 分别为（1）中四边形 ABCD 的边 AB，CD 的中点，求证：直线 AD，BC，PQ 相交于同一点 【分析】（

34、1）先截取 ABa，再分别以 A、B 为圆心，a 为半径画弧，两弧交于点 C，然后过 C 点作 AR 的垂线得到 CD；第23页（共29页）（2）证明：设 PQ 交 AD 于 G，BC 交 AD 于 G，利用平行线分线段成比例定理得到，则，于是可判断点 G 与点 G重合【解答】（1）解：如图，四边形 ABCD 为所作；（2）证明：设 PQ 交 AD 于 G，BC 交 AD 于 G，DQAP，DCAB，P，Q 分别为边 AB，CD 的中点，DC2DQ，AB2AP，点 G 与点 G重合，直线 AD，BC，PQ 相交于同一点【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，

35、结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了平行线分线段成比例定理 23（10 分）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马 A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马 A2，B2，C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1A2B1B2C1C2（注：AB 表示 A 马与 第24页（共29页）B 马比赛，A 马获胜）一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马

36、、中马、下马比赛，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率【分析】（1）根据题意首局齐王出“上马”，只需将三局的图表列出，即可得出答案（2）根据题（1）的一种情况，推断出共有 18 种对阵情况，只要 A1 对 C2，B1 对 A2，C1

37、 对 B2 的情况田忌获得胜利，即可得出答案【解答】解：（1）田忌首局应出“下马”才可能获胜，此时，比赛所有可能的对阵为：（A1C2，B1A2，C1B2），（A1C2，C1B2，B1A2），（A1C2，B1B2，C1A2），（A1C2，B1B2，C1A2），共四种，其中获胜的有两场，故此田忌获胜的概率为 P（2）不是 当齐王的出马顺序为 A1，B1，C1 时，田忌获胜的对阵是：（A1C2，B1A2，C1B2），当齐王的出马顺序为 A1，C1，B1 时，田忌获胜的对阵是：（A1C2，C1B2，B1A2），当齐王的出马顺序为 B1，A1，C1 时，田忌获胜的对阵是：（B1A2，A1C2，C1B2）

38、，当齐王的出马顺序为 B1，C1，A1 时，田忌获胜的对阵是：（C1B2，A1C2，B1A2），当齐王的出马顺序为 C1，A1，B1 时，田忌获胜的对阵是：（C1B2，A1C2，B1A2），当齐王的出马顺序为 C1，B1，A1 时，田忌获胜的对阵是：（C1B2，B1A2，A1C2），综上所述，田忌获胜的对阵有 6 种，不论齐王的出马顺序如何，也都有相应的 6 种可能对阵，所以田忌获胜的概率为 P【点评】此题考查的是用列表法求概率列表法适合两步完成的事件；解题时要注意此题赛马分三局考虑用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 24（12 分）如图，在正方形 ABCD 中，E，F 为边 AB

39、上的两个三等分点，点 A 关于 DE 第25页（共29页）的对称点为 A，AA的延长线交 BC 于点 G（1）求证：DEAF；（2）求GAB 的大小；（3）求证：AC2AB 【分析】（1）由轴对称的性质可得 AOAO，AADE，由三等份点可得 AEEF，由三角形中位线定理可得 DEAF；（2）由“ASA”可证ADEBAG，可得 AEBG，可得GFBFGB45，通过证明点 F，点 B，点 G，点 A四点共圆，可得GABGFB45；（3）通过证明AFBAGC，可得，可得结论【解答】证明：（1）如图，设 AG 与 DE 的交点为 O，连接 GF，点 A 关于 DE 的对称点为 A，AOAO，AADE

40、，E，F 为边 AB 上的两个三等分点，AEEFBF，DEAF；（2）AADE，AOE90DAEABG，第26页（共29页）ADE+DEA90DEA+EAO，ADEEAO，在ADE 和BAG 中，ADEBAG（ASA），AEBG，BFBG，GFBFGB45，FAGFBG90，点 F，点 B，点 G，点 A四点共圆，GABGFB45；（3）设 AEEFBFBGa，ADBC3a，FGa，CG2a，在 RtADE 中，DEaAG，sinEAOsinADE，OEa，AOaAO，AGa，AOAO，AEEF，AFaa，FAGFBG90，AFB+AGB180，第27页（共29页）AGC+AGB180，AFB

41、AGC，又，AFBAGC，AC2AB【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，证明AFBAGC 是解题的关键 25（14 分）已知抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴只有一个公共点（1）若抛物线过点 P（0，1），求 a+b 的最小值；（2）已知点 P1（2，1），P2（2，1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上 求抛物线的解析式；设直线 l：ykx+1 与抛物线交于 M，N 两点，点 A 在直线 y1 上，且MAN90，过点 A 且与 x 轴垂直的直线分别交抛物线和 l 于点 B，C求证：MAB 与MBC 的面积相等【分

42、析】（1）将点 P 的坐标代入解析式中，得出 a 和 b 的关系式，即可求出 a+b 的最小值；（2）由题意得出抛物线与 x 轴只有一个交点，所以抛物线上的点在同一侧，即两点只能为 P1，P3，即可求出抛物线的解析式；（3）根据题意先设出点 A 的横坐标，然后用含 k 的式子表示出 A 的横坐标，再证明 ABBC 即可得出MAB 与MBC 的面积相等【解答】解：（1）把 P（0，1）代入解析式得：c1，yax2+bx+1，又抛物线与 x 轴只有一个公共点，b24a0，即，当 b2 时，a+b 有最小值为1；（2）抛物线与 x 轴只有一个公共点，第28页（共29页）抛物线上的点在 x 轴的同一侧

43、或 x 轴上，抛物线上的点为 P1，P3，又P1，P3关于 y 轴对称，顶点为原点（0，0），设解析式为 yax2，代入点 P1得：，证明：联立直线 l 和抛物线得：，即：x24kx40，设 M（x1，kx1+1），N（x2，kx2+1），由韦达定理得：x1+x24k，x1x24，设线段 MN 的中点为 T，设 A 的坐标为（m，1），则 T 的坐标为（2k，2k2+1），AT2（2km）2+（2k2+2）2，由题意得：，MAN 是直角三角形，且 MN 是斜边，即：，16（k4+2k2+1）（2km）2+（2k2+2）2，解得 m2k，A（2k，1），B（2k，k2），C（2k，2k2+1），B 是 AC 的中点，ABBC，又MAB 与MBC 的高都是点 M 到直线 AC 的距离，第29页（共29页）MAB 与MBC 的高相等，MAB 与MBC 的面积相等【点评】本题主要考查二次函数的综合知识，一般求最大值或者最小值都是求抛物线顶点的纵坐标，像此题中第一问就要考虑把 a 和 b 用一个字母表示成二次函数的形式，然后求顶点就可以了，而出现直角三角形时，一般考到的知识点是斜边上的中线等于斜边的一半