三角函数恒等变换含答案与高考题37073.pdf

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1、WORD 格式 1/31 三角函数恒等变形的基本策略。2（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如 1=cos+sin（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin 2x+2cos2x=(sin 2=tanxcotx=tan45等。2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+），=等。22（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。（4）引入辅助角。asin+bcos=2b 2 asin(+)，这里辅助角所在象限由 a、b 的符号确 b 定，角的值由 tan=确定。a 1已知 tanx=2，求 sinx，cosx 的值 sinx 解：因为 22xcos2x=1

2、，tanx，又 sin cosx sinx2cosx 联立得，sincos1 2x2x 2525sinxsinx 55 解这个方程组得,.55cosxcosx55 2求 tan(tan(120 690 )cos(210 sin(150)sin(480)cos(330 )的值 解：原式 tan(120180)cos(18030)sin(360120)tan(720 o 30 )sin(150 )cos(360 30 )tan60(tan30 (cos30)(sin150 sin120)cos30 )33.sinxcosx 3若 2,sinxcosx ，求 sinxcosx 的值 sinxcosx

3、 解：法一：因为 2,sinxcosx 所以 sinxcosx=2(sinxcosx)，得到 sinx=3cosx，又 sin2xcos2x=1，联立方程组，解得 sinx 3 10 10 sin，x 3 10 10，cosx 10 10 cos x 10 10 所以 sinxcosx 3 10 sinxcosx 法二：因为 2,WORD 格式 2/31 sinxcosx 所以 sinxcosx=2(sinxcosx)，WORD 格式 1/31 所以(sinxcosx)2=4(sinxcosx)2，所以 12sinxcosx=48sinxcosx，所以有 sinxcosx 3 10 4求证：t

4、an 2xsin2x=tan2xsin2x 证明：法一：右边tan2xsin2x=tan2x(tan2xcos2x)=tan2x(1cos2x)=tan2xsin2x，问题得证 法二：左边=tan2xsin2x=tan2x(1cos2x)=tan2xtan2xcos2x=tan2xsin2x，问题得证 x 5求函数 y2sin()在区间0，2上的值域 26 xx7 解：因为0 x2，所以,0,26266 由正弦函数的图象，x1 得到 sin(),1,262 所以 y1，2 6求下列函数的值域(1)ysin2xcosx+2；(2)y2sinxcosx(sinxcosx)解：(1)y=sin2xc

5、osx21cos2xcosx2=(cos2xcosx)3，113113 2tt2t2 令 t=cosx，则,t1,1,y(t)3()()2424 13 利用二次函数的图象得到.y1,4 (2)y2sinxcosx(sinxcosx)=(sinxcosx)21(sinxcosx)，令 t=sinxcosx2，)sin(x，则 4 5 2t t2,2则，yt1,利用二次函数的图象得到 y,12.4 7若函数 y=Asin(x+)(0，0)的图象的一个最高点为(2,2)，它到其相邻的最低点之间的图 象与 x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式 解：由最高点为(2,2)，得到 A2，最高点和最低

6、点间隔是半个周期，从而与 x 轴交点的间隔是 1 4 T 个周期，这样求得 4 4 ，T=16，所以 8 又由 22)，得到可以取.y2sin(x).2sin(8 484 8已知函数 f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x WORD 格式 2/31 ()求 f(x)的最小正周期；()若 x0,求 f(x)的最大值、最小值 2 数 y 1 3 sin cos x x 的值域 解：()因为f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)sin2x 2xxxxxxx 2(cossin)sin2cos2sin22sin(2)2sin(2 4 )

7、4 所以最小正周期为 3 ()若 x0,，则(2x),，所以当 x=0 时，f(x)取最大值为2sin()1;当 24444 3 x 时，8 WORD 格式 1/31 f(x)取最小值为2.1已知tan2，求（1）cos cos sin sin ；（2）2sin.cos2cos 2 sin 的值.sin 1 cossin1tan12 cos 解：（1）322 sin cossin1tan 12 1 cos ；(2)2 sinsincos 2 2cos 2 sinsincos2 22 sincos 2 cos 2 sinsin 2 coscos 2 sin 2 1 cos 2 2 224 213

8、 2.说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过 程简化。2求函数 2 y1sinxcosx(sinxcosx)的值域。解：设 sincos2sin()22 txxx，则原函数可化为 4 2123 ytt1(t)，因为t2，2，所以 24 当t2时，ymax32，当 13 t 时，ymin，24 所以，函数的值域为 3 y，32。4 3已知函数 2 f(x)4sinx2sin2x2，xR。（1）求 f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及此时 x 的集合；（2）证明：函数 f(x)的图像关于直线 x 对称。8 解：22 f(x)4sinx2sin

9、2x22sinx2(12sinx)2sin2x2cos2x22sin(2x)4(1)所以 f(x)的最小正周期T，因为xR，WORD 格式 2/31 所以，当 22 xk，即 42 3 xk 时，f(x)最大值为22；8(2)证明：欲证明函数 f(x)的图像关于直线 f(x)f(x)成立，88 xxR 8 因为()22sin2()22sin(2)22cos2fxxxx，8842WORD 格式 1/31 f(x)22sin2(x)22sin(2x)22cos2x，8842 所以()()fxfx 成立，从而函数 f(x)的图像关于直线x 对称。888 13 4已知函数 y=cossinxcosx+

10、1（xR）,2x+22（1）当函数 y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图像可由 y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换 得 到？解：（1）y=1 2 cos 2 x+3 2 sinxcosx+1=14 (2cos 2 x1)+1 4 +3 4 （2sinxcosx）+1 =1 4 cos2x+3 4 sin2x+5 4 =1 2 (cos2xsin +sin2xcos 66 )+5 4 =1 2 sin(2x+6 )+5 4 所以 y 取最大值时，只需 2x+=+2k,（kZ），即x=+k,（kZ）。626 所以当函数 y 取最大值时，自变量x 的集合为x|x=+

11、k,kZ 6（2）将函数 y=sinx 依次进行如下变换：（i）把函数 y=sinx 的图像向左平移，得到函数 y=sin(x+)的图像；66 1（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数 y=sin(2x+)的图像；26 11（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数 y=sin(2x+)的 226 图像；515（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数 y=sin(2x+)+的图像。4264 综上得到 y=1 2 cos 2x+3 2 sinxcosx+1 的图像。WORD 格式 1/31 历年高考综合题 一，选择题 1.（0

12、8 全国一 6）2 y(sinxcosx)1 是（）A最小正周期为2 的偶函数 B最小正周期为2 的奇函数 C最小正周期为 的偶函数 D 最小正周期为 的奇函数 2.（08 全国一 9）为得到函数 yx 的图象，只需将函数 ysinx 的图像（）cos 3 A向左平移 个长度单位 B向右平移 6 个长度单位 6 C向左平移 5 个长度单位 D 向右平移 6 5 个长度单位 6 3.(08 全国二 1)若sin0且tan0是，则是（）A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 4.（08 全国二 10）函数f(x)sinxcosx 的最大值为（）A1B2C3D2 5.（08XX 卷

13、8）函数 sin(2)yx 图像的对称轴方程可能是（）3 A xB 6 xC 12 xD 6 x 12 6.（08XX 卷 7）函数 y=cosx(xR)的图象向左平移个单位后，得到函数 y=g(x)的图象，2 则g(x)的解析式为()A.-sinxB.sinxC.-cosxD.cosx 7.（08XX 卷 5）已知函数 2 f(x)(1cos2x)sinx,xR，则f(x)是（）A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为 的奇函数 2 C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为 的偶函数 2 8.（08XX 卷 11）函数 f(x)cos2x2sinx 的最小值和最大值分别为（）A.3，1B

14、.2，2C.3，3 2 D.2，3 2 9.（08XX 卷 7）将函数 ysin(x)的图象 F 向右平移 WORD 格式 2/31 个单位长度得到图象 F，若3 F的一条对称轴是直线,x 则的一个可能取值是（）1WORD 格式 1/31 A.5 12 B.5 12 C.11 12 D.11 12 10.（08XX 卷 6）函数 f(x)sinx sinx2sin x 2 是（）A以 4 为周期的偶函数 B以 2 为周期的奇函数 C以2为周期的偶函数D以4为周期的奇函数 11.若动直线 xa 与函数 f(x)sinx 和 g(x)cosx 的图像分别交于M，N 两点，则 MN 的最大值为（）A

15、1B2C3D2 12.（08XX 卷 10）已知 4 cossin3 65 ，则 sin 7 6 的值是（）A 23 5 B 23 5 C 4 5 D 4 5 13.（08XX 卷 1）sin330等于（）A 3 2 B 1 2 C 1 2 D 3 2 14.（08XX 卷 4）2 tanxcotxcosx().tanx.sinx.cosx.cotx 15.（08XX 卷 6）把函数 ysinx(xR)的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度，3 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函 数是（）x Asin2 yx，xRBysin，xR 326

16、 Csin2 yx，xRDysin2x，xR 33 16.（08XX 卷 9）设 5 asin，7 2 bcos，7 2 ctan，则（）7 AabcBacbCbcaDbac 17.（08XX 卷 2）函数 2 WORD 格式 2/31 y(sinxcosx)1 的最小正周期是（）WORD 格式 1/31 A.2 B.C.3 2 D.2 x3 18.（08XX 卷 7）在同一平面直角坐标系中，函数 cos()(x0，2)y 的图象和 22 直线 1 y 的交点个数是（）2 A.0B.1C.2D.4 二，填空题 19.（08 卷 9）若角的终边经过点 P(1，2)，则 tan2 的值为 20.（

17、08XX 卷 1）cos fxx 的最小正周期为 6 5 ，其中0，则=21.（08XX 卷 16）设 0 x，则函数 2 y 2 2sinx1 sin2x 的最小值为 22.（08XX 卷 12）若 3 sin()25 ，则 cos2_。23.（08XX 卷 6）函数 f(x)3sinx+sin(+x)的最大值是 2 三，解答题 24.（08XX 卷 17）求函数 24 y74sinxcosx4cosx4cosx 的最大值与最小值。25.（08 卷 15）已知函数 2 fxxxx（0）的最小()sin3sinsin 2 正周期为 （）求的值；（）求函数 f(x)在区间 2 0，上的取值 X

18、围 3 26.（08XX 卷 17）已知函数 22s f(x)2cosxinxcosx1（xR,0）的 最小值正周期是（）求的值；2（）求函数 f(x)的最大值，并且求使 f(x)取得最大值的 x 的集合 27.（08XX 卷 17）已知函数 f(x)cos(2x)2sin(x)sin(x)344（）求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程（）求函数 f(x)在区间,122 上的值域 WORD 格式 1/31 28.（08XX 卷 17）已知函数 xxx 2 f(x)2sincos23sin3 444（）求函数 f(x)的最小正周期及最值；（）令 g(x)fx，判断函数g(x)的奇偶性，

19、并说明理由 3 1.D2.C3.C4.B5.B6.A7.D8.C9.A10.A 11.B12.C13.B14.D15.C16.D17.B18.C 19.420.1021.322.3 7 25 23.2 24.解：24 y74sinxcosx4cosx4cosx 22 72sin2x4cosx1cosx 22 72sin2x4cosxsinx 2 72sin2xsin2x 2 1sin2x6 由于函数 2 zu16 在 1，1中的最大值为 2 zmax11610 最小值为 2 zmin1166 故当 sin2x1 时 y 取得最大值 10，当 sin2x1 时 y 取得最小值 6【点评】：此题重

20、点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的 X 围是关 键；25.解：（）1cos2x3 f(x)sin2x 22 311 sin2xcos2x 222 sin2 1 x 62 因为函数 f(x)的最小正周期为 ，且 0，所以 2 2 ，解得 1 WORD 格式 1/31（）由（）得 1 f(x)sin2x 62 2 0 x，因为 3 所以 7，2x 666 所以 1，sin2x1 26 因此 ，即 f(x)的取值 X 围为03 13 0sin2x，6222 26.解：fx2 1 cos2 2 x sin

21、 2 x 1 sin2xcos2x2 2sin2xcoscos2xsin244 2sin2x24 由题设，函数 fx的最小正周期是，可得 2 2 2 2 ，所以 2（）由（）知，2 fx2sin4x 4 k 当 4x2k，即 xkZ 42162 时，sin4x 取得最大值1，所以函数 4 k fx 的最大值是 22，此时 x 的集合为kZ x|x,162 27.解：（1）()cos(2)2sin()sin()Qfxxxx 344 13 cos2xsin2x(sinxcosx)(sinxcosx)22 13 22 cos2xsin2xsinxcosx22 WORD 格式 2/31 13 cos2

22、xsin2xcos2x22WORD 格式 1/31 sin(2)x 6 周期 T 2 2 （2）Q 5 x,2x,122636 因为()sin(2)fxx 在区间,6123 上单调递增，在区间,32 上单调递减，所以当 x 时，f(x)取最大值1 3 又 31 Qf()f()，当 12222 x 时，f(x)取最小值 12 3 2 所以函数 f(x)在区间,122 上的值域为 3,1 2 xxx 28.解：（）Qf(x)sin3cos 2sin 2223 f(x)的最小正周期 2 T4 1 2 当 x 时，f(x)取得最小值2；当 sin1 23 x 时，f(x)取得最大值2 sin1 23（

23、）由（）知 x f(x)2sin又 23 g(x)fx 3 1 g(x)2sinx 233 2sin x 22 2cos x 2 xx Qg(x)2cos2cosg(x)22 函数 g(x)是偶函数WORD 格式 1/31 常用三角恒等变换技巧 1“角变换”技巧 角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知 角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。3 cosx，45 3 4 7 x，求 4 sin 2x 1 2sin tanx 2 x 例 1 已知 的值。【分析】考虑到“已知角”是 x，而“未知角”是 x 和 2x，注意到 4 xx，可直 44

24、 接运用相关公式求出 sinx和cosx。【简解】因为 3 4 7 x，所以 x2，44 33 又因为 0 cosx，所以 x2，4524 sinx 4 4 5 72 sinxsinxsinxcoscosxsin，44444410 2 cosx，tanx7.原式=10 2sinx cos 1 x tan 2sin x 2 x 28 75 从而.【反思】（1）若先计算出 2 cosx，则在计算sinx时，要注意符号的选取；（2）本题 10 的另一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元二次方 程组求出sinx和cosx.但很繁琐，易出现计算错误；（3）本题也可由 2

25、x2x，42 运用诱导公式和倍角公式求出 sin2x。例 2 已知 tan()tan()，其中 1，求证：sin sin 2 2 1 1【分析】所给条件中出现的“已知角”是 与，涉及的“未知角”是2 与 2，将 三个角比较分析发现 2()()，2()()，把“未知”角转化 为两个“已知”角的代数和，然后用相关公式求解。WORD 格式 2/31【简证】sin sin 2 2 sin sin sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()sin()WORD 格式 1/31 tan()tan()tan()tan()1 tan()tan()tan()tan()1【反思】（1）以

26、上除了用到了关键的角变换技巧以外，还用到了“弦化切”技巧.；（2）本 题也可由已知直接求出 tan 与 tan 的关系，但与目标相差甚远，一是函数名称不同，二 是角不同，所以较为困难；（3）善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，是有 效进行角变换的前提。常用的角变换关系还有：，22，22，()424 ，754530 等.2“名变换”技巧 名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的 特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“切弦互化”，但实际上，诱导公式、倍角公式和万能置换公式，平方关系也能进行名变换。例 3 已知向量 a(1tanx,1

27、)，b(1sin2xcos2x,0)，求 f(x)ab 的定义域和 值域；【分析】易知 f(x)(1tanx)(1sin2xcos2x)，这是一个“切弦共存”且“单、倍角共 在”的式子，因此既要通过“切化弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使函数式更 简明。【简解】f(x)(1tanx)(1sin2xcos2x)1 sin cos x x 1 2sin x cos x 2 cos2x 2x 1 2cosxsinxcosxsinx 2cos2x 由cosx0得，xk,kZ 2 ，2cos2x2 所以，f(x)2cos2x.的定义域是xxk,kZ 2 ，值域是 2,2.【反思】本题也可以利用

28、万能置换公式先进行“弦化切”，变形后再进行“切化弦”求解.例 4 已知,都是锐角，且 sincos tan，求 sincos sin sincos 的值。【分析】已知条件中，等式的右边是分式，符合和差解的正切公式特征，可考虑“弦化 切”，另一方面，若是“切化弦”，则很快出现待求式，与目标很近.WORD 格式 1/31【简解 1】显然cos0时，sin 1tantan cos4 tantan，sin 4 11tantan cos4 因为,都是锐角，所以，4 所以，sin sincos 2 sin sin 4 2 2 .【简解 2】由 sin cos sin sin cos cos 得，sinco

29、s sincossincos ，sincos 设 A sincossincos ，则 2cossincossincos 2222 sinA，2 所以，2A1，2 A，即 2 sin sincos 2 2 .【反思】简解 1 说明当分子分母都是同角的正弦、余弦的齐次式时，很容易“弦化切”；简 解 2 很巧妙，其基本思想是整体换元后利用平方关系消元.3“常数变换”技巧 在三角恒等变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于完善式子 结构，运用相关公式求解，如 1sin2xcos2x，1tan45，3tan 等.3 例 5（1）求证:6 1sinx 4 1sinx 6 4 cos

30、cos x x 3 2 ；（2）化简：sin2x3cos2x.【分析】第（1）小题运用 3 2cos 2 1sinxx和 2 2cos2 1sinxx把分子、分母都变 成齐次式后进行转化；第（2）小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟悉的 yAsinx 的形式，有利于系统研究函数的图象与性质.【简解】（1）左边=(sin(sin 2 2 x x 23 cosx)22 cos x)sin sin 6 4 x x 6 cos 4 cos x x WORD 格式 2/31 3sin 2 x 2 cos x(sinx 2 2 2 sin cos x 2 x 2 cos x)3 2 .（2）原

31、式=xcos2x sin2tan 3WORD 格式 1/31 sin sin 3 2xcos2x cos 3 sin2xcoscos2x 3 cos 3 sin 3 2sin2x 3【反思】“1”的变换应用 是 很多的，如万能 置 换公式的推导，实际上 是 利用了 2cos 2 1sinxx 把整式化成分式后进行的，又如例 4 中，也是利用了 1tan45，把分 式变成了整式.4“边角互化”技巧 解三角形时，边角交互呈现，用正、余弦定理把复杂的边角关系或统一成边，运用代数运算 方法求解，或统一成角，运用三角变换求解.例 6 在 ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且2asinA=(2

32、b+c)sinB+(2c+b)sinC，（1）求角 A 的大小；（2）若sinBsinC1，证明ABC是等腰三角形.【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身，看似复杂，但等式是关于三边长和三个角的 正弦的齐次式，所以可用正弦定理把“角”化为边或把边化为“角”来求解。【简解】（1）（角化边）由正弦定理 a sin A b sin B c sin C 得，2 222，2a(2bc)b(2cb)c，整理得，abcbc 所以 cos 222 bca1 A，因为 0A，所以 2bc2 2 A.3（2）法一：（边化角）由已知和正弦定理得，2 2sinA(2sinBsinC)sinB(2sinCsinB)s

33、inC 22 即 2sinA2(sinBsinC)2sinBsinC ，从而 1 sinBsinC，4 又 sinBsinC1，所以 1 sinBsinC.2 所以BC，ABC是等腰三角形.法二：由（1）知 BC，CB 33 ，代入sinBsinC1得，31 sinBcosBsinB1，所以 sinB1，223 3 B，2 所以 B，6 C，ABC 是等腰三角形.6【反思】第（1）小题“化角为边”后，把已知条件转化为边的二次齐次式，符合余弦定理的 结构，第（2）小题的法一之所以“化边为角”，是因为不易把条件sinBsinC1化为边的 关系，而把条件 2asinA(2bc)sinB(2cb)si

34、nC 转化为边的关系却很容易；法二的 WORD 格式 2/31 基本思路是消元后统一角，再利用“化一公式”简化方程.WORD 格式 1/31 5“升降幂变换”技巧 当所给条件出现根式时，常用升幂公式去根号，当所给条件出现正、余弦的平方时，常用“降 幂”技巧，常见的公式有：1sin 2 xx xsincos，22 1 cos 2x x2cos，2 1cos 2x x2sin，可以看出，从左至右是“幂升角变半”，而从右至左则是“幂降角变倍”.2 例 7 化简：1sin61sin6【分析】含有根号，需“升幂”去根号.22sin23cos232sin3cos3【简解】原式=sin3cos32sin3c

35、os3=sin3cos3sin3cos3 3 因为3 4 ，所以 sin0，sin3cos30，3cos32sin3 4 所以，原式(sin2cos3)(sin3cos3)2cos3.例 8 求函数 2 f(x)2sinx3cos2x，4 x，的最大值与最小值 42【分析】函数式中第一项是正弦的平方，若“降幂”后“角变倍”，与第二项的角一致.【简解】f(x)1cos2x3cos2x1sin2x3cos2x 2 12sin2x3 x，又 42 2 2x，即 633 ，212sin2x3 3 f(x)3，f(x)2 maxmin【反思】以上两例表明，“升降幂技巧”仅仅是解题过程中的一个关键步骤，只

36、有有效地整合 各种技巧与方法才能顺利地解题。如例 7 中用到了常数“变换技巧”，例8 中用到了“辅助角”变换技巧.6“公式变用”技巧 几乎所有公式都能变形用或逆向用，如 sin2 sin，2cos sin2 cos，2sin tantantan1tantan 等，实际上，“常数变换”技巧与“升降幂”技巧等 也是一种公式变用或逆用技巧.例 9 求值：（1）cos20cos40cos60cos80；WORD 格式 1/31（2）tan70tan103tan70tan10。【分析】第（1）小题中，除60是特殊角外，其他角成倍角，于是考虑使用倍角公式；第（2）小题中两角差为 60，而3 是两角差的正切

37、值，所以与两角差的正切公式有关。【简解】（1）原式 sin 40 20 2sin sin 80 40 2sin cos60 sin 160 80 2sin sin 160 20 16sin 1 16 。（2）原式tan(7010)(1tan70tan10)3tan70tan103。【反思】第（1）小题的一般性结论是：n sin2 n1 coscos2cos2nnN 2sin *.tannx 例 10 求证：n tanxtan2xtan2xtan3xtan(n1)xtannx。tanx【分析】左边通项是两角正切的积，且两角差为定值，而在正切的和、差角公式中出现了两 角正切的积，可尝试.【简证】因

38、为 tankxtan(k1)x tanxtankxk1x，k2,3,4,n 1tankxtan(k1)x tankxtan(k1)x 所以 tan(k1)xtankx1，tanx 左边=tan 2x tan tanx x tan 3xtan2x tanx tan 4xtan tanx 3xtan nx tan(n tanx 1)x n tannx=n tanx【反思】这里通过“角变换”和公式变形得出裂项公式，然后累加消项，这也是数列求和的 一种常见技巧.7“辅助角变换”技巧 2b2x 通常把asinxbcosxasin()叫做辅助角公式（也叫化一公式），其作用是 把同角的正弦、余弦的代数和化为

39、 yAsinx 的形式，来研究其图象与性质.尤其是 a 当 1 b ，3，3 3 时，要熟记其变换式，如 sinxcosx2(sinx，4 3sinxcosx2(sinx 等.6 WORD 格式 2/31 例 11 求函数 y 1 3 sin x x cos 的值域.【分析】初看此题，似无从下手，若把分式变成整式，就出现了 asinxbcosx，然后利 用三角函数的有界性建立关于 y 的不等式.【简解】由 y 1 3 sin cos x x 得 3yycosx1sinx，所以 sinxycosx3y1，WORD 格式 1/31 从而 1y2sin(x)3y1，y1 其中辅助角由 sincos

40、决定.，22 1y1y 3y1 所以，由sinx1解得 2 1y 3 0y.4【反思】（1）解答本题的方法很多，比较多用的方法是类比斜率计算公式，把问题转化为直 线斜率问题，也有用万能置换后，转化为分式函数求解的.（2）辅助角公式的形成，也可以 bb 看成是“常数变换”的结果.事实上，asinxbcosx=x asinxcos，可设tan aa ，再进行“切化弦”变换，就得到了“化一公式”.8“换元变换”技巧 有些函数，式子里同时出现 sinxcosx（或sinxcosx）与sinxcosx，这时，可设 tsinxcosx（或tsinxcosx），则sin 2 t1 xcosx（或 2 sin

41、 2 1t xcosx），2 把三角函数转化为熟悉的函数来求解.例 12 求函数 sinxcosx yx0,的值域 1sinxcosx2 2【分析】同时出现 sinxcosx与sinxcosx时，可用sinxcosx12sinxcosx .【简解】设sinxcosxt，因为 0 x，2 t2(sinx，所以 t(1,2，4 2 又由 sinxcosx12sinxcosx 得，sin 2 t1 xcosx，2 2 t 1 所以，sinxcosxt1 2 y，1sinxcosx1t2 由 t(1,2得，21 0y.2【反思】（1）本题若不换元，则需要用到“添、凑、配”技巧，而怎样进行“添、凑、配”

42、，则是因题而异，无明显特征.；（2）引进“新元”后，一定要说明“新元”的取值 X 围；（3）2 平方关系的变式 sinxcosx12sinxcosx 应用广泛，如在解答命题“已知 sin，WORD 格式 2/31 2kxk cos 是方程 x10的两根，求k的值”时，关键步骤是在运用韦达定理后，利用变式消元后求解。WORD 格式 1/31 例13求证：x 1 y xy y 1 z yz z 1 x zx x 1 y xy y 1 z yz z 1 x zx 。【分析】所证等式中每个分式与两角差的正切相似，而所证等式与三角形中的结论 tanAtanBtanCtanAtanBtanC 相似，从而尝

43、试换元，利用三角知识证代数问题。【简解】设 tanx,tany,tanz，因为，tantan 所以 tantan，tan 1tantan ，变形整理得tantantantantantan 所以，tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tantantantantantan 1tantan1tantan1tantan 即，x 1 y xy y 1 z yz z 1 x zx x 1 y xy y 1 z yz z 1 x zx【反思】本题解法也体现了类比思维的作用，若用常规方法处理，则运算十分繁琐.9“万能置换”技巧“万能置换”技巧，实

44、际从属于“名变换”技巧，其特征是用半角的正切值表示原角的正弦、余弦与正切.例 14 讨论函数 2x y 的最大值与最小值.2 1x【分析】本题可通过求导或利用基本不等式求解.但类比函数式的结构与万能置换公式 sin x 2tan 2 x 相同，于是问题得到转化.2x 1tan 2 t 2tan t2x 2【简解】设 tysint xtan，则 2 t 2 2 1x 1tan 2 ，当且仅当 t 也就是 xtan1 时，ymax1，24 WORD 格式 2/31 当且仅当 t 也就是 tan1 x时，ymin1.24【反思】（1）当问题条件中出现单角的正切与倍角三角函数问题时，可考虑使用万能置换公 式；（2）运用万能置换技巧既可以把代数问题转化成三角函数问题，也可以把三角问题转化WORD 格式 1/31 为代数问题，如例 11 中，可设 x ttan，则 2 2 xx tan2tan1 1sinx 22 y，即 x 3cosx 2 2tan4 2 2 t2t1 y，然后可用判别式法求解.2 2t4