二阶常微分方程解3324.pdf
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1、实用文档 标准 第七节 二阶常系数线性微分方程的解法 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构,二阶线性微分方程的求解问题,关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型,即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法 设给定一常系数二阶线性齐次方程为 22dxydpdxdyqy0 (7.1)其中 p、q 是常数,由上节定理二知,要求方程(7.1)的通解,只要求出其任意两个线性无关的特解 y1,y就可以了,下面讨论这样两个特解的求法。我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式
2、的特解,从方程的形式上来看,它的特点是22dxyd,dxdy,y 各乘以常数因子后相加等于零,如果能找到一个函数 y,实用文档 标准 其22dxyd,dxdy,y 之间只相差一个常数因子,这样的函数有可能是方程(7.1)的特解,在初等函数中,指数函数 erx,符合上述要求,于是我们令 yerx(其中 r 为待定常数)来试解 将 yerx,dxdyrerx,22dxydr2erx代入方程(7.1)得 r2erxprerxqerx0 或 erx(r2prq)0 因为 erx0,故得 r2prq0 由此可见,若 r 是二次方程 r2prq0 (7.2)的根,那么 erx就是方程(7.1)的特解,于是
3、方程(7.1)的求解问题,就转化为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2)式为微分方程(7.1)的特征方程。特征方程(7.2)是一个以 r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根 r,r2,称为特征根,由代数知识,特征根 r1,r2有三种可能的情况,下面我们分别进行讨论。(1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根 r,r2,此时 erx,er2x是方程(7.1)的两个特解。实用文档 标准 因为 xrxr21eeex)rr(21常数 所以 er1x,er2x为线性无关函数,由解的结构定理知,方程(7.1)的通解为 yC1er1xC2er2x(2)若特征方程(7.2)有两个相等的实根
4、r1r2,此时 p24q0,即 有 r1r22p,这样只能得到方程(7.1)的一个特解 yerx,因此,我们还要设法找出另一个满足12yy常数,的特解 y2,故12yy应是 x 的某个函数,设12yyu,其中 uu(x)为待定函数,即 y2uy1uerx 对 y2求一阶,二阶导数得 dxdy2dxduer1xruer1x(dxdur1u)er1x 222dxyd(r2u2r1dxdu22dxud)er1x 将它们代入方程(7.1)得 (r21ur1dxdu22dxud)er1xp(dxdur1u)er1xquer1x0 实用文档 标准 或 22dxud(2r1p)dxdu(rpr1q)u er
5、1x0 因为 er1x0,且因 r1是特征方程的根,故有 rprq0,又因 r12p故有 2r1p0,于是上式成为 22dxud0 显然满足22dxud0 的函数很多,我们取其中最简单的一个 u(x)x 则 y2xerx是方程(7.1)的另一个特解,且 y1,y2是两个线性无关的函数,所以方程(7.1)的通解是 yC1er1xC2xer1x(C1C2x)er1x (3)若特征方程(7.2)有一对共轭复根 r1i,r2i 此时方程(7.1)有两个特解 y1e(i)x y2e(i)x 则通解为 yC1e(i)xC2e(i)x 其中 C1,C2为任意常数,但是这种复数形式的解,实用文档 标准 在应用
6、上不方便。在实际问题中,常常需要实数形式的通解,为此利用欧拉公式 eixcosxisinx,eixcosxisinx 有 21(eixeix)cosx i 21(eixeix)sinx 21(y1y)21ex(eixeix)excosx i 21(y1y2)i 21ex(eixeix)exsinx 由上节定理一知,21(y1y2),i 21(y1y2)是方程(7.1)的两个特解,也即 excosx,exsinx 是方程(7.1)的两个特解:且它们线性无关,由上节定理二知,方程(7.1)的通解为 yC1excosxC2exsinx 或 yex(C1cosxC2sinx)其中 C1,C2为任意常数
7、,至此我们已找到了实数形式的通解,其中,分别是特征方程(7.2)复数根的实部和虚部。综上所述,求二阶常系数线性齐次方程(7.1)的通解,只须先求出其特征方程(7.2)的根,再根据他的三种情况确定其通解,现列表如下 实用文档 标准 特征方程 r2prq0 的根 微分方程22dxydpdxdyqy0 的通解 有二个不相等的实根 r1,r2 yC1er1xC2er2x 有二重根 r1r2 y(C1C2x)er1x 有一对共轭复根irir21 yex(C1cosxC2sinx)例 1.求下列二阶常系数线性齐次方程的通解 (1)22dxyd3dxdyy0(2)22dxyd4dxdy4y0(3)22dxy
8、d4dxdy7y0 解 (1)特征方程 r23r100 有两个不相等的实根 r15,r22 所求方程的通解 yC1e 5rC2e2x(2)特征方程 r24r40,有两重根 r1r22 所求方程的通解 y(C1C2x)e2x(3)特征方程 r24r70 有一对共轭复根 r123i r223i 实用文档 标准 所求方程的通解 ye2x(C1cos3xC2sin3x)7.2 二阶常系数线性非齐次方程的解法 由上节线性微分方程的结构定理可知,求二阶常系数线性非齐次方程 22dxydpdxdyqyf(x)(7.3)的通解,只要先求出其对应的齐次方程的通解,再求出其一个特解,而后相加就得到非齐次方程的通解
9、,而且对应的齐次方程的通解的解法,前面已经解决,因此下面要解决的问题是求方程(7.3)的一个特解。方程(7.3)的特解形式,与方程右边的 f(x)有关,这里只就 f(x)的两种常见的形式进行讨论。一、f(x)pn(x)ex,其中 pn(x)是 n 次多项式,我们先讨论当0 时,即当 f(x)pn(x)时方程 22dxydpdxdyqypn(x)(7.4)的一个特解。(1)如果 q0,我们总可以求得一 n 次多项式满足此方程,事实上,可设特解yQn(x)a0 xna1xn1实用文档 标准 an,其中 a0,a1,an是待定常数,将y及其导数代入方程(7.4),得方程左右两边都是 n 次多项式,比
10、较两边 x 的同次幂系数,就可确定常数 a0,a1,an。例 1.求22dxyddxdy2yx23 的一个特解。解 自由项 f(x)x23 是一个二次多项式,又 q20,则可设方程的特解为 ya0 x2a1xa2 求导数 y2a0 xa1 y2a0 代入方程有 2a0 x2(2a02a1)x(2a0a12a)x23 比较同次幂系数 3a2aa20a2a21a2210100 解得 47a21a21a210 所以特解y21x221x47(2)如果 q0,而 p0,由于多项式求导一次,其实用文档 标准 次数要降低一次,此时yQn(x)不能满足方程,但它可以被一个(n1)次多项式所满足,此时我们可设
11、yxQn(x)a0 xn1a1xnanx 代入方程(7.4),比较两边系数,就可确定常数 a0,a1,an。例 2.求方程22dxyd4dxdy3x22 的一个特解。解 自由项 f(x)3x22 是一个二次多项式,又q0,p0,故设特解 ya0 x3a1x2a2x 求导数 y3a0 x22a1xa2 y6a0 x2a1 代入方程得 12a0 x2(8a16a0)x(a14a2)3x22,比较两边同次幂的系数 2a4a20a6a83a1221010 解得 3219a163a41a210 实用文档 标准 所求方程的特解 y41x3163x23219x(3)如果 p0,q0,则方程变为22dxydp
12、n(x),此时特解是一个(n2)次多项式,可设 yx2Qn(x),代入方程求得,也可直接通过两次积分求得。下面讨论当0 时,即当 f(x)pn(x)ex时方程 22dxydpdxdyqypn(x)ex (7.5)的一个特解的求法,方程(7.5)与方程(7.4)相比,只是其自由项中多了一个指数函数因子 ex,如果能通过变量代换将因子 ex去掉,使得(7.5)化成(7.4)式的形式,问题即可解决,为此设 yuex,其中 uu(x)是待定函数,对 yuex,求导得 dxdyexdxduuex 求二阶导数 22dxydex22dxud2exdxdu2uex 代入方程(7.5)得 ex22dxud2dx
13、du2upexdxduuquexpn(x)ex 实用文档 标准 消去 ex得 22dxud(2p)dxdu(2pq)upn(x)(7.6)由于(7.6)式与(7.4)形式一致,于是按(7.4)的结论有:(1)如果2pq0,即不是特征方程 r2prq0 的根,则可设(7.6)的特解 un(x),从而可设(7.5)的特解为 yQn(x)ex (2)如果2pq0,而p0,即是特征方程 r2prq0 的单根,则可设(7.6)的特解 uxQn(x),从而可设(7.5)的特解为 yxQn(x)e x (3)如果 r2pq0,且p0,此时是特征方程 r2prq0 的重根,则可设(7.6)的特解 ux2Qn(
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