不定积分和微分5546.pdf

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1、不定积分和微分 一、公式)()(xfdxxfdxd和cxfdxxfdxddxxf)()()(/的应用 注意：)(xf的不定积分为 cxF)()(xF是)(xf的原函数)(xf是)(xF的导数，即 cxFdxxf)()(或)()(/xfxF 1、已知不定积分的值，求被积函数或被积函数中的一部分，利用两边求导处理 已知cxFdxxf)()(，求)(xf 方法：求导得)()(/xFxf，令tx)(，则)(1tx，即)()(1/xFxf 例 1（1）cxdxxf2)(，求dxxxf)1(2 解：对cxdxxf2)(求导得xxf2)(，2222)1(xxf 则cxxdxxxdxxxf32)22()1(2

2、222（2）cxdxxxfarcsin)(，求)(xfdx 解：对cxdxxxfarcsin)(两边求导得211)(xxxf，即211)(xxxf cxxdxdxxxxfdx232222)1(31)1(1211)(2、已知导数值，求原函数，利用两边积分的方法处理 已知)()(/xfxF，求)(xF 方法：令tx)(，则)(1tx，即)()(/tftF，故dttfxF)()(/例 2（1）xxf22/tan)(sin，求)(xf 解：令tx 2sin，则tt1cos2，ttxxx1cossintan222 即tttf1)(/两边积分的cttdttttf|1|ln1)(（2）已知 1)()(/xf

3、xxf，求)(xf 解：令tx，则上式为 1)()(/tfttf，即 1)()(/xfxxf 由上面两式得12)(2/xxxf 两边积分得cxdxxxxf)1ln(12)(22（3）设)(uf在u内可导，且0)0(f，又 1101)(ln/xxxxf，求)(uf 解：令tx ln得tex，则 1101)(/ttteeetf 即001)(2/tettft 当0t时，1)(/tf，两边积分得1)(ctdttf 当0t时，2/)(tetf，两边积分得2222)(cedtetftt 又因为设)(tf在u内可导，所以)(tf在u内连续 而222002)2(lim)(limccetfttt，1100)(l

4、im)(limccttftt 因为)(tf在0t处连续，则0212cc，即2,021cc 故0220)(2tetttft（4）设)(xfy 在x处的改变量为)(1xoxxyy（0 x），1)0(y，求)1(/y 解：由)(1xoxxyy 知 xyy1/即xdxydy1 两边积分得xdxydy1 得 cxy)1ln(ln 而1)0(y 故 0c，即xy1 故1)1(/y（5）设0sin)(dtttxf，求0)(dxxf 解：dxxxxdxxxdxxxfxxfdxxf000/00sinsin)(|)()(02sin xdx 二、已知)(xF是)(xf的原函数cxFdxxfxfxF)()()()(/

5、，求被积函数中含有)(xf的积分 1、由)()(/xFxf求出)(xf，代入积分计算 2、把积分转化为)()(xdxf的形式，利用cxFdxxf)()(求值 例 3（1）xxsin是)(xf的原函数，0a，求dxaaxf)(解：因为xxsin是)(xf的原函数，所以cxxdxxfsin)(而cxaaxctatdttfadxaaxftax322sinsin)(1)(（2）xe是)(xf的原函数，求dxxfx)(ln2 解：因为xxeexf/)()(，所以xxf1)(ln 则cxxdxdxxfx2)(ln22 三、已知)(xf的表达式，求被积函数中含有)(xf的积分 1、由)(xf求)(xf，再把

6、)(xf的表达式代入积分计算 2、由)(xf先求dxxf)(，把含有)(xf的积分转化为)()(xdxf的形式处理 例 4（1）xxxfsin)(sin2，求dxxfxx)(1 解：在dxxfxx)(1中，令tx2sin得 dttfttdtfttdxxfxx)(sinsin2)(sin)(sinsin1sin)(1222222 cttttdtttttdtdttsin2cos2cos2cos2)(cos2sin2 因为xtxtxtarcsin,1cos,sin 所以cxxxdxxfxx2arcsin12)(1（2）2ln)1(222xxxf，且xxfln)(求dxx)(解：令tx12，则11ln

7、)(tttf，而xxfln)(则xxxln1)(1)(ln 即11)(xxx cxxdxxxdxx|1|ln211)(（3）)()(/2xfex，)(/xf连续，求dxxxf)(/解：因为)()(/2xfex，所以22)(xxexf，cedxxfx2)(ceexdxxfxxfxfxddxxxfxx222/2)()()()(（4）xxexf)(，求xdxxfln)(/解：dxxxfxxfxfxdxdxxf)(ln)()(lnln)(/cexxedxexxexxxxlnln（5）xxfcos)(ln，求dxxfxxf)()(/解：dxxfxfxxfxddxxfxxf)(ln)(ln)(ln)()(

8、/cxxxxdxxxsincoscoscos（6）设dtttxfx21sin)(，求10)(dxxxf 解：因为dtttxfx21sin)(，所以xxxxxxf222/sin22sin)(10210/210210210sin)(21|2)()(21)(dxxxdxxfxxfxdxxfdxxxf 2121cos|cos21sin211021022xdxx 四、利用凑微分法求积分 注意：)()()()()(/xgfdxgdxgfdxxgxgf 例 5（1）1)0(f，3)2(f，5)2(/f，求10/)2(dxxxf 解：20/20/20/20/210/)(41|4)()(41)(41)2(dtt

9、fttftftddtttfdxxxftx令 24)0()2(2)2(/fff（2）设)(xf二阶可导，abf)(/，baf)(/，求badxxfxf)()(/解：2|2)()()()()(222/baxfxfdxfdxxfxfbababa（3）设5sin)()(0/xdxxfxf，2)(f，求)0(f 解：00/0/cos)()(sinsin)(xdxxfxfxdxdxxf 00sin)()()0()(cosxdxxfffxfxd 因为5sin)()(0/xdxxfxf，所以 5)()0(ff而2)(f，故7)0(f 五、已知)()(/xfxF，且)()()(xgxFxf，求)(xf 方法：两

10、边积分dxxgdxxFxF)()()(/，得dxxgxF)(2)(2，求)(xf 例 6（1）)(xF是)(xf的原函数，且0 x时，有xxFxf2sin)()(2，又1)0(F，0)(xF，求)(xf 解：因为)(xF是)(xf的原函数，所以)()(/xfxF，由于 xxFxf2sin)()(2 故xxFxF2sin)()(2/，两边积分得 12/84sin24cos21212sin)()(cxxxdxdxxdxdxxFxF 而 22/2)()()()()(cxFxFdxFdxxFxF 故cxxxF44sin)(2，又1)0(F得1c 而0)(xF，所以144sin)(xxxF 44sin4

11、4cos1)(xxxxf（2）)(xf连续，且当1x时，20)1(2 1)()(xxedttfxfxx，求)(xf 解：令dttfxgx0)()(，)()(/xfxg，由于20)1(2 1)()(xxedttfxfxx 则 2/)1(2 1)()(xxexgxgx 两边积分得 dxxxedxxgxgx2/)1(2 1)()(即 dxxedxxedxxxexgdxgxxx22)1(21121)1(2 1)(1)(故 cxexgx1 1)(2 因为 dttfxgx0)()(令0 x得0)0(g，代入上式0c 故11)(xexgx，23/)1(2)(xexxfx（3）已知)(xf为非负连续函数，且0

12、 x时，30)()(xdttxfxfx，求)(xf 提示：因为xxduufxfdttxfxf0ut-x0)()()()(令，令xduufxg0)()(处理 六、变上限积分的导数运算 注意：(1)如,)()(baxdttfxFbx，则xbdttfxF)()(，则)()(/xfxF(2)如)()()(xadttfxF，则由复合函数的求导法则有 )()()()()()(/xxfxufdxduuFdxdxF(3)如)()()()(xxdttfxF，可得成)()()()()(xccxdttfdttfxF，则)()()()()(/xxfxxfxF 例 7（1）已知)(xf满足xdttftxxf02)(1)

13、(，求)(xf 解：两边求导得)()()(2/xfxxxfxf 即dxxxxfxfd)1()()(两边积分得cxxxfln2)(ln2，所以xCexfx22)(（2）求一个不恒等于零的连续函数)(xf，使它满足xdttttfxf02cos2sin)()(解：两边求导得xxxfxfxfcos2sin)()()(2/即 0)cos2sin)(2()(/xxxfxf 因为)(xf是不恒等于零的连续函数，故xxxfcos24sin)(/两边积分得cxdxxxxf)cos2ln(21cos2sin21)(在xdttttfxf02cos2sin)()(中令0 x，得0)0(f代入上式有3ln21c 故3l

14、n21)cos2ln(21)(xxf 注意：（1）上题要充分利用已知条件确定初始条件0)0(f（2）定积分或变上限积分的被积函数有参变量时，必须通过换元，使被积函数不含参变量，然后再求导 例 8（1）已知)(xf连续，xxdttxtf02arctan21)2(，1)1(f求21)(dxxf 解：令utx2，则 xxxxxxxduuufduufxduufuxdttxtf2202)()(2)()2()2(即 222arctan21)()(2xduuufduufxxxxx 两边求导得 421)()(2xxxxfduufxx 因为1)1(f，上式中令1x得21)1()(221fduuf 则 43)(2

15、1dxxf（2）求可导数)(xf，使它满足10sin)()(xxxfdttxf 解：令utx，则duufxdttxfx010)(1)(因为10sin)()(xxxfdttxf，所以xxxxfduufxsin)()(20 两边求导得xxxxfcossin2)(/两边积分得cxxxxdxxxdxxfsincoscossin2)(（3）由方程1sine220y0tdtttdtx（0 x）确定y是x的函数，求dxdy 解：对x求导得0sin22/2xyey，故22sin2yexdxdy（4）)(xyy 是由012dtexxyt确定的函数，求0/xy 解：对x求导得0)1(1/)(2yexy故12)(/

16、xyey 在012dtexxyt中令0 x时，有012dteyt，即1y 故1/0/eyx 注意：此题确定y的方法（5）设)(xf为已知可导奇函数，)(xg为)(xf的反函数，则)()(xfxxdtxtxgdxd 解：令uxt，则duugxdtxtxgxfxfxx)(0)()()(所以)(0/)()()()()(xfxfxxxfgxxfduugdtxtxgdxd 令)(0)()(xfduugxh，则)()()()(/xxfxfgxfxh 两边积分得dxxfxxfdxxxfxh)()()()(/故dxxfxfxxxfdtxtxgdxdxfxx)()()()(/2)(（6）设函数)(xf可导，且0

17、)0(f，xnnndttxftxg01)()(，求nxxxg20)(lim 解：令utxnn，则nxxnnnduufndttxftxg001)(1)()(由于)()(1/nnxfxxg 故nfxfxfnxxfnnxxgxxgnnxnnxnxnx2)0(0)0()(lim21)(lim212)(lim)(lim/0012/020 七、求分段函数的不定积分 先分别求分段函数)(xf的各分段在相应区间的原函数)(xF，然后考虑函数)(xF在分段点处的连续性。如果)(xf在分段点0 x处连续，则)(xF在0 xx 处连续 例 9（1）1211)(xxxxxf，求dxxf)(解：当1x时，122)1()

18、(cxxdxxdxxf 当1x时，222)(cxxdxdxxf 因为dxxf)(在1x处连续，故12231cc，即ccc212112 所以12112)(22xcxxcxxdxxf（2）dxx),1max(2 解：11111),1max(222xxxxxx 当11x时，12),1max(cxdxdxx 当1x时，23223),1max(cxdxxdxx 当1x时，33223),1max(cxdxxdxx 求满足1)1(F的原函数 由于)(lim)1(11xFFx，即213111cc 得01c，322c 又由于)(lim)1(1xFFx，即3311c 得323c 1323132311),1max(

19、332xcxxcxxcxdxx（3）dxx（0 x）解：分别求出在区间 1,nn（3,2,1,0n）上满足0)0(F的原函数 在 1,nn上，ncnxdxx，nnFnF)()1(在,1xn 上，1)1(ncxndxx，)1)(1()1()(nxnnFxF 故cnxncnxnndxx)12)(1()1)(1(3210 八、分段函数的变上限积分 例 10（1）xcxxxf220cos)(，求xdttfx0)()(，并讨论)(x在,0的连续性 解：当20 x时，xxxtdtdttfx00sincos)()(当 x2时，2020)2(1cos)()(xccdttdtdttfxx)(x在,2(,)2,0

20、上连续，在2x处，1)2(1 lim)(lim22xcxxx，1sinlim)(lim22xxxx 故)(x在2x处连续（2）2220cos)(xxxxxf，求xdttxtf0)(解：令utx，则xxxduuufduufxdttxtf000)()()(当20 x时，xxxududuuf00sincos)(1cossincos)(00 xxxduuuduuufxx 此时xdttxtfxcos1)(0 当2x时，xxxxduuududuuf0202221822)2(cos)(xxxxuduuuduuduuuf0203232124843)2(cos)(此时1248)18(46)(32230 xxxd

21、ttxtfx 九、积分估值 估计积分badxxf)(的值 方法：（1）令)(xfy，,bax（2）求)(/xfy，确定0)(/xf和)(/xf不存在的点（3）在,ba上确定)(xfy 的最值（4）利用baabMdxxfabm)()()(估计积分值 例 11 估计积分值202dxexx 解：设函数xxexfy2)(，其中2,0 x xxexy2)12(/令0/y，得21x 因为1)0(f，41)21(ef，2)2(ef，故241eye 所以 22041222edxeexx 十、形如badxxfxhxgxf)()()()(的等式，求)(xf和badxxf)(方法：（1）令Adxxfba)(（2）两

22、端积分bababadxxAhdxxgAdxxf)()()(得babadxxhAdxxgA)()(,求A的值（3）把A的值代入原式求)(xf 例 12 设203102)()()(dxxfxdxxfxxxf，求)(xf 解：令adxxf10)(，bdxxf20)(则 32)(bxaxxxf 两边积分1032104321)()(badxbxaxxdxxf 即 638 ba 两边积分2032204382)()(badxbxaxxdxxf 即 638 ba 故83a，1b，即3283)(xxxxf 十一、已知函数)(xf在,ba上的形式，求)(xf 方法：（1）求)(/xf（2）对)(/xf两边积分得c

23、xFxf)()(（3）取,bad，由已知条件求)(df的值确定c 例 13（1）设20 x，求xdttxf2sin0arcsin)(+dttx2cos0arccos 解：两边求导得02sin2sin)(/xxxxxf，所以cxf)(（c为常数）又因为当0 x时，1010341arccos)(dtttdttxf 所以 34)(xf（2）设0 x，xdttxf0211)(+dttx10211，求)(xf 解：两边求导得0111111)(222/xxxxf，所以cxf)(（c为常数）又因为当1x时，2112)(102dttxf 所以 2)(xf 十二、例 14 已知111)(432dxyydxydx

24、yydxdx，求()xf y.解：因为111)(432dxyydxydxyydxdx 所以dxyydxydxyydxdx432111 两边对x求导得24432)11(111dxyyyyyyy 故2424)11()11(yydxyy 即441111yydxyy或441111yydxyy 当441111yydxyy时,令411)(yyxu,则)()(/xuxu,此时两边积分得 xCexu)(而 411)(yyxu 所以411yyCex)1(132yyyCex,即cyyyx)1ln(32 同理（略）十三、计算 1、如果badxxfI)(1，令tx1得badxxfI)(2 则 AdxxfxfIba)(

25、)(221 得2AI 例 1502)1)(1(1dxxxIp 解：令tx1，即dttdx21 则 dttttdxxxIpp)1()11)(11(1)1)(1(120202 dttttpp02)1)(1(所以 21)1)(1()1)(1(12020202xdxdxxxxdxxxIppp 即 4I 2、形如20tan1xdx的积分，令xy2，然后相加处理 例 16dxxxx20200520052005sincoscos 解：令xt2，则dtdx 202005200520050220052005200520200520052005sincossin)2(sin)2(cos)2(cossincosco

26、sdttttdttttdxxxxI 所以20200520052005202005200520052sincossinsincoscos2dxxxxdxxxxI 故4I 3、形如dxxDxCxBxAcossincossin 令/)cossin()cossin(cossinxDxCbxDxCaxBxA确定ba,例 17（1）dxxxxxcos2sincos4sin3 解：令/)cos2(sin)cos2(sincos4sin3xxbxxaxx 比较上式两端得4232baba 即1a，2b cxxxdxxxxxdxxxxxdxxxxx|cos2sin|ln2cos2sin)cos2(sin2cos2

27、sincos2sincos2sincos4sin3/（2）dxxxxcos4sin3sin 解：令/)cos4sin3()cos4sin3(sinxxbxxax 比较上式两端得034143baba 即253a，254b cxxxdxxxxxdxxxxxdxxxx|cos4sin3|ln254253cos4sin3)cos4sin3(254cos4sin3cos4sin3253cos4sin3sin/4、利用公式bxaxddxbxaxdxxbxa22222tantantanseccossin1处理 例 182022cos4sin3xxdx 解：20220222022)2tan3(1tan41ta

28、n34seccos4sin3xxddxxxxxdx 123|)2tan3arctan(3212tan3)2tan3(1132120202xxdx 5、利用dxxekxekdxxekxkxkx111111计算，每用一次分部积分法，被积函数的分母次数降低一次 例 19（1）dxxxex2)1(解：因为 dxxedxxedxxxexxx22)1(1)1(而 dxxexexdedxxexxxx11)11()1(2 故 cxedxxxexx1)1(2（4）dxxxex)24(sin2sin4sin 解：4)sin1(2)2cos(1)24(sin224xxx 则)(sin)sin1(sin8)24(si

29、n2sin2sin4sinxdxxedxxxexx 令tx sin，则原式=dtttet2)1(8 由上式知tedtttett18)1(82，原式=cxexsin18sin 6、当)(xf在,aa上可积，则 aaaaadxxfxfdxxfxfdxxf0)()()()(21)(例 20（1）dxx44sin11 解：dxxdxxxdxx4424444sin11sin11sin1121sin11 2|tancos44442xxdx（2）dxxex112)1)(1(1 解：dxxexedxxexxx1122112)1)(1(1)1)(1(121)1)(1(1 4|arctan21112111112x

30、dxx 7、积分bdxxfI0)(，作变量替换xbt得bdxxbfI0)(则 )()(2100bbdxxbfdxxfI 例 21（1）dxxxxxnnn0222cossinsin 解：dxxxxxxxxxdxxxxxnnnnnnnnn02222220222)(cos)(sin)(sin)(cossinsin21cossinsin 202222222cossinsincossinsindxxxxdxxxxnnnnnn 2022222222cossincoscossinsindxxxxdxxxxnnntxnnn令 所以 dxxxxxnnn0222cossinsin 2cossincoscossin

31、sin22022220222dxxxxdxxxxnnnnnn（2）dxx40)tan1ln(解：4040)4tan(1ln()tan1ln(21)tan1ln(xxdxx 42ln2ln21)tan12ln()tan1ln(214040dxdxxx 8、利用被积函数的奇偶性求积分 如果)(xf是,aa上的偶函数，则aaadxxfdxxf0)(2)(如果)(xf是,aa上的奇函数，则aadxxf0)(例 2222223cos)sin(xdxxx 解：因为函数xx23sin是奇函数，故0cos2223xdxx 所以dxxdxxxxdxxx22222222223)4cos1(81cossincos)

32、sin(8 9、凑微分法利用第一换元法和分部积分法 常见的凑微分公式)1()1(12232xxddxx )11()1(2232xddxxx)11()1(2232xddxxx )1()1(12232xxddxx )1ln(1122xxddxx )1(122xddxxx )1(122xddxxx 例 23（1）dxxxx)ln1(解：cxcexxdedxxedxxxxxxxxxxxlnlnln)ln()ln1()ln1(（2）dxexexx222sinsin 解：)22(sin41sinsin22sin222sin222sinxxdedxxedxexexxxxxx cexx22sin41（3）dx

33、xx362 解：)3()3(11933)()(31332323362xdxxxddxxx cx)3arctan(933 10、分段函数的定积分 例 24（1）dxx20sin1 解：dxxxxxdxx2022202cos2cos2sin22sinsin1 dxxdxxx|)42(sin|2|2cos2sin|2020 230223)42sin()42sin(dxxdxx 42222（2）dxxx10)11(解：令tx1，dttdx21，当1,1tx；当tx,0 则1112121011ln)1ln()1()1()11(nnnnnnndttntdttttdxxx cnnn1)113121()1ln

34、(lim 注意：nknncnk1ln1312111，其中577216.0c称为欧拉常数，且0limnn（3）dxixnni 01|解：niniininnnidxixdxxidxixdxix110001)()(|62)2(3122nnninini（4）dxxfxa0/)(解：01/0/)()()(akkkaaadxxfadxxkfdxxfx )()2()1()()()1(afffafaafaafa（5）dxxxx042coscos 解：20200422sin212sin21|2sin|21coscosxdxxxdxxdxxxdxxxx 488(6)dxxx303)sgn(解：10313031)s

35、gn(dxdxdxxx（7）dxex20 解：令tex，dttdx1，当2x时，2et；当0 x时，1t 所以!7ln147227161120dttdttkdtttdxeeekkkx (7)dxx10)sgnsin(ln 解：当0)sin(lnx，得nnexe22，其中,3,2,1n 当0)sin(lnx，得222nnexe，其中,3,2,1n 故 122110)12()sgnsin(ln22222nnneeeeeeedxdxdxxnnnn 11222eee（8）dxx10002cos1 解：99010001000|sin|2|sin|22cos1kkkdxxdxxdxx 9900|sin)1

36、(|2kktkxdtt令 2198(9)dxxxn0|sin|解：101000sin)(|sin|sin|nknktkxkkntdttkdxxxdxxx令 210)12(nknk 11、利用第二换元法求积分 例 25（1）dxeeexxx)1(arctan22 解：令tex2arctan，则txtanln2，dtttdxcossin2 dtttdttttttdxeeexxx2222cot2cossin2)tan1(tan)1(arctan ctttttdttdtt2cot2|sin|ln22csc22 ceeeexxxxx222arctan2arctan2)1ln(（2）dxxne1/2|)1

37、cos(ln|（n为自然数）解：因为|)sin(ln|)1cos(ln|/xxx 则 11/22|)sin(ln|)1cos(ln|nneedxxxdxx 令 ux ln，则uex，duedxu 所以 duudxxnen021/|sin|)1cos(ln|2 再令tu 则 nnedttduudxxn20021/|sin|sin|)1cos(ln|2 nvdvdttnknkvktkk4sin|sin|1200120令（3）)1)(2()2()1ln(21xxdxxxxx 解：dxxxxxxxdxxxxx1)2ln(2)1ln()1)(2()2()1ln(21 cxxdxxxdxxxxxdxxxx

38、dx)2ln()1ln(1)2ln(1)2ln()2ln()1ln(1)2ln()2ln()1ln(12、被积函数中含有)(22axxn的形式，一般作代换tx1 例 26dxxx)1(128 解：令tx1，dttdx21 cxxxxxctttttdtttttdtttdxxx1arctan1315171arctan357)111(1)1(135735722462828 13、杂题 例（1）dxxx1021)1ln(解：令txtan，则dttdxxx40102)tan1ln(1)1ln(而 dtttdtt4040)4tan(1ln()tan1ln(21)tan1ln(82ln2ln2140dt（2

39、）dxxxxexsinsincos2 解：dxxedxxxedxxxxexxxsinsincossinsincos222 cxedxxedxxexedxxexdexxxxxxsin2sinsinsin2sin)sin(2222222（4）40tan)1(tanxdxxex 解：40240)tan1(sectan)1(tandxxxexdxxexx 12tan|tan|tantantan440404040404040exdxeexdxexexdxedxexdexxxxxxx（）112004)(1(dxeexxxx 分析：111120052005112004)()()(1(dxexxdxexxdx

40、eexxxxxx 而112005112005112005)()()(dtettdtettdxexxtttxx令 故112005111200511200424)(2)(1(dxexedxexxdxeexxxxxx（此方法易想到但太繁，解略）十四、积分的应用 1、利用转轴公式求值 如果平面内一点的旧坐标和新坐标分别为),(yx和),(11yx，则转轴公式为 cossinsincos1111yxyyxx 例：设 D：4,2,422yxyxxyxy，1)求 D 的面积；2)求 D 绕xy 旋转一周的绕旋体体积。解 把直角坐标系xoy顺时针转4，使xy 为1ox轴，此时转轴公式为)(224cos4sin

41、)(224sin4cos11111111yxyxyyxyxx 则D的各边界在新坐标系下的坐标为111xy，01y，21x，221x 1）2ln2ln22ln|ln1222222111xdxxS 2)42|)1(2221122221xdxxV 2、求值 例（）设直线axy 与抛物线2xy 所围成的图形面积为1S，它们和直线1x围成的图形面积为2S，且1a。（1）求a，使21SS 最小（2）求该最小值所对应的平面绕x轴旋转所得旋转体的体积（）设平面图形由xyx222与xy 所确定，求该图形绕直线2x旋转所得旋转体的体积。（）求曲线xxy23与2xy 所围成图形绕y轴旋转所形成的旋转体的体积（）过点

42、)0,1(P作抛物线2xy的切线，该切线与抛物线及x轴围成一个平面图形，求该图形绕x轴旋转所成的旋转体体积。（）在曲线xey（0 x）上求一点，使该点的切线被两坐标轴所截的线段和该曲线以及过线段端点而垂直于x轴的两直线所围图形的面积最小。（）求常数k，使曲线2xy 与直线0,2,ykxkx所围图形的面积最小（）设)(xf在,ba上连续，在),(ba内，有0)(/xf，证明：在),(ba内存在唯一的点，使曲线)(xfy 与两直线)(fy 和ax 所围成图形的面积1S是曲线)(xfy 与两直线)(fy 和bx 所围成图形的面积2S的面积。（）已知xdtttxf1|)(（1x），求)(xf与x轴围成

43、的面积。（）设cbxaxy2过)0,0(，当10 x时，0y，如果它与x轴、直线1x所围图形面积为31，求cba,使图形绕x轴旋转所成的体积最小。注意：补充隐函数的积分 例：设函数)(xfy 是由33)(xyxy确定的隐函数，求dxy31（换元法）习题 1、求值（1）cxedxxfx)(，求)(xf（2）cedxxfx22)(，求)(xf （3）cedxefexxx11)(，求dxefexx)(2 2 求值（1）xefx1)(/，求)(xf（2）1)(ln/xxf，求)(xf（3）xxf22/sin)(cos，且0)0(f，求)(xf（4）2/)13(xxexf，且0)1(f，求)(xf（5）

44、设)(xfy 在x处的改变量为)(sin12sin2xoxxxyy，1)(y，求)2(y（6）)(xf是xe的原函数，求dxxfx)(2 3 xe是)(xf的原函数，求dxxfx)(ln2 4（1）xexf)(，求dxxxf)(ln，dxxxf)(ln/（2）xxxf)1ln()(ln，求dxxf)(（3）xxxFsin)(是)(xf的一个原函数，求dxxfx)(/3（4）axxfsin)(，求dxxxf)(/（5）xxxfsin)(，求dxxxf)(/（6）)()(/xfex，求dxxxf)(（7）)()(/xfxF，求dxxxf)(sincos（8）)(xf的一个原函数为2xe，求dxxf

45、x)(2 5（1）dxxfxxf)()(2/2 （2）dxxfxf)(1)(2/（3）cxdxxf2)(ln)(，求dxxxf)(/（4）21)2(f，0)2(/f且201)(dxxf，求10/2)2(dxxfx 6（1）)(xF是)(xf的原函数，且0 x时，有2)1(2)()(xxexFxfx，又1)0(F，0)(xF，求)(xf（2）设,)()(的原函数是xfxF，且42)1(F，当0 x时，有)1(arctan)()(xxxxFxf，试求)(xf。7（1）设0 x时，2203)(xxxdttf，其中)(xf连续，求)3(f(2)设)(xf是),(上的已知连续函数，求函数)(x，使 21

46、1)()(xxdttdttf，且当xxfsin)(时，)(x的表达式(3)xxdttf032)(，求20)sin(cosdxxxf(4)求xttdtexf0sin)(，在2,0 x上的极值和最值(5)(xf在)2,0(内连续，0)(xf且dttttfxfx022tan21tan)()(，求)(xf(6)21sin)211()(xxttdttxf（0 x），求nnfn1sin)(lim 8（1）已知)(xf连续，xxdttxtf0cos1)(，求20)(dxxf（2）已知)(xg连续，xdttgtxxf02)()(21)(，求)(/xf、)(/xf（3）设)(xf是x的连续函数，求x0 x)dt

47、-f(tdxd（4）设yxtdtyxx02sec)tan(2（yx），求dxdy（5）0 x，dttftxxFx)()()(/022的导数与2x为等价无穷小，求)0(/f(6)设f(x)在（，+）内连续，且10()()xnnnxsf xsds，求()x。(7)求()0()()xdxt f t dtdx，其中f(t)为已知的连续函数，()x为已知可微函数。（8）已知当0 x时，xdttftxxF022)()()(的导数)(xF与2x为等价无穷小，则)0(f （9）设)(x在 1,0上可导，有10)()(xadttx，其中a为常数，求)(x(10)22ln2x0t1texyedttdt0te，求/

48、y（11）已知xudueysin111)1(，其中)(xtt 由方程组vtvx2sin2cos确定，求dxdy 9（1）010sin)(xexxxfx，求dxxf)1(（2）1210100)(xxxxxxf，求dxxf)(（3）dxex|（4）dxxx|（5）xdxsgn（6）dxx)sgn(sin（7）dxx)1(（8）|xe的不定积分为cxF)(，求)(xF（9）求xdttf0)(，其中ltlttf|0|1)(10（1）21110)(xxxxxf，求xdttf0)(（2）设xxf)()0(x，2020sin)(xxxxg，求xdttxgtf0)()(（3）设)(xf在,ba上连续，badt

49、tftxxF)(|)(，且,bax，求)(/xF 11（1）证明30341160dxxx（2）证明222121212dxeex（2）估计积分值331arctan xdxx 12（1）设1022)(111)(dxxfxxxf，求)(xf和10)(dxxf（2）设10)(2)(dttfxxf，求)(xf（3）设102)()(3)(dxxfxgxxf，10)(2)(4)(dxxgxfxxg求)(/xf、)(xg 13(1)设2121x时，求)43arccos(arccos3)(3xxxxf（2）当1x时，设xxfarctan)(，212arctan21)(xxxg。求)(),(xgxf的关系 14

50、设)(xyy，如果11dxyydx，1)0(y，且x时，0y，求)(xyy 15 求积分（1）0411dxxI（2）0421dxxxI 16 求积分（1）)0(022axaxdxa(2)201993tan1xdx 17 求积分（1）dxxxxxcos2sin5cos3sin7（2）dxxx211（3）dxxtan531 18 求积分20cos5.01xdx 19 求积分（1）dxexx2)21(（2）dxxx2ln1ln 20 求积分（1）dxexx2221sin（2）dxexx2261cos 21（1）证明2000)(sin)(sin2)(sindxxfdxxfdxxxf（2）求dxxx01