【数学】高考复习点拨二项分布与超几何分布辨析3100.pdf

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1、实用标准文档 文案大全 二项分布与超几何分布辨析 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的下面举例进行对比辨析 例 袋中有 8 个白球、2 个黑球，从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数的分布列 解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数可能的取值为，1，2，3又由于每次取到黑球的概率均为，3 次取球可以看成 3 次独立重复试验，则135XB，03031464(0)55125P XC；12131448(

2、1)55125P XC；21231412(2)55125P XC；3033141(3)55125P XC 因此，X的分布列为 2不放回抽样时，取到的黑球数可能的取值为，1，2，且有：03283107(0)15C CP YC；12283107(1)15C CP YC；21283101(2)15C CP YC 因此，Y的分布列为 辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型 而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型 因此，二项分布模型和超几何

3、分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样 超几何分布和二项分布都是离散型分布，超几何分布和二项分布的区别：超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.X 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 Y 0 1 2 P 715 715 115 实用标准文档 文案大全 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决。在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的。下面举例进行对比辨析。1.有放回抽样:

4、每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型。2.不放回抽样:取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型。因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样。所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的(特别注意：二项分布是在n次独立重复试验的 3 个条件成立时应用的)。超几何分布和二项分布的区别：（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2）超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取（独立重复）。练习题：1.

5、袋中有 8 个白球、2 个黑球，从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球。求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数的分布列。2.(2008 年四川延考)一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A类、B类、C类检验员定时从该生产线上任取 2 件产品进行一次抽检，若发现其中含有C类产品或 2 件都是B类产品，就需要调整设备，否则不需要调整已知该生产线上生产的每件产品为A类品，B类品和C类品的概率分别为 0.9,0.05 和 0.05，且各件产品的质量情况互不影响(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；(2)若检验员一天抽检 3 次，以表示一天中需

6、要调整设备的次数，求的分布列 实用标准文档 文案大全 3.今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以扰此计算出自己每天的碳排放量。例如：家居用电的碳排放量（千克）=耗电度数.785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数0.785 等。某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯进否符合低碳观念的调查。若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”。这二族人数占各自小区总人数的比例 P 数据如下：（I）如果甲、乙来自 A 小区，丙、丁来自 B 小区，求这 4 人中恰有 2 人是低碳族的概率；（II）A 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有 20%的人

7、加入到低碳族的行列。如果 2 周后随机地从 A 小区中任选 25 个人，记表示 25 个人中低碳族人数，求.E 4.在“自选模块”考试中，某试场的每位同学都选了一道数学题，第一小组选数学史与不等式选讲的有 1 人，选矩阵变换和坐标系与参数方程的有 5 人，第二小组选数学史与不等式选讲的有 2 人，选矩阵变换和坐标系与参数方程的有 4 人，现从第一、第二两小组各任选 2 人分析得分情况.（）求选出的 4 人均为选矩阵变换和坐标系与参数方程的概率；（）设为选出的 4 个人中选 数学史与不等式选讲 的人数，求的分布列和数学期望 A 小区 低碳族 非低碳族 比例 P 21 21 B 小区 低碳族 非低

8、碳族 比例 P 54 51 实用标准文档 文案大全 5.甲、乙两人参加 2010 年广州亚运会青年志愿者的选拔 打算采用现场答题的方式来进行，已知在备选的 10 道试题中，甲能答对其中的 6 题，乙能答对其中的 8 题规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题才能入选(1)求甲答对试题数的概率分布；(2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率 实用标准文档 文案大全 实用标准文档 文案大全 正态分布和线性回归 高考要求 1.了解正态分布的意义及主要性质 2.了解线性回归的方法和简单应用 知识点归纳 1正态分布密度函数：22()21()2xf xe，（0，-x）其中是圆周率；e

9、 是自然对数的底；x 是随机变量的取值；为正态分布的均值；是正态分布的标准差.正态分布一般记为),(2N 2正态分布),(2N）是由均值和标准差唯一决定的分布 例 1、下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值和标准差（1）2221)(xexf，（-x+（2）2(1)81()2 2xf xe，（-x+解：(1)0,1 (2)1,2 3正态曲线的性质：正态分布由参数、唯一确定，如果随机变量N(，2)，根据定义有：=E，=D。正态曲线具有以下性质：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交。（2）曲线关于直线x=对称。（3）曲线在x=时位于最高点。（4）当x 时，曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限

10、延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。（5）当一定时，曲线的形状由确定。越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越实用标准文档 文案大全 小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。五条性质中前三条较易掌握，后两条较难理解，因此应运用数形结合的原则，采用对比教学 4标准正态曲线:当=0、=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(xexf，（-x+）其相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态总体 N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题 5.标准正态总体的概率问题:x标准正态分布曲线f x =12e-x22 xy 对于

11、标准正态总体 N（0，1），)(0 x是总体取值小于0 x的概率，即 )()(00 xxPx，其中00 x，图中阴影部分的面积表示为概率0()P xx 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00 x时，)(1)(00 xx；而当00 x时，（0）=0.5 例 2 设),(2NX，且总体密度曲线的函数表达式为：412221)(xxexf，xR。（1）求，；（2）求)2|1(|xP的值。分析：根据表示正态曲线函数的结构特征，对照已知函数求出和。利用一般正态总体),(2N与标准正态总体 N（0，1）概率间的关系，将一般正态总体划归为标准正态总体来解决。实用标准文档 文案大全 解：（1）

12、由于222)2(2)1(41222121)(xxxeexf，根据一般正态分布的函数表达形式，可知=1，2，故 XN（1，2）。（2）)2121()2|1(|xPxP 2121(12)(12)()()22(1)(1)2(1)12 0.8413 1FF 6826.0。点评：在解决数学问题的过程中，将未知的，不熟悉的问题转化为已知的、熟悉的、已解决了的问题，是我们常用的手段与思考问题的出发点。通过本例我们还可以看出一般正态分布与标准正态分布间的内在关联。9 相关关系:当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系 相关关系与函数关系的异同点如下：相同点：均是指两个变量的

13、关系 不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系 10回归分析一元线性回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析 通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性 对于线性回归分析，我们要注意以下几个方面：（1）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法。两个变量具有相关关系是回归分析的前提。（2）散点图是定义在具有相关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行

14、相关回归分析。（3）求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大至呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义。11散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.散点图形象地反映了各对数据的密切程度 粗略地看，散点分布具有一定的规律 12.回归直线 设所求的直线方程为,abxy，其中 a、b 是待定系数 1122211()()()nniiiiiinniiiixxyyx ynxybxxxnxaybx，niixnx11,niiyny11 相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析 13.相关系数：相关系数是因果统计学家皮尔逊提出

15、的，对于变量 y 与 x 的一组观测值，把 实用标准文档 文案大全 niniiiniiiyyxxyyxxr11221)()()(=niniiiniiiynyxnxyxnyx1122221)(叫做变量 y 与 x 之间的样本相关系数，简称相关系数，用它来衡量两个变量之间的线性相关程度.14.相关系数的性质：r1，且r越接近 1，相关程度越大；且r越接近 0，相关程度越小.一般的，当r 0.75 时，就可以判断其具有很强的相关性，这时求线性回归方程才有意义。例 3 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y（万元），有如下的统计资料：x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6

16、.5 7.0 若由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系。试求：（1）线性回归方程；（2）估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？分析：本题为了降低难度，告诉了 y 与 x 间呈线性相关关系，目的是训练公式的使用。解：（1）列表如下：i 1 2 3 4 5 ix 2 3 4 5 6 iy 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 iiyx 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 2ix 4 9 16 25 36 4x，5y，90512iix，3.11251iiiyx 实用标准文档 文案大全 于是23.145905453.112552251251xxyxyxbiiiii，08.0423.

17、15bxya。线性回归方程为：08.023.1xabxy。（2）当 x=10 时，38.1208.01023.1y（万元）即估计使用 10 年时维修费用是 12.38 万元。点评：本题若没有告诉我们 y 与 x 间是呈线性相关的，应首先进行相关性检验。如果本身两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的。二项分布与正态分布 最新考纲 1了解条件概率和两个事件相互独立的概念 2理解n次独立重复试验的模型及二项分布 3能解决一些简单的实际问题.知 识 梳 理 1条件概率及其性质 条件概率的定义 条件概率的性质 设A，B为两

18、个事件，且P(A)0，称P(B|A)PABPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(1)0P(B|A)1(2)若B，C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2.事件的相互独立性 设A，B为两个事件，如果P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立 若事件A，B相互独立，则P(B|A)P(B)；事件A与B，A与B，A与B都相互独立 3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验 实用标准文档 文案大全 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i1,2，n)表示第i次试验结果，则 P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An)(2

19、)二项分布 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cknpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为XB(n，p)，并称p为成功概率 4正态分布(1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)ab，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(，2)函数，(x)，xR 的图象(正态曲线)关于直线x对称，在x处达到峰值12.(2)正态总体三个基本概率值 P(X)0.682_6.P(2X2)0.954_4.P(3X3)0.997_4.【例 1】(1)从 1,2,3,4,5

20、中任取 2 个不同的数，事件A“取到的 2 个数之和为偶数”，事件B“取到的 2 个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A.18 B.14 C.25 D.12(2)如图，EFGH是以O为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)_.实用标准文档 文案大全 规律方法(1)利用定义，求P(A)和P(AB)，则P(B|A)PABPA.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)nABnA.

21、【训练 1】已知 1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球，2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球，现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱，然后从 2 号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是()A.1127 B.1124 C.827 D.924 考点二 相互独立事件同时发生的概率 【例 2】(2013陕西卷改编)在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选 2 名观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏

22、爱，因此在1至 5 号中选 3 名歌手(1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；(2)X表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X2”的事件概率 实用标准文档 文案大全 规律方法(1)解答本题关键是把所求事件包含的各种情况找出来，从而把所求事件表示为几个事件的和事件(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解 正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算【训练 2】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球 2 次均未命中的概率为116.(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球 2

23、次，至少命中 1 次的概率 规律方法(1)求解本题关键是明确正态曲线关于x2 对称，且区间0,4也关于x2 对称(2)关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法 熟记P(X)，P(2X2)，P(34)的值 实用标准文档 文案大全 考点四 独立重复试验与二项分布【例 4】某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料 (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(2)求中奖人数X的分布列 规律方法(1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每

24、一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的 (2)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后求概率【训练 4】某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；(2)设系统A在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X，求X的实用标准文档 文案大全 概率分布列及数学期望E(X)小结 1相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)P(A)P(B)互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(AB)P(A)P(B)2在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看做是 Ckn个互斥事件的和，其中每一个事件都可看做是k个A事件与(nk)个A事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是pk(1p)nk.因此n次独立重复试验中事件A恰实用标准文档 文案大全 好发生k次的概率为 Cknpk(1p)nk.3若X服从正态分布，即XN(，2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为 1.