2021年重庆市高三上册数学试卷与答案(一)11715.pdf

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1、 2021 年重庆市高三上册数学试卷与答案（一）一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若点,9a在函数3xy 的图象上，则tan6a的值为（）A0 B33 C1 D3 2命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是（）A所有不能被 2 整除的数都是偶数 B所有能被 2 整除的数都不是偶数 C存在一个不能被 2 整除的数是偶数 D存在一个能被 2 整除的数不是偶数 3曲线21xye在点0,2处的切线与直线0y 和yx围成的三角形的面积为（）A1 B12 C23 D13 4设0.3212log 0.3,log 0.4,0

2、.4abc，则 a，b，c 的大小关系为（）Aabc Bcab Cacb D bca 5根据统计，一名工作组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为,cxAxfxcxAA，（A，c 为常数）已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产品用时 15 分钟，那么 c 和 A 的值分别是 A60，16 B75，16 C60，25 D 75，25 6已知函数21(),()sin4f xxg xx，则图象为如图的函数可能是（）A1()()4yf xg x B1()()4yf xg x C()()yf x g x D()()g xyf x 7设集合22cossin|,My yxx xR，1

3、|2Nx xi，i为虚数单位，xR，则MN为 A（0，1）B(0，1 C0，1)D0，1 8已知偶函数 fx满足(3)(3)fxfx，且当0,3x时，2xfxxe，若关于x的不等式2()()0fxtf x在 150,150上有且只有 150个整数解，则实数t的取值范围是（）A120,e B1322,3ee C3123,2ee D112,2ee 二、多选题（本大题共4 小题，每小题 5 分，共20分在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分）9下列结论中正确的是（）A若02，则sintan B若 a 是第二象限角，则2a为第一象限或

4、第三象限角 C若角 a 的终边过点 P（3k，4k）(k0），则4sin5 D若扇形的周长为 6，半径为 2，则其中心角的大小为 1 弧度 10在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并构成一般不动点的基石，它得名与荷兰教学家鲁伊兹布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x，存在一个点0 x，使得00()f xx，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）A()2xf xx B2()3f xxx C()1f xx D2()log1f xx 11若4455xyxy，则（）Axy B33yx Clg0yx D133yx 12已知函数 f(x)=xe+x，

5、对于曲线 y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点 P，Q，R，则（）APQR 一定是钝角三角形；BPQR 可能是直角三角形；CPQR 可能是等腰三角形 DPQR 不可能是等腰三角形 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13函数 yloga(2x3)8 的图象恒过定点 A，且点 A 在幂函数 f(x)的图象上，则 f（3）_.14已知tan2，则sincos(2)23cossin()2_ 15写出一个定义域为R值域为0,2的偶函数_（答案不唯一）16在平面直角坐标系xOy中，已知点 P 是函数()(0)xf xex的图象上的动点，该图象在 P 处的切线l交 y 轴于点

6、M，过点 P 作l的垂线交 y 轴于点 N，设线段 MN 的中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是_ 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10 分）在sincos()6aCcA，2 coscoscoscAaBbA，222bcabc，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题 问题：在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若已知6b，3 3ABCS，_，求a的值 18（12 分）已知等比数列na是递增数列，满足432a，3580aa（1）求na的通项公式；（2）设2lognnba，若nb为数列nc的前n项积，证明：111n

7、nbc 19（12 分）如图，在平行四边形ABCD中，60D，E为CD的中点，且AECE，现将平行四边形沿AE折叠成四棱锥PABCE （1）已知M为AB的中点，求证：AEPM；（2）若平面PAE 平面ACBE，求二面角BPEC的余弦值 20（12 分）公元 1651 年，法国学者德梅赫向数学家帕斯卡请教了一个问题：设两名赌徒约定谁先赢满 4局，谁便赢得全部赌注a元，已知每局甲赢的概率为(01)pp，乙赢的概率为1p，且每局赌博相互独立，在甲赢了 2 局且乙赢了 1 局后，赌博意外终止，则赌注该怎么分才合理？帕斯卡先和费尔马讨论了这个问题，后来惠更斯也加入了讨论，这三位当时欧洲乃至全世界著名的数

8、学家给出的分配赌注的方案是：如果出现无人先赢 4 局且赌博意外终止的情况，则甲、乙按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比:PP乙甲分配赌注（1）若243a，23p，甲、乙赌博意外终止，则甲应分得多少元赌注？（2）若45p，求赌博继续进行下去乙赢得全部赌注的概率()f p，并判断“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”是否为小概率事件（发生概率小于 005 的随机事件称为小概率事件）21（12 分）如图，椭圆2222:1(0)bxyaba的离心率为32，左焦点为F，若椭圆上有一动点M，12MF F面积最大值为3（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线:(0,0)l ykxm km与椭圆交于A，B

9、两点，且线段AB的中点P恰好在抛物线218yxk 上，过A，B点作直线4 33x 的垂线，垂足分别为C，D，记ABFCDFSS，求的取值范围 22（12 分）已知函数()(2)(1)2f xa xlnx（1）若1a 求()yf x在1x 处的切线方程（2）函数()f x的图象上是否存在两点1(M x，1)y，2(N x，2)y，使得12012()()()()f xf xfxxx（其中1202xxx）成立？请说明理由 参考答案 1D【详解】由题意知:9=3a,解得a=2,所以2tantantan3663a,故选 D 2D【详解】命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被 2

10、整除的数不是偶数”故选 D 3 A【解析】2022xxyey，所以在点0,2处的切线方程为22yx，它与yx的交点为2,2，与0y 的交点为1,0，所以三角形面积为12 112 4C【详解】22log 0.3log 10，0a，122225log 0.4log 0.4loglog 212，1b，0.3000.40.41，01c，acb故选：C 5A【详解】由条件可知，xA时所用时间为常数，所以组装第 4 件产品用时必然满足第一个分段函数，即(4)30604cfc，60()1516f AAA，选 A 6D【详解】对于 A，21sin4yf xg xxx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除

11、 A；对于 B，21sin4yf xg xxx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除 B；对于 C，21sin4yf x g xxx，则212 sincos4yxxxx，当4x时，22120221642y，与图象不符，排除 C故选：D 7C【详解】22cossincos20,1yxxx，所以0,1M；因为12xi，所以2xi，即()2xi，又因为xR，所以11x，即(1,1)N ；所以0,1)MN，故选 C 8当0,3x时，-2()xf xxe，22211122()xxxfxeeexx，当(2,3x时，()0fx，当0,2)x时，()0fx，所以函数 fx在(2,3x单调递减，在2(0,

12、x单调递增，(0)0f，32(3)30fe，又(3)(3)fxfx，函数 fx关于3x 对称，且是偶函数，所以()()f xfx，所以(3)(3)(3)fxfxf x，所以函数周期6T，关于x的不等式2()()0fxtf x在 150,150上有且只有 150个整数解，即 f xt在 150,150上有且只有 150 个整数解，所以每个周期内恰有三个整数解结合草图可得：1322,3tee.故选：B.B【详解】由于函数 f（x）=ex+x，对于曲线 y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点 A，B，C，且横坐标依次增大,由于此函数是一个单调递增的函数，故由 A 到 B 的变化率要小于由 B 到 C

13、 的变化率可得出角 ABC 一定是钝角故对，错,由于由 A 到 B 的变化率要小于由 B 到 C 的变化率，由两点间距离公式可以得出 ABBC，故三角形不可能是等腰三角形，由此得出不对，对故选 B 9ABD【详解】解：对于 A，由三角函数的定义可知，sin,tanyyrx，其中22rxy，因为02，所以0,0 xy，所以0rx，所以sintan，所以 A正确；对于 B，由于 a 是第二象限角，所以22,2kkk Z，所以,422kkk Z，当2()kn nZ时，22,422nnnZ，则 2a为第一象限的角；当21()knnZ时，5322,422nnnZ，则 2a为第三象限的角，综上2a为第一象

14、限或第三象限角，正确；对于 C，由于角 a 的终边过点 P（3k，4k）(k0），所以2243sin5(3)(4)kkkkk，错误；对于 D，设扇形的圆心角为，则由题意得2226，得1，正确，故选：ABD 10BCD【详解】对于 A：0002xxx无解，所以 A 不满足；对于 B：20003xxx，解得：03x 或01x ，所以 B 满足题意；对于 C：12001xx，解得：03502x，所以 C 满足题意；对于 D：200log1xx，在同一直角坐标系下画出函数()f x以及yx的图像，可确定两个函数的图像有交点，即方程有解，所以 D满足题意；故选：BCD 11AD【详解】A设()45xxf

15、 x，因为4455xyxy可化为4545xxyy，则()()f xf y，根据指数函数的性质，可得4xy 单调递增，5xy单调递减，因此()45xxf x在R上单调递增，所以xy，故正确；B由 A 项得xy，当2x，1y 时，3(1)1，31(2)8，此时33yx，故 错误；C由 A 项得xy，当1y，0 x 时，lg()0yx，故错误；D因为133xxy在R上是减函数，由xy，可得1133xy，即133yx，故正确；故选：AD.12AD【详解】由于函数 f（x）=ex+x，对于曲线 y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点P，Q，R，且横坐标依次增大,由于此函数是一个单调递增的函数，故由 P

16、到 Q 的变化率要小于由 Q 到 R 的变化率可得出角 PQR 一定是钝角故 A 对，B 错,由于由 P 到 Q 的变化率要小于由 P 到 Q 的变化率，由两点间距离公式可以得出 PQQR，故三角形不可能是等腰三角形，由此得出 C 不对，D 对故选 AD 1327【详解】由题意23 1x，2x，则8y，定点 A 为(2,8)，设 f(x)x，则 28，3，f(x)x3，f（3）3327.故答案为：27 1412【详解】因为tan2，所以sin()cos(2)coscos1123sinsintan2cos()sin()2 故答案为：12 1522()1f xx【详解】这样的函数可以为22()1f

17、 xx，验证：22=1()()fxxf x，即函数()f x为偶函数 当0 x 时，容易得到函数22()1f xx为减函数，max()(0)2f xf x时，()0f x，结合奇偶性可得出()f x的值域为0,2 故答案为：22()1f xx 16max11()2tee【解析】设切点(,)aP a e，因/()xfxe，故切线的斜率ake，切线l的方程为()aayeexa，令0 x 得(0,(1)aMea；过点(,)aP a e与切线l垂直的直线方程为()aayeexa，令0 x 得(0,)aaNeae，则MN中点的纵坐标为11()(2)22aaaaaateaeeaea eae，因/11(2)

18、(1)()22aaaaaata eeeaea ee，故当1a时，0t，函数1(2)2aata eae单调递增；故当1a 时，0t，函数1(2)2aata eae单调递减，故当1a 时，函数11max11(21)()22teeee，应填答案11()2ee 17【解答】解：若选：因为sincos()6aCcA，所以sinsinsincos()6ACCA，因为0C，所以sin0C，所以31sincos()cossin622AAAA，即33sincos22AA，所以3tan3A，因为0A，所以6A所以1113sin63 32222ABCSbcAcc，所以2 3c，所以2222232cos6(2 3)2

19、62 3122abcbcA，所以2 3a 若选：因为2 coscoscoscAaBbA，所以2sincossincossincosCAABBA，所以2sincossin()sin()sinCAABCC 因为0C，所以sin0C，所以1cos2A，因为0A，所以3A，所以1133 3sin63 32222ABCSbcAcc，所以2c，所以2222212cos62262282abcbcA ，所以2 7a 若选：因为222bcabc，所以222bcabc，所以2221cos22bcaAbc，因为0A，所以3A，所以1133 3sin63 32222ABCSbcAcc，所以2c，所以2222212co

20、s62262282abcbcA ，所以2 7a 18【解答】解；（1）设等比数列na的公比为(1)q q，由432a，得35323280aaqq 解得2q 或12q（舍去）所以41422nnnaa（2）证明：由2log1nnban，得112cb，当2n时，121ncccn，121ncccn，由得1(2)nncnn，当1n 时，1221c 满足上式，故1nncn，111111nnnbcnn 19【解答】（1）证明：取AE的中点N，连接PN，MN，BE，AECEDE，60D，ADE为等边三角形，即PAE为等边三角形，PNAE，设AECEDEa，则3BEa，2ABa，222ABAEBE，即AEBE，

21、M，N分别为AB，AE的中点，/MNBE，AEMN，又PNMNN，PN、MN 平面PMN，AE平面PMN，PM 平面PMN，AEPM（2）解：由（1）知，PNAE，平面PAE 平面ACBE，平面PAE平面ACBEAE，PN平面ACBE，以N为原点，NE，NM，NP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则1(2Ba，3a，0)，(0P，0，3)2a，1(2Ea，0，0)，(C a，32a，0)，1(2PEa，0，3)2a，1(2PBa，3a，3)2a，(PCa，32a，3)2a，设平面PBE的法向量为(mx，y，)z，则00m PEm PB，即13022133022axazax

22、ayaz，令3x，则0y，1z，(3m，0，1)，同理可得，平面PCE的法向量为(3n，1，1)，cosm，312 5|525m nnmn，由图知，二面角BPEC为锐角，故二面角BPEC的余弦值为2 55 20【解答】解：（1）设赌博再继续进行X局且甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲贏，由题意知，最多再进行 4 局，甲、乙必然有人赢得全部赌注 当2X 时，甲以4:1赢，所以224(2)()39P X，当3X 时，甲以4:2赢，所以122228(3)(1)33327P XC，当4X 时，甲以4:3赢，所以1232224(4)(1)33327P XC，所以，甲赢的概率为4848927279P 所以，

23、甲应分得的赌注为82432169元（2）设赌注继续进行Y局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，则Y的可能取值有 3,4，当3Y 时，乙以4:2贏，3(3)(1)P Yp，当4Y 时，乙以4:3贏，1333(4)(1)3(1)P YC pppp，所以，乙赢得全部赌注的概率为 333(1)3(1)(13)(1)fpppppp，求导322()3(1)(13)3(1)(1)12(1)fpppppp，因为415p，所以()0fp，所以()f p在4,1)5上单调递减，于是max4()()0.05562517f pf故是小概率事件 21【解答】解：（1）由题意可得2233221bccaaab，1b，3c，

24、所以22:14xy（2）由2214xyykxm，得222(41)8440kxkmxm，22222(8)4(41)(44)16(41)0kmkmkm，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，0(P x，0)y，则122841kmxxk，21224441mx xk 因为线段AB的中点为P，所以12024241xxkmxk，所以002244141kmmykxmkmkk 又点P在抛物线218yxk 上，所以22214()()41841mkmkkk，所以0m（舍去）或2241mk，由2216(41)0km，2241mk可得3(,0)2k，设直线AB与x轴的交点为(EE x，0)，211()|2ABFE

25、FSxxyy，2113|23CDFSyy，所以333133(4)332 3,)23333ABFECDFmSxmkkSkk 22【解答】解：（1）若1a ，则()3(1)2f xxlnx，2()3fxx，f（1）0，f（1）1，()1yf x x处的切线方程为1yx，即10 xy；（2）若12012()()()()f xf xfxxx成立，其中1202xxx，则曲线()yf x在点0(x，0()f x处的切线的斜率等于直线MN的斜率，不妨设120 xx，12121212121212(2)()2()2()2MNyya xxlnxlnxlnxlnxkaxxxxxx，002()2fxax，则12120122()24lnxlnxxxxxx，即11122121222(1)2()1xxxxxlnxxxxx，令12xtx，则01t，上式化为2(1)4211tlnttt，即4201lntt，令4()21h tlntt，01t，则22(1)()0(1)th tt t，可得()h t在(0,1)上单调递增，则()h th（1）0，方程4201lntt没有实数根，故12012()()()()f xf xfxxx不成立，其中1202xxx