必修二立体几何复习+经典例题3327.pdf

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1、实用标准文档 文案大全 一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个 平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该

2、平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线

3、面垂直 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、定义：成90角 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另

4、一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、定义：两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为90 实用标准文档 文案大全 2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面 九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：900 90,0 2、直线与平面所成的角的取值范围是：900 90,0 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：900 90,0 4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：1800 180,0 十、三角形的心 1、内心：内切圆的圆心

5、，角平分线的交点 2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 3、重心：中线的交点 4、垂心：高的交点 【例题分析】例 2 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN平面PAD 【分析】要证明“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明 证明：方法一，取PD中点E，连接AE，NE 底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，MACD，.21CDMA E是PD的中点，NECD，.21CDNE MANE，且MANE，AENM是平行四边形，MNAE 又AE平面PAD，MN

6、平面PAD，MN平面PAD 方法二取CD中点F，连接MF，NF 实用标准文档 文案大全 MFAD，NFPD，平面MNF平面PAD，MN平面PAD【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线平行：ac，bc，a，a a，b b a，b ab ab ab ab(2)证明线面平行：a ab b，a a a a a(3)证明面面平行：a，b a，a，a，b，abA 例 3 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AC，ABAC，求证：A1CBC1 【分析】要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明A1C垂直于经过BC1的平面即可 证明：连接AC1 ABCA1B1C1

7、是直三棱柱，AA1平面ABC，ABAA1 又ABAC，AB平面A1ACC1，A1CAB 又AA1AC，侧面A1ACC1是正方形，A1CAC1 由，得A1C平面ABC1，A1CBC1【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的如本实用标准文档 文案大全 题已知条件中出现的“直三棱柱”及“ABAC”都要将其向“线面垂直”进行转化 例 4 在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，ABBC，APPB，求证：平面PAC平面PBC 【分析】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又 可以通过“线线垂直”进行转化 证明：平面PAB平面ABC，平面PAB平面A

8、BCAB，且ABBC，BC平面PAB，APBC 又APPB，AP平面PBC，又AP平面PAC，平面PAC平面PBC【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线垂直：ac，bc，a b ab ab(1)证明线面垂直：am，an ab，b，a，l m，n，mnA a，al a a a a(1)证明面面垂直：a，a 例 5 如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，A1AB60，E，F分别是AB1，BC的中点 实用标准文档 文案大全()求证：直线EF平面A1ACC1；()在线段AB上确定一点G，使平面EFG平面ABC，并给出证明 证明：()

9、连接A1C，A1E 侧面A1ABB1是菱形，E是AB1的中点，E也是A1B的中点，又F是BC的中点，EFA1C A1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1，直线EF平面A1ACC1(2)解：当31GABG时，平面EFG平面ABC，证明如下：连接EG，FG 侧面A1ABB1是菱形，且A1AB60，A1AB是等边三角形 E是A1B的中点，31GABG，EGAB 平面A1ABB1平面ABC，且平面A1ABB1平面ABCAB，EG平面ABC 又EG平面EFG，平面EFG平面ABC 例 6 如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，E是AC的中点 ()求证：平面BEC1平面ACC1A1；()求证：AB1平面

10、BEC1【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考 证明：()ABCA1B1C1是正三棱柱，AA1平面ABC，BEAA1 ABC是正三角形，E是AC的中点，BEAC，BE平面ACC1A1，又BE平面BEC1，平面BEC1平面ACC1A1()证明：连接B1C，设BC1B1CD BCC1B1是矩形，D是B1C的中点，DEAB1 又DE平面BEC1，AB1平面BEC1，AB1平面BEC1 例 7 在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD8，542DCAB 实

11、用标准文档 文案大全 ()设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；()求四棱锥PABCD的体积【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M是PC上的动点分析知，MB，MD随点M的变动而运动，因此可考虑平面MBD内“不动”的直线BD是否垂直平面PAD 证明：()在ABD中，由于AD4，BD8，54AB，所以AD2BD2AB2 故ADBD 又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面PAD，又BD平面MBD，故平面MBD平面PAD()解：过P作POAD交AD于O，由于平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD 因此PO为四棱锥

12、PABCD的高，又PAD是边长为 4 的等边三角形因此.32423PO 在底面四边形ABCD中，ABDC，AB2DC，所以四边形ABCD是梯形，在 RtADB中，斜边AB边上的高为5585484，即为梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为.2455825452S故.316322431ABCDPV 9.如图 4,在边长为 1的等边三角形ABC中,D E分别是,AB AC边上的点,ADAE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起,得到如图 5 所示的三棱锥ABCF,其中22BC.(1)证明:DE/平面BCF;实用标准文档 文案大全 图 5DGBFCAE图 4GEFABCD(2

13、)证明:CF平面ABF;(3)当23AD 时,求三棱锥FDEG的体积F DEGV.形ABC中,ADAE 9.【答案】(1)在等边三角ADAEDBEC,在折叠后的三棱锥ABCF中 也成立,/DEBC,DE 平面BCF,BC 平面BCF,/DE平面BCF;(2)在等边三角形ABC中,F是BC的中点,所以AFBC,12BFCF.在三棱锥ABCF中,22BC,222BCBFCFCFBF BFCFFCFABF 平面;(3)由(1)可知/GECF,结合(2)可得GEDFG 平面.1 11 1 113133 23 2 3323324F DEGE DFGVVDG FG GF 4.如图，四棱锥 PABCD 中，

14、ABCD 为矩形，PAD 为等腰直角三角形，APD=90，面 PAD面 ABCD，且 AB=1，AD=2，E、F 分别为 PC 和 BD 的中点（1）证明：EF面 PAD；（2）证明：面 PDC面 PAD；（3）求四棱锥 PABCD 的体积 4.如图，连接 AC，ABCD 为矩形且 F 是 BD 的中点，AC 必经过 F 1 分 实用标准文档 文案大全 又 E 是 PC 的中点，所以，EFAP 2 分 EF 在面 PAD 外，PA 在面内，EF面 PAD （2）面 PAD面 ABCD，CDAD，面 PAD面 ABCD=AD，CD面 PAD，又 AP面 PAD，APCD 又APPD，PD 和 C

15、D 是相交直线，AP面 PCD 又 AD面 PAD，所以，面 PDC面 PAD （3）取 AD 中点为 O，连接 PO，因为面 PAD面 ABCD 及PAD 为等腰直角三角形，所以 PO面 ABCD，即 PO 为四棱锥 PABCD 的高 AD=2，PO=1，所以四棱锥 PABCD 的体积1233VPO AB AD 1.如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC=12AA1，D 是棱 AA1的中点()证明：平面 BDC1平面 BDC（）平面 BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.1.【解析】（）由题设知 BC1CC,BCAC，1CCACC,BC 面11ACC A,又1DC面11ACC A，1DCBC,由题设知01145A DCADC,1CDC=090,即1DCDC,又DCBCC,1DC面BDC,1DC面1BDC，面BDC面1BDC；（）设棱锥1BDACC的体积为1V，AC=1，由题意得，1V=1121 132=12，由三棱柱111ABCABC的体积V=1，11():VVV=1:1，平面1BDC分此棱柱为两部分体积之比为 1:1.B1 C B A D C1 A1