全国中学生物理竞赛分类汇编1087.pdf

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1、第 1 页 共 30 页 全国中学生物理竞赛分类汇编 光学 第 21 届预赛 一、（15分）填空 1d一个可见光光子的能量的数量级为_J。2已知某个平面镜反射的光能量为入射光能量的80。试判断下列说法是否正确，并简述理由。a 反射光子数为入射光子数的80；b每个反射光子的能量是入射光子能量的80。六、（15分）有一种高脚酒杯，如图所示。杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面的半径R1.50cm，O到杯口平面的距离为8.0cm。在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距O点6.3cm。这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方

2、向观看，将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率n11.56，酒的折射率n21.34。试通过分析计算与论证解释这一现象。第 21 届复赛 四、(20 分)目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条 但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形）如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所

3、述的简化了的情况来说明 如图，S1、S2、S3 是等距离（h）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同一方向发出半顶L S1 S3 S2 h h z 第 2 页 共 30 页 角为=arctan41的圆锥形光束请使用三个完全相同的、焦距为 f=1.50h、半径为 r=0.75 h 的圆形薄凸透镜，经加工、组装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于 z 轴（以 S2为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离 S2为 L=12.0 h 处的 P 点（加工时可对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦

4、距）1求出组合透镜中每个透镜光心的位置 2说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据 第 20 届预赛 一、（20 分）两个薄透镜 L1和 L2共轴放置，如图所示已知 L1的焦距 f1=f,L2的焦距 f2=f，两透镜间距离也是 f小物体位于物面 P 上，物距 u1 3f（1）小物体经这两个透镜所成的像在 L2的_边，到 L2的距离为_，是_倍（虚或实）、_像（正或倒），放大率为_。（2）现在把两透镜位置调换，若还要给定的原物体在原像处成像，两透镜作为整体应沿光轴向_边移动距离_这个新的像是_像（虚或实）、_像（正或倒）放大率为_。第 20 届复赛 四、(20 分)如图所示，一半径为R、折

5、射率为n的玻璃半球，放在空气中，平表面中央半径为0h的区域被涂黑一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆盖整个表面Ox为以球心O为原点，与平而垂直的坐标轴通过计算，求出坐标轴Ox上玻璃半球右边有光线通过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标 第 3 页 共 30 页 第 19 届预赛 五、（20 分）图预 19-5 中，三棱镜的顶角为 60，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为 30.0 cmf 的两个完全相同的凸透镜 L1和 L2若在 L1的前焦面上距主光轴下方14.3 cmy 处放一单色点光源S，已知其像S与S对该光学系统是左右对称的试求该三棱镜的折射率 第 19 届复赛

6、 五、（20 分）薄凸透镜放在空气中时，两侧焦点与透镜中心的距离相等。如果此薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为1n和2n，则透镜两侧各有一个焦点（设为1F和2F），但1F、2F和透镜中心的距离不相等，其值分别为1f和2f。现有一个薄凸透镜L，已知此凸透镜对平行光束起会聚作用，在其左右两侧介质的折射率及焦点的位置如图复 19-5 所示。1试求出此时物距u，像距v，焦距1f、2f四者之间的关系式。2若有一傍轴光线射向透镜中心，已知它与透镜主轴的夹角为1，则与之相应的出射线与主轴的夹角2多大？31f，2f，1n，2n四者之间有何关系？六、（20 分）在第 4 页 共 30 页 相对于实验室静止的平

7、面直角坐标系S中，有一个光子，沿x轴正方向射向一个静止于坐标原点O的电子在y轴方向探测到一个散射光子已知电子的静止质量为0m，光速为c,入射光子的能量与散射光子的能量之差等于电子静止能量的 110 1试求电子运动速度的大小v,电子运动的方向与x轴的夹角；电子运动到离原点距离为0L（作为已知量）的A点所经历的时间t 2在电子以 1 中的速度v开始运动时，一观察者S相对于坐标系S也以速度v沿S中电子运动的方向运动(即S相对于电子静止)，试求S测出的OA的长度 第 18 届预赛 三、（18 分）一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射后，会聚于透镜48 cmf 处，透镜的折射率1.5n。若将此

8、透镜的凸面镀银，物置于平面前 12cm处，求最后所成象的位置。第 18 届复赛 一、（22 分）有一放在空气中的玻璃棒，折射率1.5n，中心轴线长45 cmL，一端是半径为110 cmR 的凸球面 1要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴线为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？2对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光柬与玻璃棒的主光轴成小角度1时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度，求21/（此比值等于此玻璃棒望远系统的视角放大率）第 17 届预赛 三、（15 分）有一水平放置的平行平面玻璃板H，厚3.0 cm，折

9、射率1.5n。在其下表面下 2.0 cm 处有一小物S；在玻璃扳上方有一薄凸透镜L，其焦距30 cmf，透镜的主轴与玻璃板面垂直；S位于透镜第 5 页 共 30 页 的主轴上，如图预 17-3 所示。若透镜上方的观察者顺着主轴方向观察到S的像就在S处，问透镜与玻璃板上表面的距离为多少?第 17 届复赛 二、（20 分）如图复 17-2 所示，在真空中有一个折射率为n（0nn，0n为真空的折射率）、半径为r的质地均匀的小球。频率为的细激光束在真空中沿直线BC传播，直线BC与小球球心O的距离为l（lr），光束于小球体表面的点C点经折射进入小球（小球成为光传播的介质），并于小球表面的点D点又经折射进

10、入真空 设激光束的频率在上述两次折射后保持不变 求在两次折射过程中激光束中一个光子对小球作用的平均力的大小 六、（25 分）普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯A和包层B组成，B的折射率小于A的折射率，光纤的端面和圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯A和包层B的分界面上发生多次全反射 现在利用普通光纤测量流体F的折射率实验方法如下：让光纤的一端（出射端）浸在流体F中令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚光纤入射端面的中心O，经端面折射进入光纤，在光纤中传播由点O出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为0，如图复 17-6-1 所示最后光

11、从另一端面出射进入流体F在距出射端面1h处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏D，在D上出现一圆形光斑，测出其直径为1d，然后移动光屏D至距光纤出射端面2h处，再测出圆形光斑的直径2d，如图复 17-6-2 所示 第 6 页 共 30 页 1若已知A和B的折射率分别为An与Bn，求被测流体F的折射率Fn的表达式 2若An、Bn和0均为未知量，如何通过进一步的实验以测出Fn的值?第 16 届预赛 五、（15 分）一平凸透镜焦距为f，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它2 f处，垂直于主轴放置一高为H的物，其下端在透镜的主轴上（如图预 16-5）。1.用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实。

12、2.用计算法求出此像的位置和大小。第 16 届复赛 二、（25 分）两个焦距分别是1f和2f的薄透镜1L和2L，相距为d，被共轴地安置在光具座上。1.若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，问该入射光线应满足什么条件？2.根据所得结果，分别画出各种可能条件下的光路示意图。参考答案 第 21 届预赛2004.9.5 一、1.d.1019 2.a正确，b不正确。理由：反射时光频率 不变，这表明每个光子能量h 不变。评分标准：本题15分，第1问10分，每一空2分。第二问5分，其中结论占2分，理由占3分。六、把酒杯放平，分析成像问题。图 1 第 7 页 共 30 页 1未斟酒时，杯底凸球面的两侧介

13、质的折射率分别为n1和n01。在图1中，P为画片中心，由P发出经过球心C的光线PO经过顶点不变方向进入空气中；由P发出的与PO成 角的另一光线PA在A处折射。设A处入射角为i，折射角为r，半径CA与PO的夹角为，由折射定律和几何关系可得 n1sinin0sinr （1）i+（2）在PAC中，由正弦定理，有 sinsinRPCi （3）考虑近轴光线成像，、i、r 都是小角度，则有 10nrin （4）RiPC （5）由（2）、（4）、（5）式、n0、nl、R的数值及4.8PCPOCOcm可得 1.31i （6）r 1.56i （7）由（6）、（7）式有 r （8）由上式及图1可知，折射线将与PO

14、延长线相交于P，P 即为P点的实像 画面将成实像于P 处。在CAP 中，由正弦定理有 sinsinRCPr （9）又有 r+(10)第 8 页 共 30 页 考虑到是近轴光线，由（9）、（l0）式可得 rCPRr (11)又有 OPCPR （12）由以上各式并代入数据，可得 7.9OP cm （13）由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O点7.9 cm处。已知O到杯口平面的距离为8.0cm，当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物。2斟酒后，杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为n1和n2，如图2所示，考虑到近轴光线有 12nrin （14）代

15、入n1和n2的值，可得 r1.16i （15）与（6）式比较，可知 r （16）由上式及图2可知，折射线将与OP延长线相交于P，P 即为P点的虚像。画面将成虚像于P 处。计算可得 rCPRr （17）又有 图 2 第 9 页 共 30 页 OPCPR （18）由以上各式并代入数据得 13OP cm （19）由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于P处，距O点13cm即距杯口21 cm。虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像。评分标准：本题15分求得（13）式给5分，说明“看不出”再给2分；求出（l9）式

16、，给5分，说明“看到”再给3分。第 21 届复赛 四、1考虑到使 3 个点光源的 3 束光分别通过 3 个透镜都成实像于 P 点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于 z 轴，三个光心 O1、O2、O3的连线平行于 3 个光源的连线，O2位于 z 轴上，如图 1 所示图中MM表示组合透镜的平面，1S、2S、3S为三个光束中心光线与该平面的交点 22OS u 就是物距根据透镜成像公式 fuLu111 (1)可解得 4212fLLLu 因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于 P 点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有 2utan h 即 u2h在上式中取“”号，代入 f 和 L 的值

17、，算得 hu)236(1.757h (2)此解满足上面的条件 分别作 3 个点光源与 P 点的连线为使 3 个点光源都能同时成像于 P 点，3 个透镜的光L S1 S2 h h 1S S3 O1 O2(S2)O3 图 1 M u 第 10 页 共 30 页 心 O1、O2、O3应分别位于这 3 条连线上（如图 1）由几何关系知，有 hhhLuLOOOO854.0)24121(3221 (3)即光心 O1的位置应在1S之下与1S的距离为 hOOhOS146.02111(4)同理，O3的位置应在3S之上与3S的距离为 0.146h 处由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于 0.85

18、4h，才能使 S1、S2、S3都能成像于 P 点 2现在讨论如何把三个透镜 L1、L2、L3加工组装成组合透镜 因为三个透镜的半径 r=0.75h，将它们的光心分别放置到 O1、O2、O3处时，由于21OO32OO0.854h2r，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再将它们粘起来，才能满足(3)式的要求由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况 图 2 画出了 L1、L2放在MM平面内时相互交叠的情况（纸面为MM平面）图中 C1、C2表示 L1、L2的边缘，1S、2S为光束中心光线与透镜的交点，W1、W2分别为 C1、C2与 O1O2的交点 1S为圆心的圆 1 和以2S

19、（与 O2重合）为圆心的圆 2 分别是光源 S1和 S2投射到 L1和 L2时产生的光斑的边缘，其半径均为 hu439.0tan (5)根据题意，圆 1 和圆 2 内的光线必须能全部进入透镜 首先，圆 1 的 K 点（见图 2）是否落在 L1上？由几何关系可知 hrhhSOKO75.0585.0146.0439.0111(6)故从 S1发出的光束能全部进入 L1为了保证全部光束能进入透镜组合，对 L1和 L2进行加工时必须保留圆 1 和圆 2 内的透镜部分 下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法在 O1和 O2之间作垂直于 O1O2且分别与圆 1 和圆 2 相切的切线QQ 和NN若沿位于QQ

20、和NN之间且与它们平行的任意直线0.146h 0.854h 0.439h 0.439h h S1 O2(S2)O1 W1 W2 Q Q N N T T C1 C2 圆 1 圆 2 图 2 x2 x1 K 第 11 页 共 30 页 TT对透镜 L1和 L2进行切割，去掉两透镜的弓形部分，然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部同理，对 L2的下半部和 L3进行切割，然后将 L2的下半部和 L3粘合起来，就得到符合需要的整个组合透镜这个组合透镜可以将 S1、S2、S3发出的全部光线都会聚到 P 点 现在计算QQ 和NN的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件设透镜 L1被切去部分

21、沿 O1O2方向的长度为 x1，透镜 L2被切去部分沿 O1O2方向的长度为 x2，如图 2所示，则对任意一条切割线TT，x1、x2之和为 hOOrxxd646.022121 （7）由于TT必须在QQ 和NN之间，从图 2 可看出，沿QQ 切割时，x1达最大值(x1M)，x2达最小值(x2m)，111OSrxM 代入 r，和11OS的值，得 hxM457.01(8)代入(7)式，得 hxdxMm189.012(9)由图 2 可看出，沿NN切割时，x2达最大值(x2M)，x1达最小值(x1m)，rxM2 代入 r 和的值，得 hxM311.02(10)hxdxMm335.021（11）由对称性，

22、对 L3的加工与对 L1相同，对 L2下半部的加工与对上半部的加工相同 评分标准：本题 20 分第 1 问 10 分，其中（2）式 5 分，（3）式 5 分，第 2 问 10 分，其中(5)式 3 分，(6)式 3 分，(7)式 2 分，(8)式、(9)式共 1 分，(10)式、(11)式共 1 分 第 12 页 共 30 页 如果学生解答中没有(7)(11)式，但说了“将图 2 中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留，透镜其它部分可根据需要磨去（或切割掉）”给 3 分，再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证 O1O2=O1O2=0.854h，再给 1 分，即给(7)(11)式的全分（4

23、分）第 20 届预赛 一、参考解答（1）右 f 实 倒 1 。（2）左 2f 实 倒 1 。评分标准：本题 20 分，每空 2 分。第 20 届复赛 四、参考解答 图复解 20-4-1 中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路（图中阴影处是无光线进入的区域），光线在球面上的入射角和折射角分别为i和i，折射光线与坐标轴的交点在P。令轴上OP的距离为x，MP的距离为l，根据折射定律，有 sinsinini （1）在OMP中 第 13 页 共 30 页 sinsinlxii （2）2222coslRxRxi （3）由式（1）和式（2）得 xnl 再由式（3）得 2222(2cos)xnRxRxi 设M

24、点到Ox的距离为h，有 sinhRi 22222cossinRiRRiRh 得 2222222xRxx Rhn 222221(1)20 xx RhRn （4）解式（4）可得 22222221nRhn Rn hxn （5）为排除上式中应舍弃的解，令0h，则x处应为玻璃半球在光轴Ox上的傍轴焦点，由上式 2(1)111n nnnxRRRnnn或 由图可知，应有xR，故式（5）中应排除号中的负号，所以x应表示为 22222221nRhn Rn hxn （6）上式给出x随h变化的关系。因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有0hh，其中折射光线与Ox轴交点最远处的坐标为 222222

25、00021nRhn Rn hxn （7）在轴上0 xx处，无光线通过。第 14 页 共 30 页 随h增大，球面上入射角i增大，当i大于临界角Ci时，即会发生全反射，没有折射光线。与临界角Ci相应的光线有 CC1sinhRiRn 这光线的折射线与轴线的交点处于 22C221111n RnRnxnn （8）在轴Ox上CRxx处没有折射光线通过。由以上分析可知，在轴Ox上玻璃半球以右 C0 xxx （9）的一段为有光线段，其它各点属于无光线段。0 x与Cx就是所要求的分界点，如图复解 20-4-2所示 评分标准：本题 20 分。求得式（7）并指出在Ox轴上0 xx处无光线通过，给 10 分；求得式

26、（8）并指出在Ox轴上0 xx处无光线通过，给 6 分；得到式（9）并指出Ox上有光线段的位置，给 4 分。第 19 届预赛 五、参考解答 第 15 页 共 30 页 由于光学系统是左右对称的，物、像又是左右对称的，光路一定是左右对称的。该光线在棱镜中的部分与光轴平行。由S射向1L光心的光线的光路图如图预解 19-5 所示。由对称性可知 12ir 21ir 由几何关系得 1260ri 由图可见 11ir 又从1FSO的边角关系得 tan/yf 代入数值得 arctan(14.3/30.0)25.49 由、与式得130r，155.49i 根据折射定律，求得 11sin1.65sininr 评分标

27、准：本题 20 分 1.图预解 19-5 的光路图 4 分。未说明这是两个左右对称性的结果只给 2 分。2.、式各给 2 分，式给 3 分，式给 1 分，式给 4 分。第 16 页 共 30 页 第 19 届复赛 五、参考解答 利用焦点的性质，用作图法可求得小物PQ的像P Q，如下图所示。（1）用y和y分别表示物和像的大小，则由图中的几何关系可得 1212uffyyfvf （1）121 2()()ufvff f 简化后即得物像距公式，即u，v，1f，2f之间的关系式 121ffuv （2）（2）薄透镜中心附近可视为筹薄平行板，入射光线经过两次折射后射出，放大后的光路如图复解19-5-2所示。图

28、中1为入射角，2为与之相应的出射角，为平行板中的光线与法线的夹角。设透镜的折射率为n，则由折射定律得 1122sinsinsinnnn （3）对傍轴光线，1、21，得11sin，22sin，因而得 1212nn （4）（3）由物点Q射向中心O的入射线，经L折射后，出射线应射向Q，如图复解19-5-3所示，Q Q P P F1 F2 u v n1 n2 y y f1 f2 图复解 19-5-1 n1 n2 1 2 n 图复解 19-5-2 第 17 页 共 30 页 在傍轴的条件下，有 1122tantanyyuv，（5）二式相除并利用（4）式，得 12ny uyvn （6）用（1）式的11/(

29、)yyfuf代入（6）式，得 1112()f unuf vn 即 1121n uvfn un v （7）用（1）式的22/()/yyvff代入（6）式，得 2122()vfunf vn 即 2221n uvfn un v （8）从而得1f，2f，1n，2n之间关系式 2211fnfn （9）六、参考解答（1）由能量与速度关系及题给条件可知运动电子的能量为 Q Q P P F1 F2 L 2 u vuy 1 y n1 n2 图复解 19-5-3 第 18 页 共 30 页 2200221.101(/)m cm cvc （1）由此可解得 0.210.4170.421.10vcc （2）入射光子和散

30、射光子的动量分别为hpc和hpc，方向如图复解19-6所示。电子的动量为mv，m为运动电子的相对论质量。由动量守恒定律可得 022cos1(/)m vhcvc （3）022sin1(/)m vhcvc （4）已知 200.10hhm c （5）由（2）、（3）、（4）、（5）式可解得 200.37/m ch （6）200.27/m ch （7）127tanarctan()36.137 （8）电子从O点运动到A所需时间为 002.4/LtLcv （9）（2）当观察者相对于S沿OA方向以速度v运动时，由狭义相对论的长度收缩效应得 2201(/)LLvc （10）00.91LL （11）第 18 届

31、预赛 三、参考解答 1先求凸球面的曲率半径R。平行于主光轴的光线与平面垂直，不发生折射，它在球面上发生折射，交主光轴于F点，如图图复解 19-6 光子散射方向 光子入射方向 光子入射方向 电子 A 第 19 页 共 30 页 预解 18-3-1 所示。C点为球面的球心，COR，由正弦定理，可得 sinsin()RfrRri （1）由折射定律知 sin1sinirn （2）当i、r很小时，sin rr，sin()riri，sinii，由以上两式得 11111frnRrinn （3）所以 (1)Rnf （4）2.凸面镀银后将成为半径为R的凹面镜，如图预解 18-3-2 所示 令P表示物所在位置，P

32、点经平面折射成像P，根据折射定律可推出 P OnPO （5）由于这是一个薄透镜，P与凹面镜的距离可认为等于P O，设反射后成像于P，则由球面镜成像公式可得 112RP OP O （6）由此可解得36 cmP O，可知P位于平面的左方，对平面折射来说，P是一个虚物，经平面折射后，成实像于P点。1P OnP O （7）所以 24 cmP O （8）最后所成实像在透镜左方 24 cm 处。评分标准：本题 18 分（1）、（2）式各 2 分；（3）或（4）式 2 分；（5）式 2 分；（6）式 3 分；（7）式 4 分；（8）式 3 分。第 20 页 共 30 页 第 18 届复赛 一、参考解答 1.

33、对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图复解 18-1-1 所示，图中1C为左端球面的球心 由正弦定理、折射定律和小角度近似得 11111111111s i n11sin()(/)11AFRrrRiririrn （1）即 11111AFRn （2）光线1PF射到另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心2C一定在端面顶点B的左方，2C B等于球面的半径2R，如图复解 18-1-1 仿照上面对左端球面上折射的关系可得 12111BFRn （3）又有 11BFLAF

34、 （4）由（2）、（3）、（4）式并代入数值可得 25cmR （5）即右端为半径等于 5cm的向外凸的球面 2.设从无限远处物点射入的平行光线用、表示，令 过1C，过A，如图复解 18-1-2所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点M，即为左端球面对此无限远物点成的像点现在求M点的位置。在1AC M中 第 21 页 共 30 页 11111sin()sinsin()RAMAC （6）又 11sinsinn （7）已知1，1均为小角度，则有 1111(1)RAMn （8）与（2）式比较可知，1AMAF，即M位于过1F垂直于主光轴的平面上上面已知，玻璃棒为天文望远系统，则凡是过M点的傍轴光线从棒

35、的右端面射出时都将是相互平行的光线容易看出，从M射出2C的光线将沿原方向射出，这也就是过M点的任意光线（包括光线、）从玻璃棒射出的平行光线的方向。此方向与主光轴的夹角即为2，由图复 18-1-2可得 11 11122 112C FAFRC FBFR （9）由（2）、（3）式可得 111212AFRRRBFR 则 21122RR （10）第 17 届预赛 第 22 页 共 30 页 三、参考解答 物体S通过平行玻璃板及透镜成三次像才能被观察到。设透镜的主轴与玻璃板下表面和上表面的交点分别为A和B，S作为物，通过玻璃板H的下表面折射成像于点1S处，由图预解17-3，根据折射定律，有 sinsinn

36、inr 式中1.0n 是空气的折射率，对傍轴光线，i、r很小，sintanii，sintanrr，则 1ADADnSAS A 式中SA为物距，1S A为像距，有 1S AnSA （1）将1S作为物，再通过玻璃板H的上表面折射成像于点2S处，这时物距为11S BS AAB 同样根据折射定律可得像距 12S BS Bn （2）将2S作为物，通过透镜L成像，设透镜与H上表面的距离为x，则物距2uxS B根据题意知最后所成像的像距()vxSAAB，代入透镜成像公式，有 2111fxS BxSAAB （3）由（1）、（2）、（3）式代入数据可求得 1.0 cmx （4）即L应置于距玻璃板H上表面1.0

37、cm 处。第 17 届复赛 二、参考解答 在由直线BC与小球球心O所确定的平面中，激光光束两次折射的光路BCDE如图复解 17-2 所示，图中入射光线BC与出射光线DE的延长线交于G，按照光的折射定律有 第 23 页 共 30 页 0sinsinnn （1）式中与分别是相应的入射角和折射角，由几何关系还可知 sinlr （2）激光光束经两次折射，频率保持不变，故在两次折射前后，光束中一个光子的动量的大小p和p相等，即 hppc （3）式中c为真空中的光速，h为普朗克常量 因射入小球的光束中光子的动量p沿BC方向，射出小球的光束中光子的动量p沿DE方向，光子动量的方向由于光束的折射而偏转了一个角

38、度2，由图中几何关系可知 22()（4）若取线段1GN的长度正比于光子动量p，2GN的长度正比于光子动量p，则线段12N N的长度正比于光子动量的改变量p，由几何关系得 2 sin2sinhppc （5）12GN N为等腰三角形，其底边上的高GH与CD平行，故光子动量的改变量p的方向沿垂直CD的方向，且由G指向球心O 光子与小球作用的时间可认为是光束在小球内的传播时间，即 02 cos/rtcnn （6）式中0/cnn是光在小球内的传播速率。按照牛顿第二定律，光子所受小球的平均作用力的大小为 0sincosn hpftnr （7）按照牛顿第三定律，光子对小球的平均作用力大小Ff，即 0sinc

39、osn hFnr （8）第 24 页 共 30 页 力的方向由点O指向点G由（1）、（2）、（4）及（8）式，经过三角函数关系运算，最后可得 22022201(/)n lhrlFnrnr nl （9）评分标准：本题 20 分（1）式 1 分，（5）式 8 分，（6）式 4 分，（8）式 3 分，得到（9）式再给 4 分。六、参考解答 1由于光纤内所有光线都从轴上的O点出发，在光纤中传播的光线都与轴相交，位于通过轴的纵剖面内，图复解 17-6-1 为纵剖面内的光路图，设由O点发出的与轴的夹角为的光线，射至A、B分界面的入射角为i，反射角也为i该光线在光纤中多次反射时的入射角均为i，射至出射端面时

40、的入射角为若该光线折射后的折射角为，则由几何关系和折射定律可得 90i （1）sinsinFAnn （2）当i大于全反射临界角Ci时将发生全反射，没有光能损失，相应的光线将以不变的光强射向出射端面，而Cii的光线则因在发生反射时有部分光线通过折射进入B，反射光强随着反射次数的增大而越来越弱，以致在未到达出射端面之前就已经衰减为零了因而能射向出射端面的光线的i的数值一定大于或等于Ci，Ci的值由下式决定 sinACBnin （3）与Ci对应的值为 90CCi （4）第 25 页 共 30 页 当0C时，即220sinsincos1 sin1(/)BCCCAiinn时，或220sinABAnnn时

41、，由O发出的光束中，只有C的光线才满足Cii的条件，才能射向端面，此时出射端面处的最大值为 max90CCi （5）若0C，即220sinABAnnn时，则由O发出的光线都能满足Cii的条件，因而都能射向端面，此时出射端面处的最大值为 max0 （6）端面处入射角最大时，折射角也达最大值，设为max，由（2）式可知 maxmaxsinsinFAnn （7）由（6）、（7）式可得，当0C时 0maxsinsinAFnn （8）由（3）至（7）式可得，当0C时 22maxmaxcossinsinACFBAnninn （9）max的数值可由图复解 17-6-2 上的几何关系求得 21max22212

42、1()/2sin()/2()ddddhh （10）于是Fn的表达式应为 222121021()/2()sin()/2FAddhhnndd （0Caa）（11）2221212221()/2()()/2FBAddhhnnddn （0Caa）（12）第 26 页 共 30 页 2.可将输出端介质改为空气，光源保持不变，按同样手续再做一次测量，可测得1h、2h、1d、2d，这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同已知空气的折射率等于 1，故有 当0Caa时 222121021()/2()1sin()/2Addhhndd （13）当0Caa时 2221212221()/2()1()/2BAddhhnddn

43、（14）将（11）、（12）两式分别与（13）、（14）相除，均得 2221212122122121()/2()()/2()Fddhhddnddddhh （15）这结果适用于0为任何值的情况。评分标准：本题 25 分 1.18 分。（8）式、（9）式各 6 分，求得（11）式、（12）式再各给 3 分 第 27 页 共 30 页 2.7 分。（13）式、（14）式各 2 分，求得（15）式再给 3 分。如果利用已知其折射率的液体代替空气，结果正确，照样给分。第 16 届预赛 五、参考解答 1.用作图法求得物AP，的像A P及所用各条光线的光路如图预解16-5所示。说明：平凸薄透镜平面上镀银后构

44、成一个由会聚透镜L和与它密接的平面镜M的组合LM，如图预解16-5所示 图中O为L的光心，AOF为主轴，F和F为L的两个焦点，AP为物，作图时利用了下列三条特征光线：（1）由P射向O的入射光线，它通过O后方向不变，沿原方向射向平面镜M，然后被M反射，反射光线与主轴的夹角等于入射角，均为。反射线射入透镜时通过光心O，故由透镜射出时方向与上述反射线相同，即图中的OP（2）由P发出已通过L左方焦点F的入射光线PFR，它经过L折射后的出射线与主轴平行，垂直射向平面镜M，然后被M反射，反射光线平行于L的主轴，并向左射入L，经L折射后的出射线通过焦点F，即为图中的RFP（3）由P发出的平行于主轴的入射光线

45、PQ，它经过L折射后的出射线将射向L的焦点F，即沿图中的QF方向射向平面镜，然后被M反射，反射线指向与F对称的F点，即沿QF方向。此反射线经L折射后的出射线可用下法画出：通过O作平行于QF的辅助线S OS，S OS通过光心，其方向保持不变，与焦面相交于T点，由于入射平行光线经透镜后相交于焦面上的同一点，故QF经L折射后的出射线也通过T点，图中的QT即为QF经L折射后的出射光线。上列三条出射光线的交点P即为LM组合所成的P点的像，对应的A即A的像点由第 28 页 共 30 页 图可判明，像 A P是倒立实像，只要采取此三条光线中任意两条即可得 A P，即为正确的解答。2.按陆续成像计算物AP经L

46、M组合所成像的伙置、大小。物AP经透镜L成的像为第一像，取12uf，由成像公式可得像距12vf，即像在平向镜后距离2 f处，像的大小H与原物相同，HH。第一像作为物经反射镜M成的像为第二像。第一像在反射镜M后2 f处，对M来说是虚物，成实像于M前2 f处。像的大小H也与原物相同，HHH。第二像作为物，而经透镜L而成的像为第三像，这时因为光线由L右方入射，且物（第二像）位于L左方，故为虚物，取物32uf，由透镜公式33111uvf可得像距 333203fuvfuf 上述结果表明，第三像，即本题所求的像的位置在透镜左方距离23f处，像的大小H可由3313vHHu求得，即 1133HHH 像高为物高

47、的13。第 16 届复赛 二、参考解答 l 在所示的光路图（图复解16-2-1）中，人射光AB经透镜1L折射后沿BC射向2L，经2L折射后沿CD出射AB、BC、CD与透镜主轴的交点分别为P、P和P，如果P为物点，因由P沿主轴射向1O的光线方向不变，由透镜性质可知，P为P经过1L所成的像，P为P经2L所成的像，因而图中所示的1u、1v、2u、2v之间有下列关系：第 29 页 共 30 页 111111uvf （1）222111uvf （2）21duv （3）当入射光线PB与出射光线平行时，图中的，利用相似三角形关系可求得 21vhhu,21uhhv 从而求得 2211vuuv （4）联立方程（1

48、）、（2）、（3）、（4），消去1v、2u和2v，可得 1112()f dudff （5）由于d、1f、2f均已给定，所以1u为一确定值，这表明：如果入射光线与出射光线平行，则此入射光线必须通过主轴上一确定的点，它在1L的左方与1L相距1112()f dudff处，又由于1u与无关，凡是通过该点射向1L的入射光线都和对应的出射光线相互平行 2 由所得结果（5）式可以看出，当12dff时，10u，此情况下的光路图就是图复解16-2-1 第 30 页 共 30 页 当12dff时，1u，0，此时入射光线和出射光线均平行于主轴，光路如图复解16-2-2 当12dff时，10u，这表明P点在1L的右方，对1L来说，它是虚物由（1）式可知，此时10v，由2211fuvf可知，20u，又由21220uvvu可知，20v，所以此时的光路图如图复解16-2-3