北师大版二次函数经典总结与典型题32425.pdf

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1、 二次函数知识点 一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零二次函数的定义域是全体实数 2.二次函数2yaxbxc的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2 abc，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 二、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2yax的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2.2yaxc的性质：上加下减。3.2ya xh的性质：左加右减。a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上

2、 00，y轴 0 x 时，y随x的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x 时，y有最小值0 0a 向下 00，y轴 0 x 时，y随x的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x 时，y有最大值0 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0c，y轴 0 x 时，y随x的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x 时，y有最小值c 0a 向下 0c，y轴 0 x 时，y随x的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x 时，y有最大值c a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 4.2ya xhk的性质：三、二次函数图象的平移 1.平移步骤：方法一：将

3、抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk，确定其顶点坐标hk，；保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2.平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：cbxaxy2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成 mcbxaxy2（或mcbxaxy2）cbxaxy2沿轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy

4、2变成0a 向上 0h，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0 0a 向下 0h，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 hk，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k 0a 向下 hk，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）四、二次函数2ya xhk与2yaxbxc的比较 从解析式上看，2ya xh

5、k与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，五、二次函数2yaxbxc图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()ya xhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10 x，20 x，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数2yaxbxc的性质 1.当

6、0a 时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa 时，y随x的增大而减小；当2bxa 时，y随x的增大而增大；当2bxa 时，y有最小值244acba 2.当0a 时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa 时，y随x的增大而增大；当2bxa 时，y随x的增大而减小；当2bxa 时，y有最大值244acba 七、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；2.顶点式：2()ya xhk（a，h，k为常数，0a）；3.两根式：12()()ya xxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两

7、交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数a 二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a 当0a 时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越 大；当0a 时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小 2.一次项系数b 在二次项系数

8、a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在0a 的前提下，当0b 时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b 时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a 的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b 时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b 时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧 总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置 ab的符号的判定：对称轴abx2在y轴左边则0ab，在y轴的右侧则0ab，概括的说就是“左同右异”总结：3.常数项c 当0c 时，抛物线与y轴的交点在x

9、轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；当0c 时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置 总之，只要abc，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横

10、坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1.关于x轴对称 2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于x轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；2.关于y轴对称 2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；3.关于原点对称 2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶

11、点旋转 180）2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk 5.关于点mn，对称 2ya xhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式 十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系

12、（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y 时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：当240bac 时，图象与x轴交于两点1200A xB x，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根这两点间的距离2214bacABxxa.当0 时，图象与x轴只有一个交点；当0 时，图象与x轴没有交点.1 当0a 时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；2 当0a 时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y 2.抛物线2yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；3.二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图

13、象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)axbxc a本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的在联系：十一、函数的应用 二次函数应用刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少 二次

14、函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由 a 断,c 与 Y 轴来相见,b 的符号较特别，符号与 a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，左同右异中为 0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。二次函数抛物线，选定需要三个点，a 的正负开口判，c 的大小 y 轴看，的符号最简便，x 轴上数交点，a、b 同号轴左边抛物线平移 a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。一、二次函数的定义 例 1、已知函数 y=(m

15、1)xm2+1+5x3 是二次函数，求 m 的值。练习、若函数 y=(m2+2m7)x2+4x+5 是关于 x 的二次函数，则 m的取值围为 。二、五点作图法的应用 0 抛物线与x轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 0 抛物线与x轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 0 抛物线与x轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.例 2.已知抛物线yxx123522，（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴并用五点法作图（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB 的长 1、（2009）抛物线1822xxy

16、的顶点坐标为（A）（-2，7）（B）（-2，-25）（C）（2，7）（D）（2，-9）2、(2009 年)抛物线(1)(3)(0)ya xxa的对称轴是直线（）A1x B1x C3x D3x 3、（2009 年）把二次函数3412xxy用配方法化成khxay2的形式 三、abc，及bac24的符号确定 例 3.已知抛物线yaxbxc2如图，试确定：（1）abc，及bac24的符号；（2）abc与abc的符号。1、（2009 年市）已知二次函数2yaxbxc（0a）的图象如图所示，有下列四个结论：20040bcbac0abc，其中正确的个数有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2、（20

17、09 年市）已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，有以下结论：0abc；1abc；0abc；420abc；1ca其中所有正确结论的序号是（）A B C D 3、（2009 年枣庄市）二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列关系式中错1 1 1 O x y y x O 1 1 误的是（）Aa0 Bc0 Cacb420 Dcba0 4、（2009 年庆阳）图 12 为二次函数2yaxbxc的图象，给出下列说法：0ab；方程20axbxc的根为1213xx，；0abc；当1x 时，y 随 x 值的增大而增大；当0y 时，13x 其中，正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号）5、(2009

18、年)已知=次函数 yax2+bx+c 的图象如图则下列 5 个代数式：ac，a+b+c，4a2b+c，2a+b，2ab 中，其值大于 0 的个数为（）A2 B 3 C、4 D、5 四、二次函数解析式的确定 例 4.求二次函数解析式：（1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）；（2）顶点 M（-1，2），且过 N（2，1）；（3）已知抛物线过 A（1，0）和 B（4，0）两点，交 y 轴于 C 点且 BC5，求该二次函数的解析式。练习：根据下列条件求关于 x 的二次函数的解析式（1）当 x=3 时，y最小值=1，且图象过（0，7）（2）图象过点（0，2）（1，2）且对称轴为直线 x=32

19、（3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）五、二次函数与 x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）例5、已知抛物线 yx2-2x-8，（1）求证：该抛物线与 x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，且它的顶点为 P，求ABP 的面积。1、二次函数 yx2-2x-3 图象与 x 轴交点之间的距离为 2、如图所示，二次函数 yx24x3 的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，则ABC 的面积为()A.6 B.4 C.3 D.1 3、若二次函数 y(m+5)x2+2(m+1)x+m 的图象全部在 x 轴的上方，则 m 的取值围是 六、直线与

20、二次函数的问题 例 6 已知：二次函数为 y=x2x+m，（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m 为何值时，顶点在 x 轴上方，（3）若抛物线与 y 轴交于 A，过 A 作 ABx 轴交抛物线于另一点 B，当 SAOB=4 时，求此二次函数的解析式 1、抛物线 y=x2+7x+3 与直线 y=2x+9 的交点坐标为 。2、直线 y=7x+1 与抛物线 y=x2+3x+5 的图象有 个交点。例 7 （2006，枣庄）已知关于 x 的二次函数 y=x2mx+212m 与 y=x2mx222m，这两个二次函数的图像中的一条与 x 轴交于 A，B 两个不同的点 （1）试判断哪个二次函

21、数的图像经过 A，B 两点；（2）若 A 点坐标为（1，0），试求 B 点坐标；（3）在（2）的条件下，对于经过 A，B 两点的二次函数，当 x 取何值时，y 的值随x 值的增大而减小？练习(2009 年省)如图，在平面直角坐标系中，OBOA，且 OB2OA，点 A 的坐标是(1，2)（1）求点 B 的坐标；（2）求过点 A、O、B 的抛物线的表达式；（3）连接 AB，在（2）中的抛物线上求出点 P，使得 SABPSABO 例 8 （2006，市）已知：m，n 是方程 x26x+5=0 的两个实数根，且 mn，抛物线y=x2+bx+c 的图像经过点 A（m，0），B（0，n），如图所示 （1）

22、求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与 x 轴的另一交点为 C，抛物线的顶点为 D，试求出点 C，D 的坐标和BCD 的面积；（3）P 是线段 OC 上的一点，过点 P 作 PHx 轴，与抛物线交于 H 点，若直线 BC 把PCH 分成面积之比为 2：3 的两部分，请求出 P 点的坐标 【分析】（1）解方程求出 m，n 的值 用待定系数法求出 b，c 的值 （2）过 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 M，可求出DMC，梯形 BDBO，BOC 的面积，用割补法可求出BCD 的面积 （3）PH 与 BC 的交点设为 E 点，则点 E 有两种可能：EH=32EP，EH=23EP 【解答】

23、（1）解方程 x26x+5=0，得 x1=5，x2=1 由 mn，有 m=1，n=5 所以点 A，B 的坐标分别为 A（1，0），B（0，5）将 A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入 y=x2+bx+c，得10,5bcc 解这个方程组，得4,5bc 所以抛物线的解析式为 y=x24x+5 （2）由 y=x24x+5，令 y=0，得x24x+5=0 解这个方程，得 x1=5，x2=1 所以点 C 的坐标为（5，0），由顶点坐标公式计算，得点 D（2，9）过 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于 M，如图所示 则 SDMC=129（52）=272 S梯形 MDBO=122（9+5）=14，SBDC

24、=1255=252 所以 SBCD=S梯形 MDBO+SDMC SBOC=14+272252=15 （3）设 P 点的坐标为（a，0）因为线段 BC 过 B，C 两点，所以 BC 所在的直线方程为 y=x+5 那么，PH 与直线 BC 的交点坐标为 E（a，a+5），PH 与抛物线 y=x2+4x+5 的交点坐标为 H（a，a24a+5）由题意，得EH=32EP，即 （a24a+5）（a+5）=32（a+5）解这个方程，得 a=32或 a=5（舍去）EH=23EP，得 （a24a+5）（a+5）=32（a+5）解这个方程，得 a=23或 a=5（舍去）P 点的坐标为（32，0）或（23，0）七

25、、用二次函数解决最值问题 例 9 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：x（元）15 20 30 y（件）25 20 10 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数 （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【解析】（1）设此一次函数表达式为 y=kx+b则1525,220kbkb 解得 k=-1，b=40，即一次函数表达式为 y=-x+40 （2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元 w=（x-10）（4

26、0-x）=-x2+50 x-400=-（x-25）2+225 产品的销售价应定为 25 元，此时每日获得最大销售利润为 225 元 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程 例 3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线 如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m、25 m 处绳子在甩到最高处时刚好通

27、过他们的头顶已知学生丙的身高是 15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)()A15 m B1625 m C166 m D167 m 分析：本题考查二次函数的应用 答案：B 八、二次函数应用(一）经济策略性 1.某商店购进一批单价为 16 元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件 20 元的价格销售时，每月能卖 360 件若按每件25 元的价格销售时，每月能卖 210 件。假定每月销售件数 y(件）是价格 X 的一次函数.(1)试求 y 与 x 的之间的关系式.(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时

28、，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入总成本）2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹 1000 千克放养在塘，此时市场价为每千克 30 元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升 1 元，但是放养一天需各种费用支出 400 元，且平均每天还有 10 千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克 20 元。（1）设 X 天后每千克活蟹的市场价为 P 元，写出 P 关于 X 的函数关系式。（2）如果放养 X 天后将活蟹一

29、次性出售，并记 1000 千克蟹的销售额为 Q 元，写出 Q 关于 X 的函数关系式。（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额收购成本费用），最大利润是多少？自我检测（30 分钟）一.选择题。1.用配方法将12322xx化成a xbc2的形式（）A.123522x B.1232542x C.12322x D.12372x 2.对于函数yaxa20()，下面说确的是（）A.在定义域，y 随 x 增大而增大 B.在定义域，y 随 x 增大而减小 C.在，0，y 随 x 增大而增大 D.在0，y 随 x 增大而增大 3.已知abc000，那么yaxbxc2的图象（）4.已

30、知点（-1，3）（3，3）在抛物线yaxbxc2上，则抛物线的对称轴是（）A.xab B.x 2 C.x 3 D.x 1 5.一次函数yaxb和二次函数yaxbxc2在同一坐标系的图象（）6.函数yxx33322的最大值为（）A.94 B.32 C.32 D.不存在 二.填空题。7.ymxmxm11321是二次函数，则m _。8.抛物线yxx52222的开口向_，对称轴是_，顶点坐标是_。9.抛物线yaxbxc2的顶点是（2，3），且过点（3，1），则a _，b _，c _。10.函数yxx 123522图象沿 y 轴向下平移 2 个单位，再沿 x 轴向右平移 3 个单位，得到函数_的图象。三

31、.解答题。12.抛物线yxmxmm 222243，m 为非负整数，它的图象与 x 轴交于 A 和 B，A 在原点左边，B 在原点右边。（1）求这个抛物线解析式。（2）一次函数ykxb的图象过 A 点与这个抛物线交于 C，且SABC 10，求一次函数解析式。参考答案 一.选择题。1.A 2.C 3.C 4.D 5.C 6.C 二.填空题。7.1 8.下；x 58；583932，9.285，10.333，大，11.yx 122 三.解答题。12.（1）02m mmm24307272 又m 为非负整数 m0 抛物线为yxx 223 （2）又 A（-1，0），B（3，0）AB4 设 C 点纵坐标为 a

32、 12410a a5 当a 5时，方程xx2220无解 当a 5时，方程xx2280 CAyxCAyx451012510552，强化训练 一、填空题 1（2006，）右图是二次函数 y1=ax2+bx+c 和一次函数y2=mx+n 的图像，观察图像写出 y2y1时，x 的取值围_ 2（2005，省）已知抛物线 y=a2+bx+c 经过点 A（2，7），B（6，7），C（3，8），则该抛物线上纵坐标为8 的另一点的坐标是_ 3已知二次函数 y=x2+2x+c2的对称轴和 x 轴相交于点（m，0），则 m 的值为_ 4（2005，市）若二次函数 y=x24x+c 的图像与 x 轴没有交点，其中 c

33、 为整数，则c=_（只要求写出一个）5（2005，省）已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点（1，2）与（1，4），则 a+c 的值是_ 6甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为 P，羽毛球飞行的水平距离 s（m）与其距地面高度 h（m）之间的关系式为 h=112s2+23s+32如下左图所示，已知球网 AB 距原点 5m，乙（用线段 CD 表示）扣球的最大高度为94m，设乙的起跳点 C 的横坐标为 m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则 m 的取值围是_ 7（2005，省）二次函数 y=x22x3 与 x 轴两交点之间的距离为_ 8（2008，

34、庆阳）市“安居工程”新建成的一批楼房都是 8 层高，房子的价格 y（元/m2）随楼层数 x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如上右图），则 6 楼房子的价格为_元/m2 二、选择题 9（2008，）二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图所示，则下列关系式不正确的是（）Aa0 Ca+b+c0 (第 9 题)(第 12 题)(第 15 题)10（2008，威海）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像过点 A（1，2），B（3，2），C（5，7）若点 M（2，y1），N（1，y2），K（8，y3）也在二次函数 y=ax2+bx

35、+c的图像上，则下列结论中正确的是（）Ay1y2y3 By2y1y3 Cy3y1y2 Dy1y30）交 x 轴 A，B 两点，交 y 轴于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，点 B 的坐标为（1，0）（1）求抛物线的对称轴及点 A 的坐标；（2）过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点 P，你能判断四边形 ABCP 是什么四边形？并证明你的结论；（3）连接 CA 与抛物线的对称轴交于点 D，当APD=ACP 时，求抛物线的解析式 18（2006，）如图所示，m，n 是方程 x26x+5=0 的两个实数根，且 mn，抛物线y=x2+bx+c 的图像经过点 A（m，0），B（0，n）

36、（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与 x 轴的另一交点为 C，抛物线的顶点为 D，试求出点 C，D的坐标和BCD 的面积；（3）P 是线段 OC 上的一点，过点 P 作 PHx 轴，与抛物线交于点 H，若直线 BC把PCH 分成面积之比为 2：3 的两部分，请求出点 P 的坐标 19（2006，市）某地计划开凿一条单向行驶（从正过）的隧道，其截面是抛物线拱形ACB，而且能通过最宽 3m，最高 3.5m 的厢式货车按规定，机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是 0.5m 为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线 AB 为 x 轴，线段 AB

37、的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度 AB 和拱高 OC 20（2005，省）已知一个二次函数的图像过如图所示三点 （1）求抛物线的对称轴；（2）平行于 x 轴的直线 L 的解析式为 y=254，抛物线与 x 轴交于 A，B 两点 在抛物线的对称轴上找点 P，使 BP 的长等于直线 L 与 x 轴间的距离 求点 P 的坐标 21（2005，省）如图 576 所示，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图像与 x 轴交于A，B 两点，其中 A 点坐标为（1，0），点 C（0，5），D（1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式；

38、（2）求MCB 的面积 22（2005，市）如图所示，过 y 轴上一点 A（0，1）作 AC 平行于 x 轴，交抛物线 y=x2（x0）于点 B，交抛物线 y=12x2（x0）于点 C；过点 C 作 CD 平行于 y 轴，交抛物线 y=x2于点 D；过点 D 作 DE 平行于 x 轴，交抛物线 y=14x2于点 E （1）求 AB：BC；（2）判断 O，B，E 三点是否在同一直线上？如果在，写出直线解析式；如果不在，请说明理由 答案 12x1 2（1，8）31 4答案不唯一（略）53 65m4+7 74 82080 9C 10B 11B 12D 13D 14B 15B 16D 17（1）对称轴

39、是直线 x=2，A 点坐标为（3，0）（2）四边形 ABCP 是平行四边形 （3）ADECDP，PEPD=12 ADEPAE，12=3tt，t=3 将 B（1，0）代入 y=ax2+4ax+t 得 t=3a，a=33 抛物线解析式为 y=33x2+4 33x+23 18（1）y=x24x+5 （2）C（5，0），D（2，9）SBCD=15 （3）设 P（a，0），BC 所在直线方程为 y=x+5 PH 与直线 BC 的交点坐标为 E（a，a+5）PH 与抛物线 y=x24x+5 的交点坐标为 H（a，a24a+5）若 EH=32EP则（a24a+5）（a+5）=32（a+5），则 a=32或

40、a=5（舍）若 EH=23EP，则（a24a+5）（a+5）=23（a+5），则 a=23或 a=5（舍）P（32，0）或（23，0）19如图所示，由条件可得抛物线上两点的坐标分别为 M（32，4），N（2，72），设抛物线的表达式为 y=ax2+c，则94,474.2acac 解这个方程组，得2,76514ac y=27x2+6514，当 x=0 时，y=6514，C（0，6514），OC=6514 当 y=0 时，27x2+6514=0，解得 x=652 A（652，0），B（652，0），AB=65 所以，抛物线拱形的表达式为 y=27x2+6514 隧道的跨度 AB 为65m，拱高 O

41、C 为6514m 20（1）设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c 根据题意，得321645cabcabc ，解得163abc 即 y=x2+6x3=（x3）2+6 抛物线的对称轴为直线 x=3 （2）解得点 B（3+6，0）设点 P 的坐标为（3，y），如图，由勾股定理，得 BP2=BC2+PC2，即 BP2=（3+63）2+y2=y2+6 L 与 x 轴的距离是254，y2+6=（254）2，解 y=234 所求点 P 为（3，234）或（3，234）21（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，根据题意得058abccabc，解得145abc 所求抛物线的解析式为 y=x2+4

42、x+5 （2）C 点坐标为（0，5），OC=5，令 y=0 则x2+4x+5=0，解得 x1=1，x2=5 B 点坐标为（5，0），OB=5 y=x2+4x+5=（x2）2+9，顶点 M 的坐标为（2，9）过点 M 作 MNAB 于点 N，则 ON=2，MN=9 SMCB=S梯形 OCMN+SBNM SOBC=12（5+9）2+129（52）125 5=15 22（1）A（0，1）B 点纵坐标为 1，1=x2，x0，x=1，B（1，1），AB=1 C 点纵坐标为 1，1=14x2，x2=4，x0，x=2 C（2，1），BC=1，AB：BC=1：1 （2）D 点的横坐标为 2，D 在 y=x2上，则 D（2，4）E 点的纵坐标为 4，E 在 y=14x2，则 E（4，4）过 O（0，0），B（1，1）的直线解析式为 y=x E（4，4）在这条直线上，所以 O，B，E 三点在同一条直线上，并且直线解析式为 y=x