三角函数与复数专题训练1521.pdf

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1、专题四 三角函数与复数【考点聚焦】考点 1：函数 y=Asin()0,0)(Ax的图象与函数 y=sinx 图象的关系以及根据图象写出函数的解析式 考点 2：三角函数的定义域和值域、最大值和最小值；考点 3：三角函数的单调区间、最小正周期和三角函数图象的对称轴问题；考点 4：和、差、倍、半、诱导公式、和差化积和积化和差公式、万能公式、同角的三角函数关系式；考点 5：三角形中的内角和定理、正弦定理、余弦定理；【自我检测】1 同角三角函数基本关系式：，.2 诱导公式是指 的三角函数与，180,90,270,360，k360+(kZ)三角函数之间关系：奇变偶不变，符号看象限.3 两角和与差的三角函数

2、：sin()=_;cos()=_;tan()=_.4 二倍角公式：sin2=_;cos2=_=_=_ tan2=_.5 半角公式：sin2=_，cos2=_,tan2=_=_=_.6 万能公式 sin=_,cos=_,tan=_.7 三角函数的图象与性质：y=sinx y=cosx y=tanx 定义域 值 域 图 象 单调性 奇偶性 周期性 【重点难点热点】问题 1：三角函数的图象问题 关于三角函数的图象问题，要掌握函数图象的平移变化、压缩变化，重点要掌握函数y=Asin()0,0)(Ax的图象与函数 y=sinx 图象的关系，注意先平移后伸缩与先伸缩后平移是不同的，要会根据三角函数的图象写

3、出三角函数的解析式.例 1（05 天津理）要得到2 cosyx的图象，只需将函数)42sin(2xy的图象上所有的点的 A、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8个单位长度 B、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4个单位长度 C、横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平行移动8个单位长度 D、横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平行移动4个单位长度 思路点拨：将)42sin(2xy化为)42cos(2xy，再进行变换.解 答：变 换 1：先 将)42c o s(2xy的 图 象 向 左 平 移8个 单 位，得 到xxy2c o s24

4、)8(2c o s 2的图象，再将xy2cos2的图象的横坐标缩短到原来的 2 倍得到xycos2.变 换 2：先 将)42c o s(2xy的 图 象 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 2 倍，得 到)4c o s(2xy的图象，再将)4cos(2xy的图象向左平移4个单位，得到xycos2.由上可得，应选 C.演变 1：函数)20,0,)(sin(Rxxy的部分图象如图，则（）A4,2 B6,3 C4,4 D45,4 点拨与提示：根据图象得出函数的周期与振幅，再将（1,10 坐标代入即可.问题 2：三角函数的求值问题 关干三角函数的求值问题,要注意根据已知条件,准确判断角所在的范围,

5、合理选择公式,正确选择所求三角函数值的符号 例 2：已知51cossin,02xxx.（I）求 sinxcosx 的值；（）求xxxxxxcottan2cos2cos2sin22sin322的值.思路分析：将 sinx-cosx=51平方，求出 sinxcosx 的值，进而求出（sinx-cosx）2，然后由角的范围确定 sinx-cosx 的符号.解法一：（）由,251coscossin2sin,51cossin22xxxxxx平方得 即 .2549cossin21)cos(sin.2524cossin22xxxxxx 又,0cossin,0cos,0sin,02xxxxx 故.57coss

6、inxx （）xxxxxxxxxxxxsincoscossin1sin2sin2cottan2cos2cos2sin2sin3222 1 2 51 0 8)512()2512()sincos2(cossinxxxx 解法二：（）联立方程.1cossin,51cossin22xxx 由得,cos51sinxx将其代入，整理得,012cos5cos252xx .54c o s,53s in,02.54c o s53c o sxxxxx或 故.57cossinxx （）xxxxxxcottan2cos2cos2sin2sin322xxxxxxsincoscossin1sin2sin22 125108

7、)53542(54)53()sincos2(cossinxxxx 点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等 基本知识，以及推理和运算能力.演变 1：已知)3tan(sin,2572cos,1027)4sin(及求.点拨与提示：用已知中的角表示所求的角.问题 3：三角函数的单调性、周期性、奇偶性等问题 有关三角函数的单调性、周期性等问题，通常需要先变形化简，然后求解.例3：设函数)(),0()2sin()(xfyxxf图像的一条对称轴是直线8x.（）求；（）求函数)(xfy 的单调增区间；（）画出函数)(xfy 在区间,0上的图像.思路点拨：正弦 y=sinx

8、 的图象的对称轴为直线)(2Zkkx，其对称轴与 x 轴交点的横坐标即是使函数取得最值的 x 值.解：（）)(8xfyx是函数的图像的对称轴，,1)82sin(.,24Zkk .43,0（）由（）知).432sin(,43xy因此 由题意得 .,2243222Zkkxk 所以函数.,85,8)432sin(Zkkkxy的单调增区间为（）由知)432sin(xy x 0 8 83 85 87 y 22 1 0 1 0 22 故函数上图像是在区间,0)(xfy 点评：本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.演变 3：已知向量 baxfxxbxxa)(),42tan(),42

9、sin(2(),42tan(,2cos2(令.求函数 f(x)的最大值，最小正周期，并写出 f(x)在0，上的单调区间.问题 4：“拆项”与“添项”的问题 “拆项”与“添项”是指在作三角变换时，对角或三角函数可以分别进行面或添项处理.例 4：（1）求8sin15sin7cos8sin15cos7sin的值；（2）已知：41)2tan(,52)tan(，求：)4tan(的值.思路分析：解此题的关健是能否抓住题中各角之间的内在联系.如（1）中的含有角 7、15、8，发现它们之间的关系是 157 8，故可将 7 拆成 158；同理在第（2）题中4可以拆成两角差，即)4()(.解：（1）8sin15s

10、in7cos8sin15cos7sin8sin15sin)815cos(8sin15cos)815sin(15cos8cos15sin8cos tan15=30sin30cos1=32 (2)4=)4()(tan(4)=tan)4()()4tan()tan(1)4tan()tan(415214152223 点评：进行三角变换的技巧常常是变角注意角的和、差、倍、半、互余、互补关系，根据实际情况，对角进行“拆”或“添”变形，这样可以大大减少运算量.演变 4：求20cos20sin10cos2的值.点拨与提示：103020.点拨与提示：利用复数加、减法的几何意义求解.专题小结 1三角变换常用的方法技

11、巧有切割化弦法，升幂降幂法、辅助元素法，“1”的代换法等对于三角公式要记忆准确（在理解基础上），并要注意公式成立的条件，在应用时，要认真分析，合理转化，避免盲目性 2三角函数图象的对称性和有界性是高考命题的一个热点最基本的三角函数图象的形状和位置特征，要准确掌握，它是利用数形结合思想解决三角函数问题的关键三角函数图象各种变换的实质要熟练掌握，不能从形式上简单判断 3解三角形时，要根据条件正确选择正、余弦定理以及三角变换式要充分发挥图形的作用，注意三角形外接圆半径在正弦定理中的转化功能【临阵磨枪】一、选择题 1已知 f(cosx)=cos3x，则 f(sin30)的值为（）A 0 B 1 C 1

12、 D 23 2 （2006 年辽 宁 卷）ABC的 三 内角,A B C所 对 边 的长 分别 为,a b c设 向 量(,)pac b,(,)qba ca,若/pq,则角C的大小为(A)6 (B)3 (C)2 (D)23 3（2006 年安徽卷）将函数sin(0)yx的图象按向量,06a平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）Asin()6yx Bsin()6yx C sin(2)3yx Dsin(2)3yx 4把函数)3sin3(cos22xxy的图象适当变动，就可得到 y=sin3x 的图象，这种变动可以是（）A 沿 x 轴向右平移4 B 沿 x 轴向左平移4

13、C 沿 x 轴向右平移12 D 沿 x 轴向左平移12 5已知复数 z1，z2在复平面上对应的点分别是 A，B，O 为坐标原点，当 7函数 y=3sin(x+20)+5sin(x+80)的最大值为（）A 211 B 213 C 7 D 8 8在OAB 中，O 为坐标原点，2,0(),1,(sin),cos,1(BA，则当OAB的面积达最大值时，（）A6 B4 C3 D2 9在ABC 中，若babaBA2tan，其中 a,b 分别是A，B的对边，则ABC是（）A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰或直角三角形 10函数 y=23cos32sin212xxy的最小正周期为（）

14、A 2 B C 2 D 4 二、填空题 11 已知 sin=53，(2，)，tan()=21，则 tan(2)=_ 12 设(43,4)，(0，4)，cos(4)=53，sin(43+)=135，则sin(+)=_ 14设函数 f(x)的图象与直线 x=a，x=b 及 x 轴所围成图形的面积称为 f(x)在a，b上的面积，已知函数 ysin（nx）在0，n上的面积为n2（nN*），（i）ysin3x在0,32上的面积为 ；（ii）ysin（3x）1 在3，34上的面积为 .三、解答题 15 不查表求值：.10cos1)370tan31(100sin130sin2 16 （2006 年安徽卷）已

15、知310,tancot43 （）求tan的值；（）求225sin8sincos11cos822222 sin2的值.18（2006年 四 川 卷）已 知,A B C是 三 角 形ABC三 内 角，向 量1,3,cos,sinmnAA，且1m n.（）求角A；（）若221sin 23cossinBBB，求tan B.19 已知 cos+sin=3，sin+cos 的取值范围是 D，xD，求 函数y=10432log21xx的最小值，并求取得最小值时 x 的值 参考答案 1C 提示：1180cos)60(cos)30(sinff 2 B 提示：222/()()()pqaccab babacab，利

16、用余弦定理可得2 cos1C，即1cos23CC，故选择答案 B.3C 提示：将函数sin(0)yx的图象按向量,06a平移，平移后的图象所对应的解析式为sin()6yx，由图象知，73()1262，所以2.4D 提示：)12(3sin)43sin(xxy 5B 提示AOB60，z2|=2|z1|=4，3260sin|2121zzSAOB 6B 提示：)23sin()23cos(2sin2iz，02sin,2223，).3(21arg,2230Z 7C 提示：y=3sin(x+20)+5sin(x+80)3sin(x+20)+5sin(x+20)60 7)20sin(7)20cos(235)2

17、0sin(211xxx 8 D 提示：cossin2121)sin1)(cos1(21cos21sin211OABS 11sin 224，当2即2时，面积最大.9 D 提示：由正弦定理得：2cos2sin22cos2sin2sinsinsinsin2tanBABABABABaBAbabaBA 2cot2tanBABA，02tan BA或12cot BA02 BA或22 BA A B 或 A B 90 10D 提示：)22sin(23232cos232sin21xxxy，则T 11 247 提示 sin=53,(2,),cos=54 则 tan=43,又 tan()=21可得 tan=21,22

18、12()2 tan42tan 2.11tan31()2 234()tantan743tan(2)341tantan 2241()()43 12 6556 提示 (43,4),4(0,2),又 cos(4)=53 6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()43()4cos(2)43()4sin()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(即 131-32i 提示：设 z=a+bi,由(3+2i)(a+bi)=3(a+bi)+3+2i,得 3a-2b=3a+3,2a+3b=3

19、b+2,a=1,b=32.1432,34 提示：由题意得：，xy342323203sin上的面积为在 上的图象在3431)3sin(，xy为一个半周期结合图象分析其面积为32.15 答案 2 16解：()由10tancot3 得23 tan10 tan30，即1tan3tan3 或，又34，所以1tan3 为所求.（）225sin8sincos11cos822222 sin2=1-cos1+cos54 sin118222 cos=55 cos8sin1111cos1622 cos=8sin6 cos8 tan622 cos22=526 17解：原方程化简为iizzz1)(2,设 z=x+yi(

20、x、yR),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1i，x2+y2=1 且 2x=1,解得 x=21且y=23,原方程的解是 z=-2123i.18 解：（）1m n 1,3cos,sin1AA 即3 sincos1AA 312sincos122AA,1sin62A 50,666AA 66A 3A（）由题知2212 sincos3cossinBBBB，整理得22sinsincos2 cos0BBBB cos0B 2tantan20BB tan2B 或tan1B 而tan1B 使22cossin0BB，舍去 tan2B tantanCABtanAB tantan1tantanABAB 23123

21、85311 19 解 设 u=sin+cos 则 u2+(3)2=(sin+cos)2+(cos+sin)2=2+2sin(+)4 u21,1u1 即 D=1,1,设 t=32x,1x1,1t5 x=232t 2max0.5min0.50.50.523112.4410248422422,2,.8log0,25loglog2log8,8212,232,.2xtMxtttttMtyMMytxx 当且仅当即时在时是减函数时此时【挑战自我】设 a,b,c 为ABC 的三边，abc，R 是ABC 的外接圆半径，令 f=a+b2R-8R2sin2sin2sinCBA，试用 C 的大小来判定 f 的符号.解

22、：f=2R（sinA+sinB142sin2sin2sinCBA）2R2sin)2cos2(cos212cos2sin2CABABABAB 4R2sin2cos42)2sin2(sin2cosCCRRCABAB 4R2sin42)2sin2(sin2cos2CRRCCAB 2R)2sin2cos2cos2)(2sin2(cosCCABCC 由 abc，得 ABC，所以 0 B A B A，因此2cos2cosCAB，2sin2cos2cosCABAB，所以2sin2cos2cos2CCAB 故当 f0 时，2sin2cosCC，则 0C2 当 f0 时，2sin2cosCC，则 C2 当 f0

23、 时，2sin2cosCC，则 C2【答案及点拨】演变 1：由图得2,84TT,由 T=2,得4,在 y=sin(4x)中令 x=1,y=1,得242k,24k,得4,选(C)演变 2：（解法一）由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos(sin22)4sin(1027，即57cossin 由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin(cos57)sin)(cossin(cossincos2cos25722 故51sincos 由式和式得 54cos,53sin.因此，43tan，由两角和的正切公式.11325483343344331433tan313tan)4tan(解法二：由题设条件，应用二倍

24、角余弦公式得2sin212cos257 解得53sin,259sin2即 由57cossin,1027)4sin(可得 由于057sincos,0cos57sin且，故在第二象限，于是53sin.从而5457sincos，以下同解法一.演变 3：)42tan()42tan()42sin(2cos22)(xxxxbaxf 21t a nt a n1222222 cos(sincos)222221tan1tan222 sincos2 cos1222xxxxxxxxxx xxcossin=)4sin(2x.所以2)(的最大值为xf，最小正周期为,24,0)(在xf上单调增加，,42上单调减少.演变

25、4：103020，原式20cos20sin)20sin30sin20cos30(cos220cos20sin)2030cos(2 2cos30=3.演变 5：原方程可化为022)5()2(2ixixi iiiiii188241024)22)(2(4)5(2.而18i 的 平 方 根 为)1(3i，所 以 方 程 的 根 为)2(2)1(352,1iiix，ixx5351,221.演变 6：提示：z1+z2=|z1z2|（y1y20），|1|1|2121zzzz.即21zz在复平面内对应的点到（1,0）、（1,0）的距离相等，21zz对应的点在虚轴上，即21zz为纯虚数.演变题要有点拨，原创题有详解，一般题给答案