三点共线向量表示及其性质应用29412.pdf

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1、平面内三点共线的向量表示及其性质应用 本文给出了三点共线向量表示的证法探究，以启迪思维和拓展思路之目的，另外又给出了三点共线向量表示在解题中的应用。例题：如图，A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数，使得PC=PA+（1-）PB 证法探究：分析：初看欲证目标，始感实难下手。我们不妨从结论出发探寻线路，欲证PC=PA+（1-）PB，只需证 PC=PA+PB-PBPC-PB=（PA-PB）BC=BABCBA这样证明思路有了。证 法：向 量BC与 向 量BA共 线，BC=BA，即PC-PB=（PA-PB），PC=PA+PB-PB，PC=PA+（1-）PB 证毕，

2、再思考一下实数的几何意义究竟如何。考察向量等式BC=BA，结合图形，易知，当点C在线段AB上时，则BC与BA同向，有 01；当点C在线段AB延长线上时，则BC与BA反向，有0；当点C在线段BA延长线上时，则BC与BA同向，有1 此例题逆命题亦成立，即 已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若存在实数，有PC=PA+PB，且+=1，则A，B，C三点共线 故此逆命题可作三点共线判定方法。为方便起见，我们将两命题作为性质叙述如下：性质 1：已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若A，B，C三点共线，则存在实数，使得PC=PA+（1-）PB 或叙述为：已知A，B，C是平面内三个

3、点，P是平面内任意一点，若A，B，C三点共线，则存在实数，使得PC=PA+PB，则有+=1 性质 2：已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若存在实数，有PC=PA+PB，且+=1，则A，B，C三点共线 三点共线性质在解题中的应用：例 1如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB=AMm，AC=ANn，则nm的值为 解析：连结AO，因为点O是BC的中点，所以有AO=ACAB2121=ANnAMm2121，又因为M、O、N三点共线，所以12121nm，故2 nm 点评：因为点O是BC的中点，所以=21|CBCO，由性质 1，=1-=

4、21，简便求出nm的值 例 2（湖北省 2011 届高三八校第一次联考）如图 2，在ABC 中，13ANNC，点 P 是 BC 上的一点，若211APmABAC，则实数 m 的值为（）A911 B.511 C.311 D.211 解：,B P N三点共线，又2284111111APmABACmABANmABAN 8111m 311m，故选 C 例 3（广东省 2015 届高三六校联考）所示：点G是OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线设OAxOP，OByOQ，证明：yx11是定值；证明：因为 G 是OAB的重心，211()()323OGOAOBOAOB 1OPxO

5、AOAOPx 1OQyOBOBOQy 11 1111()()3333OGOAOBOPOQOGOPOQxyxy 又,P G Q三点共线，11133xy 113xy 11xy为定值 3 例 4如图，在ABC中，OAOC41，OBOD21，AD与BC交于M点，设bOBaOA,（）用a，b表示OM；（）在已知线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M设OApOE，OBqOF 求证：17371qp 解析：()因为B、M、C三点共线，所以存在实数m使得OM=OBmOCm)1(=OBmOAm)1(41=bmam)1(41；又因为A、M、D三点共线，所以存在实数n使得OM=ODnOAn)1(=bn

6、an)1(21由于a，b不共线，所以有),1(211,41nmnm解得，nm71,74 故OM=ba7371（）因为E、M、F三点共线，所以存在实数使得OM=OFOE)1(=bqap)1(结合（），易得出,73)1(,71qp消去得，17371qp 点评：本题是以a，b作为一组基底，其他向量都由它们线性表示解（）中的实数m，n的几何意义为：m=|BCBM=74，n=|DADM=71，m，n（0，1）；解（）中的实数=|FEFM=p71 例 5如图，平行四边形ABCD中，点P在线段AB上，且mPBAP，Q在线段AD上，且nQDAQ，BQ与CP相交于点R，求RCPR的值 解析：设RCPR=，则PC

7、PR=1，BR=1BC+（1-1）BP 因为mPBAP，所以BAmBP11，且BR=1BC+11BAm11 又nQDAQ，ADnnAQ1=BCnn1，AQBABQ，即BABCnnBQ1 又BR与BQ共线，1-)1)(1(11mnn=0，解得=)1)(1(nmn 点评：我们先要确定好一组基底BCBA,，看准BR,BQ如何由它们线性表示；而欲求目标数值，因CRP,三点共线，中途要以BCBP,作基底，BR由它们线性表出时，分析清楚该两基底系数所表示的几何意义，由性质 1，得BR=1BC+（1-1）BP；最终BR与BQ都得转化到由BCBA,两基底线性表示，此时容易由共线向量性质列出等式，从而求出结果

8、例 6（汕头市东山中学 2014 届高三第二次模拟考试）所示,在平行四边形 ABCD 中，13AEAB,14AFAD,CE与 BF相交于G 点，记ABa，ADb，则AG _ A2177ab B.2377ab C.3177ab D.4277ab 分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点 F、G、B 以及 E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。解：,E G C三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数 x 使得(1)AGxAEx AC ,1133AEABa,ACab 12(1)()(1)(1)33xAGxax abax b 又,F

9、G B三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数使得(1)AGABAF1144AFADb，1(1)4AGab 由两式可得：213114xx 6737x 3177AGab 点评：本题的解法中由两组三点共线（F、G、B 以及 E,G,C 三点在一条直线上），利用平面内三点共线定理构造方程组求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本题的运算复杂，达到了简化解题过程的效果。例 6 的变式一：在三角形 ABC 中,AMAB=13,ANAC=14,BN 与 CM相交于点 P，且aAB，bAC，试用a、b表示AP 解：,N P B三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数 x

10、,y 使得,1APxAByAN xy ,ANAC=14,bACAN41411444yyxAPxABACxabxab 又,C P M三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数,使得,1APAMAC AMAB=13 aABAM3131，P A B C M N 133APabab 由两式可得：1314xx311211x 81,11xyy 321111APab 例 6 的变式二：直线 l 过ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 的交点 O，与 AD 边交于点 N,与 AB 的延长线交于点M。又知AB mAM，ADnAN，则 mn=解：因为点 O 两条对角线 AC 与 BD 的交点，所以点 O 为 AC 的中点 1()2AOABAD AB mAM，ADnAN 1()222mnAOmAMnANAMAN 又,M O N三点共线，由平面内三点共线的向量式定理可得：122mn 2mn 解题后反思：要想达到正确运用三点共线性质解题之目的，首先做到，审视题意，考察图形，确定一组基底，根据PC=PA+（1-）PB中表示的几何意义确定的具体数值。