全同粒子体系习题解2888.pdf

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1、标准 文案 第六章 全同粒子体系习题解 1求在自旋态)(21zS中，xS和yS的不确定关系：?)()(22yxSS 解：在zS表象中)(21zS、xS、yS的矩阵表示分别为 01)(21zS 01102xS 002iiSy 在)(21zS态中 00101102)0 1(2121xxSS 4010110201102)0 1(2222121xxSS 4)(2222xxxSSS 001002)0 1(2121iiSSyy 401002002)0 1(2222121iiiiSSyy 4)(2222yyySSS 16)()(422yxSS 讨论：由xS、yS的对易关系 xS，ySzSi 要求4)()(2

2、222zyxSSS 16)()(422yxSS 在)(21zS态中，2zS 16)()(422yxSS 标准 文案 可见式符合上式的要求。2求00201102iiSSyx及的本征值和所属的本征函数。解：xS的久期方程为 022 20)2(22 xS的本征值为2。设对应于本征值2的本征函数为 112/1ba 由本征方程 2/12/12xS ，得 1111201102baba 111111 abbaab 由归一化条件 12/12/1，得 1),(11*1*1aaaa 即 1221a 21 2111ba 对应于本征值2的本征函数为 11212/1 设对应于本征值2的本征函数为 222/1ba 由本征

3、方程 222/12/12baSx 222222 abbaab 由归一化条件，得 1),(22*2*2aaaa 即 1222a 21 2122ba 对应于本征值2的本征函数为 11212/1 标准 文案 同理可求得yS的本征值为2。其相应的本征函数分别为 i12121 i12121 3求自旋角动量)cos,cos,(cos方向的投影 coscoscoszyxnSSSS 本征值和所属的本征函数。在这些本征态中，测量zS有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？zS的平均值是多少？解：在zS 表象，nS的矩阵元为 cos10012cos002cos01102iiSn coscoscoscoscos

4、cos2iiSn 其相应的久期方程为 0cos2)cos(cos2)cos(cos2cos2ii 即0)cos(cos4cos4222222 0422 )1coscoscos(222利用 2 所以nS的本征值为2。设对应于2nS的本征函数的矩阵表示为baSn)(21，则 标准 文案 babaii2coscoscoscoscoscos2 bbiacos)cos(cos cos1coscosib 由归一化条件，得22*),(12121bababa 1cos1coscos222aia 1cos122a )cos1(2coscos1cos1)(21iSn)cos1(2coscos1cos1)(21iS

5、n 2121)cos1(2coscos2cos110)cos1(2coscos012cos1)(21iiSn 2121)cos1(2coscos2cos110)cos1(2coscos012cos1)(21iiSn 可见，zS的可能值为 2 2 标准 文案 相应的几率为 2cos1 2cos1)cos1(2coscos22 cos22cos122cos12zS 同理可求得 对应于2nS的本征函数为 )cos1(2coscos2cos1)(21iSn 在此态中，zS的可能值为 2 2 相应的几率为 2cos1 2cos1 cos2zS 讨论：算符zS的本征值为2，而 z 方向为空间的任意方向。现

6、在把 z 方向特别选为沿n方向（这相当于作一个坐标旋转），则nS的本征值也应为2。另外我们知道，本征值和表象的先取无关。这样选择nz/并不影响结果的普遍性。同理yxSS和的本征值也都是2。我们也可以在nS为对角矩阵的表象中（nS表象）求本征矢。显然这时nS的知阵为 2002 所以本征矢为1001及 注意到本征矢是随着表象选取的不同而改变的。现在是在nS表象，而上面算出的zS是在2表象，算出的结果应用所不同，这是合理的。4在z表象中，求n的本征态，)cos,sinsin,cos(sinn是),(标准 文案 方向的单位矢。（解）方法类似前题，设n算符的本征矢是：21ccx (1)它的本征值是。又将

7、题给的算符展开：zyxncossinsincossin (2)写出本征方程式：2121cossinsincossincccczyx (3)根据问题（6）的结论，x,y对2z的共同本征矢，运算法则是 x ，x ，iy ，iy ，z ，z （4）将这些代入（3），集项后，对此两边，的系数：2211cos)sinsincos(sin)sinsincos(sincosccicic （5）或 0)(cossin0sin)(cos2121ccececii （6）（6）具有非平凡解（平凡解01c，02c）条件是久期方程式为零，即 0cossinsincosiiee它的解12 （7）1 时，代入（6）得：12

8、2cetgci （8）（1）的归一化条件是：12221 cc 将（8）代入（9），得：2cos)(1iec 2sin2iec 归一化本征函数是：2sin2cos1iiee （10）1时，21,cc的关系是：标准 文案 122cectgci 归一化本征函数是：2cos2sin2iiee （11）是任意的相位因子。本题用矩阵方程式求解：运用矩阵算符：0110 x ，00iiy ，1001z （12）cossinsincosiieen (13)本征方程式是：2222cossinsincoscccceeii (14)n的本征矢是：iiee2sin2cos1)(,iiee2cos2sin2)(15)补白

9、：本征矢包含一个不定的 相位因式ie，由于可以取任意值，因此21,的形式是多式多样的，但（15）这种表示法是有普遍意义的。5.若,xyz 为泡利矩阵，证明：izyx，并求：（1）在z表象中zyx,的归一化本征函数；（2）在x表象中,yz 的归一化本征函数；证：由对易关系zxyyxi2 及 反对易关系0 xyyx，得 zyxi 上式两边乘z，得 2zzyxi 12z izyx（1）在z表象中，z的矩阵是1001z 因此z的本征值是1，而本征矢为01,10都已归一化。标准 文案 在z表象中0110 x；设其本征值为，本征矢为2121210110,aaaaaa则 容易求得1相应的归一化本征函数为 1

10、1211121和 同理，在z表象中，00iiy，设其本征值为，本征矢为21bb，则 212100bbbbii 可求得：1相应归一化本征函数为 ii121121和（2）求在x表象中。算符x，zy 和的矩阵形式：在z表象中，算符x，zy 和的矩阵形式为 00;0110;1001iiyyz 对坐标轴作一旋转，把原来的 z 轴换成 x 轴，x 轴换成 y 轴，y 轴换成 z 轴。根据轮换关系，容易得出在x表象中，算符x，zy 和的矩阵形式为：00;0110;1001iizyx 在x表象中y的本征值和本征矢：设本征值是21,aa本征矢是，则 212121210110,aaaaaaaay即 就有 0021

11、212112aaaaaaaa aa和1具有非零解的条件是 1011 当 1时：111112aaa 归一化后得：21,12,111)1,1(12121aaa 11211 1111112aaa时 标准 文案 进行归一化得21,111)1(121aaa 11211F 在zx,表象中的本征值和本征矢：设z的本征值为21,bb本征矢为，则 211211,00bbibibbbbbii 21bb和具有非零解的条件是 10,022iii 当 1时，ibibb1,1112，归一化后得i1211 当 1时，ibibb1,1112，归一化后得i1211 讨论：大家知道，在z表象中，yx,和z的本征值都是1，现在又证

12、明了，在x表象中，算符x，y和z的本征值仍然是1，这个结果充分说明了算符的本征值不随表象变换而改变的规律。在求x表象中，y，z的矩阵表示时，我们是利用 x，y，z 方向本来是任意选择的，可以经过轮换而得出。除此以外，还可以利用第四章第 5 题的方法，通过表象变换的方法来求出y和z在x表象中的矩阵表示，结果是完全一致的。由于泡利矩阵x，y，z的本征值是1，而zs，因此容易推得，自旋算符yxss,和zs 的本征值是2，它们也不随表象变换和改变。6设矩阵ABC满足1222CBA，iACBBC(1)求证0CAACBAAB(2)在A表象中，求出B，C得矩阵（设无简并）。【解】将iACBBC式左乘B，利用

13、12B，得 iBABCBC 同式右乘B，利用12B，得 iABCBCB 相加得0 BAAB，同样，将C左乘、右乘前述一式，可得 0CAAC 在用A表象时，A的本征矢是基矢，它满足本征方程式：标准 文案 A (1)但是本征值，从复用A运算于（1）得：2)(AAA 但12A，所以12 1,1；假定A没有简并态，A仅有两个本征值，在A自身表象中，其矩阵是对角的，矩阵元是本征值 1 和-1 1001A （2）设B的矩阵 dcbaB，将它代入等式0 BAAB 010011001dcbadcba 简化为02002 da，得00da 因此B是反对角矩阵：00cbB （3）代入条件12B，有：01010000

14、00bcbccbcb 得1bc 即bc1 得到含有一个待定常数的矩阵 010bbB 关于另一矩阵C也有类似的计算，由于C满足12C和0CAAC，因此C的矩阵（含有一个未定常数的）写作：010eeC （5）待定常数b和e之间尚需满足题给的约束条件iACBBC，将它列成矩阵：标准 文案 iibbeeeebb00010010010010 即ibeeb,或022eiebb 解出e用b的项表示：bebie6)223(或 65ibee 7满足下列条件的n维矩阵,称为nSU矩阵 1UUUU 1detU 试求2SU的一般表示式。【解】设:dcbaU则*dcbaU 代入题给的第一个条件 1001*dcbadcb

15、a 化成等效的条件)4(1)3(0)2(0)1(1*ddccdbcabdacbbaa 同理，代入第二个条件 1001*dcbadcba )4(1)3(0)2(0)1(1*ddbbcdabdcbabbaa 前列出的八个方程式并非完全独立。容易看出（2）与(3)是复共轭，（6）（7）也是复共轭式，；因此只有六个不相关方程式，因 2*aaaaa 标准 文案 等，又（1）（5）相减，（1）（8）相减，得两个关系式：2222dacb (9)(10)根据（1）：122 ba，因此在不失普遍性的情况下，可以设定以下形式：22cosa ieacos （11）22sinb iebsin (12)式中必是实数，而

16、，任意实数得相因子，根据（9）和（10），同样可设：iecsin（13）iedcos（14）这四个元素满足（1）（4）（5）（8）和（9）（10），但对于（2）或（3），对于（6）或（7）这两个条件的满足，给初相位，一些限制，将a,b,c,d的表达式代入(2)得：0)()(iiee （15）如果使用（3）、(6)、(7)诸式，实际上得不到新的关系，又将（15）遍乘)(ie得：0)()(iiee (16)其次我们使用题给得第三个独立条件1detU，有 1sincos)(2)(2iieebcaddcba （17）将（16）的关系代入（17）得：1sincos22)(ie 即 1)(ie 因而有 i

17、iee 又从（16）得 1)()(iiee，iiee （19）由此看来ie，ie，ie，ie只有两个独立，我们若选用ie和ie表示各元素，有 标准 文案 iiiieeeedcbaUcossinsincos 8 9设氢的状态是 ),()(23),()(2110211121YrRYrR 求轨道角动量 z 分量zL和自旋角动量 z 分量zS的平均值；求总磁矩 SeLeM2的 z 分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。解：可改写成10),()(2301),()(2110211121YrRYrR 21111211012213()(,)()()(,)()22zzRr YSRr YS 从的表达式中可看出zL的可

18、能值为 0 相应的几率为 41 43 4zL zS的可能值为 2 2 相应的几率2iC为 41 43 44324122ziizSCS)4(422eeSeLeMzzzBMe4142 100t 时氢原子处于态 100021112110211,112()(,)()(,)44(,0)23()(,)()(,)44zRr YRr Yr SRr YRr Y 忽略自旋轨道相互作用，（1）求能量E，轨道角动量2L，zL即自旋角动量zS的可能取值，相应几率及平均值；（2）写出t时刻波函数。解：容易验证，波函数是归一化的 标准 文案 1249(,0)(,0)116161616zzr Sr Sd 422211;(1)

19、;22snzzeELl lLmSn （1）能量的可能取值 11证明)3()2()1(,SSS和A组成的正交归一系。解：)()()()(22/112/122/112/1)1()1(zzzzSSSSSS)()()()(22/112/112/122/1zzzzSSSS 1)()(22/122/1zzSS)()()()(22/112/122/112/1)2()1(zzzzSSSSSS)()()()(22/112/112/122/1zzzzSSSS=0)()()()()()(2122/112/122/112/122/112/1)3()1(zzzzzzSSSSSSSS)()()()()()()()(212

20、2/112/112/122/122/112/112/122/1zzzzzzzzSSSSSSSS 0)()(2122/122/1zzSS 同理可证其它的正交归一关系。)()()()()()()()(2122/112/122/112/122/112/122/112/1)3()3(zzzzzzzzSSSSSSSSSS)()()()(2122/112/122/112/1zzzzSSSS)()()()(2112/122/122/112/1zzzzSSSS)()()()(2112/112/112/122/1zzzzSSSS 标准 文案)()()()(2112/122/112/122/1zzzzSSSS 1

21、210021 15一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态1和2，相应的能量为1和2。写出体系所有可能的波函数和能量 解：体系可能的状态有 4 个。设两个单粒子态为1，2，则体系可能的状态为 1111213()()()qqq 能量13 2212223()()()qqq 能量23 31112231113221213211()()()()()()3()()()qqqqqqqqq 能量 122 42122132123122223111()()()()()()3()()()qqqqqqqqq 能量 122 附：（20 分）已知氢原子在0t时处于状态 标准 文案

22、213101122(,0)()()()010333xxxx 其中，)(xn为该氢原子的第n个能量本征态。求能量及自旋z分量的取值概率与平均值，写出0t时的波函数。解 已知氢原子的本征值为 42212neEn，,3,2,1n （1）将0t时的波函数写成矩阵形式 2311233(,0)23xxxx （2）利用归一化条件 232*2311221212233d3332312479999xxcxxxxxcc （3）于是，归一化后的波函数为 232311121297733(,0)72437xxxxxxx（4）能量的可能取值为123,E EE，相应的取值几率为 123412,0;,0;,0777W EW EW E （5）能量平均值为 123442241207774111211612717479504EEEEee （6）自旋z分量的可能取值为,22，相应的取值几率为 1234,0;,0277727zzW sW s （7）标准 文案 自旋z分量的平均值为 340727214zs （8）0t时的波函数 2233111i2iexpexp77(,)4iexp7xE txE tx txE t （9）