中学数学兴趣社团活动记录3047.pdf

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1、1 中学数学兴趣社团活动记 活动名称 数学兴趣小组 活动日期 月 日 星期 负责人 参加学生 活动地点 数学活动室 活动目的 1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等）。活动过程（教案）第一讲 有 理 数 一、有理数的概念及分类。二、有理数的计算：三、例题示范 1、数轴与大小 例1、已知数轴上有 A、B 两点，A、B 之间的距离为 1，点 A 与原点 O的距离为 3，那么满足条件的点 B与原点O的距离之和等于多少？满足条件的点 B 有多少个？例2、将9998,19991998,9897,19981997这四个数按由小到大的顺序，用“”连结起来。提示 1

2、：四个数都加上 1 不改变大小顺序；提示 2：先考虑其相反数的大小顺序；提示 3：考虑其倒数的大小顺序。例3、观察图中的数轴，用字母 a、b、c 依次表示点 A、B、C 对应的数。试确定三个数cabab1,1,1的大小关系。分析：由点 B 在 A 右边，知 b-a0，而 A、B 都在原点左边，故 ab0,又c10,故要比较cabab1,1,1的大小关系，只要比较分母的大小关系。例4、在有理数 a 与 b(ba)之间找出无数个有理数。提示：P=naba（n 为大于是 的自然数）注：P 的表示方法不是唯一的。2、符号和括号 在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简

3、单。例5、在数 1、2、3、1990 前添上“+”和“”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。3、算对与算巧 例6、计算 123200020012002 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)项数2。例7、计算 1+234+5+678+9+2000+2001+2002 提示：仿例 5，造零。结论：2003。2 例8、计算 9999991999999个个个nnn 提示 1：凑整法，并运用技巧：1999=10n+999，999=10n 1。例9、计算 提示：字母代数，整体化：令20

4、0113121,2001131211BA，则 例10、计算（1）100991321211；（2）100981421311 提示：裂项相消。常用裂项关系式：（1）nmmnnm11；（2）111)1(1nnnn；（3）)11(1)(1mnnmmnn；（4）)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnn。例 11 计算 n321132112111 （n 为自然数）例 12、计算 1+2+22+23+22000 提示：1、裂项相消：2n=2n+12n；2、错项相减：令 S=1+2+22+23+22000，则 S=2SS=220011。例 13、比较200022000164834221S 与 2

5、 的大小。提示：错项相减：计算S21。活动小结 通过夯实知识的内在联系，培养了学生思维的缜密性，初步发展了学生独立思考问题的能力 3 中学数学兴趣社团活动记录 活动名称 数学兴趣小组 活动日期 月 日 星期 负责人 参加学生 活动地点 教室 活动目的 1、理解绝对值的代数意义。2、理解绝对值的几何意义。3掌握绝对值的性质。活动过程（教案）第二讲 绝 对 值 一、知识要点 3、绝对值的代数意义；4、绝对值的几何意义：（1）|a|、（2）|a-b|；5、绝对值的性质：（1）|-a|=|a|,|a|0,|a|a；（2）|a|2=|a2|=a2；（3）|ab|=|a|b|；（4）|baba（b0）；4

6、、绝对值方程：（1）最简单的绝对值方程|x|=a 的解：（2）解题方法：换元法，分类讨论法。二、绝对值问题解题关键：（1）去掉绝对值符号；（2）运用性质；（3）分类讨论。三、例题示范 例 1 已知 a0，化简|2a-|a|。提示：多重绝对值符号的处理，从内向外逐步化简。例 2 已知|a|=5，|b|=3，且|a-b|=b-a，则 a+b=，满足条件的 a 有几个？例3 已 知a、b、c在 数 轴 上 表 示 的 数 如 图，化 简：|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|-2a|。例 4 已知 a、b、c 是有理数，且 a+b+c=0，abc0，求|cbabacacb的值。注

7、：对于轮换对称式，可通过假设使问题简化。例 5 已知：例 6 已知3x，化简：m=|x+1|-|x+2|+|x+3|-|x+4|。例 7 已知|x+5|+|x-2|=7，求 x 的取值范围。提示：1、根轴法；2、几何法。例 8 是否存在数 x,使|x+3|-|x-2|7。提示：1、根轴法；2、几何法。例 9 m 为有理数，求|m-2|+|m-4|+|m-6|+|m-8|的最小值。提示：结合几何图形，就 m 所处的四种位置讨论。结论：最小值为 8。4 例 10（北京市 1989 年高一数学竞赛题）设 x 是实数，且 f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则 f（x

8、）的最小值等于_6_.例 11（1986 年扬州初一竞赛题）设 T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中 0p15.对于满足 px15 的 x 的来说，T 的最小值是多少？解 由已知条件可得：T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x.当 px15 时，上式中在 x 取最大值时 T 最小；当 x=15 时，T=30-15=15，故 T 的最小值是 15.例 12 若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于 0.试证这两个数都不在-1 与-之间.证 设两数为 a、b，则|a|+|b|=|a|b|.|b|=|a|b|-|a|=|a|（|b|-1）.ab0，|a|0，

9、|b|0.|b|-1=|ab0，|b|1.同理可证|a|1.a、b 都不在-1 与 1 之间.活动小结 通过解答习题，培养了学生的探索精神与举一反三的能力。5 中学数学兴趣社团活动记录表 活动名称 数学兴趣小组 活动日期 月 日 星期 负责人 参加学生 活动地点 数学活动室 活动目的 理解掌握解方程（组）的基本思想：消元（加减消元法、代入消元法）。活动过程（教案）第三讲 一次方程（组）一、基础知识 1、方程的定义：含有未知数的等式。2、一元一次方程：含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的整式方程。3、方程的解（根）：使方程左右两边的值相等的未知数的值。4、字母系数的一元一次方程：ax=b。

10、其解的情况：。，ba；，baabx，a无解时当解这任意数时当有唯一解时当0,00;0 5、一次方程组：由两个或两个以上的一次方程联立在一起的联产方程。常见的是二元一次方程组，三元一次方程组。6、方程式组的解：适合方程组中每一个方程的未知数的值。7、解方程组的基本思想：消元（加减消元法、代入消元法）。二、例题示范 例1、解方程186)432(517191x 例2、关于 x 的方程6232bkxakx中，a,b 为定值，无论 k 为何值时，方程的解总是 1，求 a、b 的值。提示：用赋值法，对 k 赋以某一值后求之。例 3、（第 36 届美国中学数学竞赛题）设 a，ab，b是实数，且 a 和 a不

11、为零，如果方程 ax+b=0 的解小于 a/x+b=0 的解，求 a，ab，b应满足的条件。例 4 解关于 x 的方程1)1(2axxa.提示：整理成字母系数方程的一般形式，再就 a 进行讨论 例 5 k 为何值时，方程 9x-3=kx+14 有正整数解？并求出正整数解。提示：整理成字母系数方程的一般形式，再就 k 进行讨论。例 6（1982 年天津初中数学竞赛题）已知关于 x，y 的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+52a=0，当 a 每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解，并证明对任何 a 值它都能使方程成立吗？分析 依题意，即要证明存在一组与 a 无关

12、的 x，y 的值，使等式6(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0恒成立，令 a 取两个特殊值（如 a=1 或 a=-2），可得两个方程，解由这两个方程构成的方程组得到一组解，再代入原方程验证，如满足方程则命题获证，本例的另一典型解法 例 7（1989 年上海初一试题），方程 并且 abc0，那么 x_ 提示：1、去分母求解；2、将 3 改写为bbaacc。例 8（第 4 届美国数学邀请赛试题）若 x1,x2,x3,x4和 x5满足下列方程组：确定 3x4+2x5的值.说明：整体代换方法是一种重要的解题策略.例 9 解方程组)3(3)2(2)1(1mmzyxmzmyxmzymx 提示：仿例8，

13、注意就 m 讨论。提示：引进新未知数 活动小结 理解和掌握了解方程（组）的一般方法 7 中学数学兴趣社团活动记录表 活动名称 数学兴趣小组 活动日期 月 日 星期 负责人 参加学生 活动地点 数学活动室 活动目的 1.学会将生活语言代数化；2.掌握一定的设元技巧（直接设元，间接设元，辅助设元）；3.学会寻找数量间的等量关系。活动过程（教案）第四讲 列方程（组）解应用题 一、知识要点 1、列方程解应用题的一般步骤：审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等.2、列方程解应用题要领：4.善于将生活语言代数化；5.掌握一定的设元技巧（直接设元，间接设元，辅助设元）；6.善于寻找数量间的等量关系。二、例

14、题示范 1、合理设立未知元 例 1 一群男女学生若干人，如果女生走了 15 人，则余下的男女生比例为2:1，在此之后，男生又走了 45 人，于是男女生的比例为 1:5,求原来男生有多少人？提示：（1）直接设元 （2）列方程组：例 2 在三点和四点之间，时钟上的分针和时针在什么时候重合？例 3 甲、乙、丙、丁四个孩子共有 45 本书，如果甲减 2 本，乙加 2 本，丙增加一倍，丁减少一半，则四个孩子的书就一样多，问每个孩子原来各有多少本书？提示：（1）设四个孩子的书一样多时每人有x 本书，列方程；（2）设甲、乙、丙、丁四个孩子原来各有 x,y,z,t 本书，列方程组：例 4（1986 年扬州市初

15、一数学竞赛题）A、B、C 三人各有豆若干粒，要求互相赠送，先由 A 给 B、C，所给的豆数等于 B、C 原来各有的豆数，依同法再由 B 给 A、C 现有豆数，后由 C 给 A、B 现有豆数，互送后每人恰好各有 64 粒，问原来三人各有豆多少粒？提示：用列表法分析数量关系。例 5 如果某一年的 5 月份中，有五个星期五，它们的日期之和为 80，求这一年的 5 月 4 日是星期几？提示：间接设元.设第一个星期五的日期为 x，例 6 甲、乙两人分别从 A、B 两地相向匀速前进，第一次相遇在距 A点 700 米处，然后继续前进，甲到 B 地，乙到 A 地后都立即返回，第二次相遇在距 B 点 400 米

16、处，求 A、B 两地间的距离是多少米？提示：直接设元。例 7 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原来降低了 6.4%，使得利润率增加了 8 个百分点，求经销这种商品原来的利润率。提示：商品进价、商品售价、商品利润率之间的关系为：商品利润率=（商品售价商品进价）商品进价100%。8 例 8 （1983 年青岛市初中数学竞赛题）某人骑自行车从 A 地先以每小时 12 千米的速度下坡后，以每小时 9 千米的速度走平路到 B 地，共用 55分钟.回来时，他以每小时 8 千米的速度通过平路后，以每小时 4 千米的速度上坡，从 B 地到 A 地共用211小时，求 A、B 两地相距多少千米？提示：1 （选

17、间接元）设坡路长 x 千米 2 选直接元辅以间接元）设坡路长为 x 千米，A、B 两地相距 y千米 3 （选间接元）设下坡需 x 小时，上坡需 y 小时，2、设立辅助未知数 例 9（1972 年美国中学数学竞赛题）若一商人进货价便谊 8%，而售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的 x%增加到(x+10)%，x 等于多少？提示：引入辅助元进货价 M，则 0.92M 是打折扣的价格，x 是利润，以百分比表示，那么写出售货价（固定不变）的等式。例 10（1985 年江苏东台初中数学竞赛题）从两个重为 m 千克和 n 千克，且含铜百分数不同的合金上，切下重量相等的两块，把所切下的每一块和

18、另一种剩余的合金加在一起熔炼后，两者的含铜百分数相等，问切下的重量是多少千克？提示：采用直接元并辅以间接元，设切下的重量为 x 千克，并设 m 千克的铜合金中含铜百分数为 q1，n 千克的铜合金中含铜百分数为 q2。例 11 有一片牧场，草每天都在匀速生长(草每天增长量相等)如果放牧24 头牛，则 6 天吃完牧草；如果放牧 21 头牛，则 8 天吃完牧草，设每头牛吃草的量是相等的，问如果放牧 16 头牛，几天可以吃完牧草.提示 设每头牛每天吃草量是 x，草每天增长量是 y，16 头牛 z 天吃完牧草，再设牧场原有草量是 a.布列含参方程组。活动小结 初步掌握了运用方程（组）解决实际问题的方法

19、9 中学数学兴趣社团活动记录表 活动名称 数学兴趣小组 活动日期 月 日 星期 负责人 参加学生 活动地点 数学活动室 活动目的 1.理解乘方运算的意义。2.掌握乘方运算性质。活动过程（教案）第五讲 整数指数 一、知识要点 1、定义：annaaaa个（n2,n 为自然数）2、整数指数幂的运算法则：（1）nmnmaaa（2）0,10,10,anmaanmanmaaaamnnmnmnm（3）mnnmaa)(，nnnbaab)(，)0()(bbabannn 3、规定：a0=1(a0)ap=pa1(a0,p 是自然数)。4、当 a，m 为正整数时，am的末位数字的规律：记 m=4p+q，q=1,2,3

20、 之一，则qpa4的末位数字与qa的末位数字相同。二、例题示范 例 1、计算(1)5523 (2)(3a2b3c)(5a3bc2)(3)(3a2b3c)3 (4)(15a2b3c)(5a3bc2)例 2、求1003100210011373的末位数字。提示：先考虑各因子的末位数字，再考虑积的末位数字。例 3、123021377是目前世界上找到的最大的素数，试求其末位数字。提示：运用规律 2。例4、求证：)5432(|52000199919981997。提示：考虑能被 5 整除的数的特征，并结合规律 2。例 5、已知 n 是正整数，且 x2n=2，求(3x3n)24(x2)2n的值。提示：将所求表

21、达式用 x2n表示出来。例 6、求方程(y+x)1949+(z+x)1999+(x+y)2002=2 的整数解。10 提示：|y+z|,|z+x|,|x+y|都不超过 1，分情况讨论。例 7、若 n 为自然数，求证：10|(n1985n1949)。提示：n 的末位数字对乘方的次数呈现以 4 为周期的循环。例8、若yxyx9292，求 x 和 y。结论：x=5,y=2。例 9、对任意自然数 n 和 k，试证：n4+24k+2是合数。提示：n4+24k+2=(n2+22k+1)2(2n2k)2。例 10、对任意有理数 x，等式 ax4x+b+5=0 成立，求(a+b)2003.活动小结 初步掌握了

22、乘法运算的性质。梁村中学数学兴趣社团活动记录表 活动名称 数学兴趣小组 活动日期 月 日 星期 负责人 参加学生 活动地点 数学活动室 活动目的 理解掌握整式运算的性质 11 活动过程（教案）第六讲 整式的运算 一、知识要点 1、整式的概念：单项式，多项式，一元多项式；2、整式的加减：合并同类项；3、整式的乘除：（1）记号 f(x)，f(a)；（2）多项式长除法；（3）余数定理：多项式 f(x)除以(x-a)所得的余数 r 等于 f(a)；（4）因数定理：(x-a)|f(x)f(a)=0。二、例题示范 1、整式的加减 例1、已知单项式 0.25xbyc与单项式0.125xm-1y2n-1的和为

23、 0.625axnym，求abc 的值。提示：只有同类项才能合并为一个单项式。例2、已知 A=3x2n8xn+axn+1bxn-1，B=2xn+1axn3x2n+2bxn-1，AB 中 xn+1项的系数为 3，xn-1项的系数为12，求 3A2B。例3、已知 ab=5，ab=1，求(2a+3b2ab)(a+4b+ab)(3ab+2b2a)的值。提示：先化简，再求值。例4、化简：x2x+3x4x+5x+2001x2002x。例5、已知 x=2002，化简|4x25x+9|4|x2+2x+2|+3x+7。提示：先去掉绝对值，再化简求值。例 6、5 个数1,2,3,1,2 中，设其各个数之和为 n1

24、，任选两数之积的和为 n2，任选三个数之积的和为 n3，任选四个数之积的和为 n4，5 个数之积为 n5，求 n1+n2+n3+n4+n5的值。例 7、王老板承包了一个养鱼场，第一年产鱼 m 千克，预计第二年产鱼量增长率为 200%，以后每年的增长率都是前一年增长率的一半。（1）写出第五年的预计产鱼量；（2）由于环境污染，实际每年要损失产鱼量的 10%，第五年的实际产鱼量为多少？比预计产鱼量少多少？2、整式的乘除 例 1、已知 f(x)=2x+3，求 f(2),f(-1),f(a),f(x2),f(f(x)。例 2、计算：(2x+1)(3x2)(6x4)(4x+2)长除法与综合除法：一个一元多

25、项式 f(x)除以另一个多项式 g(x)，存在下列关系：f(x)=g(x)q(x)+r(x)其中余式 r(x)的次数小于除式 g(x)的次数。当 r(x)=0 时，称f(x)能被 g(x)整除。例 3、（1）用竖式计算(x33x+4x+5)(x2)。（2）用综合除法计算上例。（3）记 f(x)=x33x+4x+5,计算 f(2)，并考察 f(2)与上面所计算得出的余数之间的关系。例 4、证明余数定理和因数定理。证：设多项式 f(x)除以所得的商式为 q(x)，余数为 r，则有 f(x)=(xb)q(x)+r，将 x=b 代入等式的两边，得 f(b)=(bb)q(b)+r，故 r=f(b)。特别

26、地，当 r=0 时，f(x)=(xb)q(x)，即 f(x)有因式(xb)，或称 f(x)能被(xb)整除。例 5、证明多项式 f(x)=x45x37x2+15x4 能被 x1 整除。例 6、多项式 2x43x3+ax2+7x+b 能被 x2+x2 整除，求 a,b 的值。12 提示：（1）用长除法，（2）用综合除法，（3）用因数定理。例 7、若 3x3x=1，求 f(x)=9x4+12x33x27x+2001 的值。提示：用长除法，从 f(x)中化出3x3x1。例 8、多项式 f(x)除以(x1)和(x2)所得的余数分别为 3 和 5，求 f(x)除以(x1)(x2)所得的余式。提示：设 f

27、(x)=(x1)(x2)q(x)+(ax+b)，由 f(1)和 f(2)的值推出。例 9、试确定 a,b 的值，使 f(x)=2x43x3+ax2+5x+b 能被(x+1)(x2)整除。活动小结 初步掌握了整式运算的性质 13 中学学兴趣小组活动记录表 活动名称 数学兴趣小组 活动日期 月 日 星期 负责人 参加学生 活动地点 数学活动室 活动目的 1.理解乘法公式的几何意义和代数意义。2.掌握乘法公式的运用。活动过程（教案）第七讲 乘法公式 一、知识要点 1、乘法公式 平方差公式：(a+b)(ab)=a2b2 完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2 立方和公式：(a+b)(a2ab+b2

28、)=a3+b3 立方差公式：(ab)(a2+ab+b2)=a3b3 2、乘法公式的推广（1）(a+b)(ab)=a2b2的推广 由(a+b)(ab)=a2b2,(ab)(a2+ab+b2)=a3b3，猜想：(ab)()=a4b4 (ab)()=a5b5 (ab)()=anbn 特别地，当 a=1,b=q 时，(1q)()=1qn 从而导出等比数列的求和公式。（2）多项式的平方 由(ab)2=a22ab+b2，推出 (a+b+c)2=(),(a+b+c+d)2=()猜想：(a1+a2+an)=()。当其中出现负号时如何处理？（3）二项式(a+b)n的展开式 一个二项式的 n 次方展开有 n+1

29、项；字母 a 按降幂排列，字母 b 按升幂排列，每项的次数都是 n；各项系数的变化规律由杨辉三角形给出。二、乘法公式的应用 例 1、运用公式计算(1)(3a+4b)(3a4b)(2)(3a+4b)2 例 2、运用公式，将下列各式写成因式的积的形式。（1）(2xy)2(2x+y)2 (2)0.01a249b2 (3)25(a2b)64(b+2a)例 3、填空(1)x2+y22xy=()2 (2)x42x2y2+y4=()2(3)49m2+14m+1=()2 (4)64a216a(x+y)+(x+y)2(5)若 m2n2+A+4=(mn+2)2,则 A=;(6)已知 ax26x+1=(ax+b)2

30、，则 a=,b=;(7)已知 x2+2(m3)x+16 是完全平方式，则 m=.例 4、计算(1)2000021999920001 (2)372+2637+132 (3)14 31.52331.5+1.52100。提示：（1）19999=200001 例 5、计算（1）(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)(1+216)(1+232)+1。（2）(1+3)(1+32)(1+34)(1+38)(1+32n)。例 6、已知 x+y=10,x3+y3=100,求 x2+y2。提示：（1）由 x3+y3=(x+y)33xy(x+y)，x2+y2=(x+y)22xy 导出；（2）将 x+y=10

31、，平方，立方可解。例 7、已知31aa，求221aa，331aa，441aa的值。例 8、已知 a+b=1,a2+b2=2，求 a3+b3，a4+b4，a7+b7的值。提示：由(a3+b3)(a4+b4)=a7+b7+a3b4+a4b3=a7+b7+a3b3(a+b)导出 a7+b7的值。例 9、已知 a+b+c=0,a2+b2+c2=1 求下列各式的值：（1）bc+ca+ab （2）a4+b4+c4 例 10、已知 a,b,c,d 为正有理数，且满足 a4+b4+c4+d4=4abcd，求证 a=b=c=d。提示：用配方法。例 11、已知 x,y,z 是有理数，且满足 x=63y,x+3y2

32、z2=0,求 x2y+z的值。例 12、计算 1949219502+1951219522+2001220022。活动小结 初步掌握了乘法公式的运用。15 中学数学兴趣社团活动记录表 活动名称 数学兴趣小组 活动日期 月 日 星期 负责人 参加学生 活动地点 数学活动室 活动目的 1.理解不等式运算的性质。2.掌握不等式运算的性质。活动过程（教案）第八讲 不等式 一、知识要点 1、不等式的主要性质：（1）不等式的两边加上（或减去）同一个数或整式，所得不等式与原不等式同向；（2）不等式两边乘以（或除以）同一个正数，所得不等式与原不等式同向；（3）不等式两边乘以（或除以）同一个负数，所得不等式与原不

33、等式反向.（4）若 AB，BC，则 AC；（5）若 AB，CD，则 A+BC+D；（6）若 AB，CD，则 ACBD。2、比较两个数的大小的常用方法：（1）比差法：若 AB0，则 AB；（2）比商法：若BA1，当 A、B 同正时，AB；A、B 同负时，AB；（3）倒数法：若 A、B 同号，且A1B1，则AB。3、一元一次不等式：（1）基本形式：axb(a0);（2）一元一次不等式的解：当 a0 时，xab,当 a0 时，xab.二、例题示范 例 1、已知 a0,1b0,则 a,ab,ab2之间的大小关系如何？例 2、满足31222xx的 x 中，绝对值不超过 11 的那些整数之和为多少？例 3

34、、一个一元一次不等式组的解是 2x3，试写出两个这样的不等式组。例 4、若 x+y+z=30,3+yz=50,x,y,z 均为非负数，求 M=5x+4y+2z 的最大值和最小值。提示：将 y,z 用 x 表示，利用 x,y,z 非负，转化为解关于 x 的不等式组。例 5、设 a,b,c 是不全相等的实数，那么 a2+b2+c2与 ab+bc+ca 的大小关系如何？例 6、已知 a,b 为常数，若 ax+b0 的解集是 x31，求 bxa0 的解集。提示：如何确定 a,b 的正负性？16 例 7、解关于 x 的不等式 ax2x3a (a1)。例 8、解不等式|x2|+|x+1|3 提示：去掉绝对

35、值，讨论。例 9、（1）比较两个分数与nn1999(n 为正整数)的大小；（2）从上面两个数的大小关系，你发现了什么规律？（3）根据你自己确定的nn1999与1999之间正整数的个数来确定相应的正整数 n 的个数。例 10（上海 1989 年初二竞赛题）如果关于x 的不等式(2a-b)x+a-5b0的解为 x710，那么关于x 的不等式axb 的解是多少？例 11、已知不等式125x22ax的角是 x21的一部分，试求 a 的取值范围。例 12、设整数 a,b 满足 a2+b2+2ab+3b,求 a,b 的值。提示：将原不等式两边同乘以 4 并整理得(2a-b)2+3(b-2)24 (1)，又

36、因为 a,b 都是整数。故(2a-b)2+3(b-2)23。若(b-2)21，则 3(b-2)23，这不可能。故 0(b-2)21，从而 b=2.将 b=2 代入（1）得(a-1)21,故(a-1)2=0，a=1.所以 a=1,b=2.活动小结 初步掌握了不等式运算的性质。梁村中学学兴趣小组活动记录表 活动名称 数学兴趣小组 活动日期 月 日 星期 负责人 参加学生 活动地点 数学活动室 活动目的 掌握恒等变形的运用 17 活动过程（教案）第九讲 恒等变形 一、知识要点 1、代数式的恒等：两个代数式，如果对于字母的一切允许值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等。2、恒等变形：通过变换，将一个

37、代数式化为另一个与它恒等的代数式，称为恒等变形。二、例题示范 例 1、已知 a+b+c=2,a2+b2+c2=8,求 ab+bc+ca 的值。例 2、已知 y=ax5+bx3+cx+d，当 x=0 时，y=3；当 x=5 时,y=9。当 x=5时，求 y 的值。提示：整体求值法，利用一个数的奇、偶次方幂的性质。例 3、若 14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2，求 a:b:c。提示：用配方法。注：配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用有关性质来解题.例4、求证(a2+b2+c2)(m2+n2+k2)(am+bn+ck)2=(anbm)2+(bkcn)2+cmak)2 提示：配方

38、。例 5、求证：2(ab)(ac)+2(bc)(ba)+2(ca)(cb)=(bc)2+(ca)2+(ab)2。提示：1、两边化简。2、左边配方。例6、设 x+2z=3y,试判断 x29y2+4z2+4xz 的值是不是定值，如果是定值，求出它的值；否则，请说明理由。例 7、已知 a+b+c=3,a2+b2+c2=3，求 a2002+b2002+c2002的值。例 8、证明：对于任何四个连续自然数的积与 1 的和一定是某个整数的平方。提示：配方。例 9、已知 a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0,求 ab+cd 的值。提示：根据条件，利用 1 乘任何数不变进行恒等变形。例 10、（19

39、84 年重庆初中竞赛题）设 x、y、z 为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求的值.例 11、设 a+b+c=3m,求证:(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.活动小结 能运用恒等思想，解决一些简单的实际问题，提高运用知识的能力。18 中学数学兴趣社团活动记录表 活动名称 数学兴趣小组 活动日期 月 日 星期 负责人 参加学生 活动地点 数学活动室 活动目的 3、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等）活动过程（教案）第一讲 有 理 数

40、一、有理数的概念及分类。二、有理数的计算：三、例题示范 1、数轴与大小 例11、已知数轴上有A、B 两点，A、B 之间的距离为 1，点 A 与原点 O的距离为 3，那么满足条件的点 B与原点O的距离之和等于多少？满足条件的点 B 有多少个？例12、将9998,19991998,9897,19981997这四个数按由小到大的顺序，用“”连结起来。提示 1：四个数都加上 1 不改变大小顺序；提示 2：先考虑其相反数的大小顺序；提示 3：考虑其倒数的大小顺序。例13、观察图中的数轴，用字母 a、b、c 依次表示点 A、B、C 对应的数。试确定三个数cabab1,1,1的大小关系。分析：由点 B 在

41、A 右边，知 b-a0，而 A、B 都在原点左边，故 ab0,又c10,故要比较cabab1,1,1的大小关系，只要比较分母的大小关系。例14、在有理数 a 与 b(ba)之间找出无数个有理数。提示：P=naba（n 为大于是 的自然数）注：P 的表示方法不是唯一的。4、符号和括号 在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。例15、在数 1、2、3、1990 前添上“+”和“”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。3、算对与算巧 例16、计算 1232000

42、20012002 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)项数2。例17、计算 1+234+5+678+9+2000+2001+2002 提示：仿例 5，造零。结论：2003。例18、计算 9999991999999个个个nnn 19 提示 1：凑整法，并运用技巧：1999=10n+999，999=10n 1。例19、计算 提示：字母代数，整体化：令200113121,2001131211BA，则 例20、计算（1）100991321211；（2）100981421311 提示：裂项相消。常用裂项关系式：（1）nmmnnm11；（2）111)1(1nnnn；（3）)11(1)(1mnnmmnn；（4）)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnn。例 11 计算 n321132112111 （n 为自然数）例 12、计算 1+2+22+23+22000 提示：1、裂项相消：2n=2n+12n；2、错项相减：令 S=1+2+22+23+22000，则 S=2SS=220011。例 13、比较200022000164834221S 与 2 的大小。提示：错项相减：计算S21。活动效果 20