坐标系与参数方程第四十一讲坐标系与参数方程答案5677.pdf

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1、 专题十五 坐标系与参数方程 第四十一讲 坐标系与参数方程 答案部分 2019 年 1 t 2 1解析（1）因为 1 1 ，且 1 t 2 x 2 2 2 2 2 y 1 t 4t 1，所以 C 的直角 2 1 t 1 t 2 2 2 坐标方程为 y 2 x2 1(x 1).4 l 的直角坐标方程为 2x 3y 11 0.cos,x（2）由（1）可设 C 的参数方程为 y 2sin （为参数，）.4 cos 11|2 cos 2 3 sin 11|3 .C 上的点到l 的距离为 7 7 2 时，4 cos 11取得最小值 7，故 C 上的点到l 距离的最小值为 7.当 3 3 2解析（1）因为

2、 M 0,0 在 C 上，当 0 3 由已知得|OP|OA|cos 2.3 时，.0 4 sin 2 3 3 设Q(,)为 l 上除 P 的任意一点.在 RtOPQ 中 cos|OP|2 3 ，经检验，点 P(2,)3 在曲线 cos 2 上.3 所以，l 的极坐标方程为 cos 2 3 .（2）设 P(,)，在 RtOAP 中，|OP|OA|cos 4 cos,即 4 cos .因为 P 在线段 OM 上，且 AP OM，故 的取值范围是,4 2 .1 所以，P 点轨迹的极坐标方程为 4 cos,4 2 .3.解析（1）由题设可得，弧 AB,BC,CD 所在圆的极坐标方程分别为 2 cos

3、，2 cos .2 sin 所 以 M1 的 极 坐 标 方 程 为 2 cos 0 剟，4 M 的 极 坐 标 方 程 为 2 2sin 剟，M 的极坐标方程为 3 3 4 4 2 cos 剟 .4 3（2）设 P(,)，由题设及（1）知 0 剟 ，则 2 cos 3，解得 ；若 4 6 3 或 2 剟，则 2 sin 3，解得 ；若 4 4 3 3 3 5 剟 ，则 2 cos 3，解得 .若 4 6 综上，P 的极坐标为 3,6 3,或 3 2 3,或 3 5 3,或 6 .4.解析 由圆的参数方程，可得圆的普通方程为 x 2 y 1 4，2 2 因为直线 ax y 2 0 和圆相切，2

4、a 1 2 所以圆心2,1到直线 ax y 2 0 的距离 d 2 r a 1 2 ，解得 3 a 4 2010-2018 年 11 2【解析】利用 x cos ，y sin ，可得直线的方程为 x y a 0，圆 的方程为(x 1)2 y2 1，所以圆心(1,0)，半径 r 1，由于直线与圆相切，故圆心 2 到直线的距离等于半径，即|1 a|1，a 1 2 或1 2，2 又 a 0，a 1 2 21【解析】圆的普通方程为 x2 y2 2x 4y 4 0，即(x 1)2 (y 2)2 1 设圆心为C(1,2)，所以|AP|PC|r 2 1 1 min 32【解析】直线的普通方程为 2 3x 2

5、y 1 0，圆的普通方程为 x2 (y 1)2 1，因为圆心到直线的距离 3 d 1，所以有两个交点 4 42【解析】将 cos 3 sin 1 0 化为直角坐标方程为 x 3y 1 0，将=2cos 化为直角坐标方程为(x 1)y 1，圆心坐标为(1,0)，半径 r=1，又(1，0)在直线 2 2 x 3y 1 0 上，所以|AB|=2r=2 5 5 2 2 【解析】由 2 sin()2?=，所以 y-x=1，-=得 2 2(sin cos)2 4 2 故直线l 的直角坐标方程为 x-y+1=0，而点 7 A(2 2,)4 对应的直角坐标为 A(2,-2)，所以点 A(2,-2)到直线l：x

6、-y+1=0 的距离为|2+2+1|5 2=2 2 66【解析】圆 =8sin 即 2=8 sin ，化为直角坐标方程为 x2+(y-4)2=16，直线 =，则 tan =3，化为直角坐标方程为 3x-y=0，圆心(0,4)到直线 3 的距离为|-4|4 =2，所以圆上的点到直线距离的最大值为 6 7【解析】(1)由 x cos ，y sin 得C 的直角坐标方程为(x 1)2 y2 4 2(2)由(1)知C2 是圆心为 A(1,0)，半径为 2 的圆 由题设知，C1 是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线记 y 轴右边的射线为 l，y 1 轴左边的射线为l2 由于 B 在圆C2 的

7、外面，故C1 与C2 有且仅有三个公共点等价于l1 与 3 C 只有一个公共点且l 与C 有两个公共点，或l 与C 只有一个公共点且l 与C 有两 2 2 2 2 2 1 2 个公共点 当 l1 与 C2 只有一个公共点时，A 到 l1 所在直线的距离为 2，所以|2|k k 1 2 2，故 4 k 或 k 0 3 4 经检验，当 k 0 时，k 时，l 与C 没有公共点；当 l 与C 只有一个公共点，l 1 2 1 2 2 3 与C2 有两个公共点 当l2 与C2 只有一个公共点时，A 到l2 所在直线的距离为 2，所以|k 2|k 1 2 2 ，故 k 0 4 k 或 3 4 经检验，当

8、k 0 时，k 时，l 与C 没有公共点；当 l 与C 没有公共点 1 2 2 2 3 4 综上，所求C1 的方程为 y x|2 3 8【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为 x y 2 2 1 4 16 当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为 y tan x 2 tan ，当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为 x 1(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1 3cos)t 4(2 cos sin)t 8 0 2 2 因为曲线 C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以有两个解，设为t，t，则 1 2 t1 t2 0 又由得 4(2 cos sin)

9、t t ，故 2 cos sin 0，于是直线 l 的斜率 1 2 2 1 3cos k tan 2 9【解析】(1)e O 的直角坐标方程为 x2 y2 1 时，l 与 e O 交于两点 当 2 4 当 时，记 tan k，则 l 的方程为 y kx 2 l 与 e O 交于两点当且仅当 2 2 或 (,)|1 ，解得 k 1 或 k 1，即(,)1 k 4 2 2 4 2 综上，的取值范围是(,)4 4 cos,x t (2)l 的参数方程为 2 sin y t (t 为参数，)4 4 设 A，B，P 对应的参数分别为tA，tB，tP，则 t P t t A B，2 且 t，t 满足 t2

10、 2 2tsin 1 0 A B 于是 t t 2 2 sin ，t 2 sin 又点 P 的坐标(x,y)满足 A B P x t cos,P y 2 t sin.P 所以点 P 的轨迹的参数方程是 2 x sin 2,2 2 2 y 2 2 cos 2 (为参数，)4 4 10C【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ，所以曲线C 的圆心为(2,0)，直径为 4 的圆 因为直线l 的极坐标方程为 sin()2，6 则直线l 过 A(4,0)，倾斜角为 6 ，所以 A 为直线l 与圆C 的一个交点 设另一个交点为 B，则OAB=6 连结 OB，因为 OA 为直径，从而OBA=2 ，l

11、O A x B 5 所以 AB 4 cos 2 3 6 因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为 2 3 11【解析】（1）曲线C 的普通方程为 x 2 9 y2 1 当 a 1时，直线l 的普通方程为 x 4y 3 0 x 4y 3 0 由 2 x y 1 2 9 解得 x 3 y 0 或 21 25 x 24 y 25 21 24 从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，(,)25 25（2）直线l 的普通方程为 x 4y a 4 0，故C 上的点(3cos,sin)到l 的距离为 d|3cos 4 sin a 4|17 当 a 4 时，d 的最大值为 9 a 17 由题设得 a 9 17 17

12、 ，所以 a 8；当 a 4时，d 的最大值为 1 a 由题设得 17 a 1 17 17 ，所以 a 16 综上，a 8或 a 16 12【解析】（1）设 P 的极坐标为(,)(0)，M 的极坐标为(,)1 (0)1 由椭圆知 4|OP|，|OM|1 cos 由|OM|OP|16 得C 的极坐标方程 4 cos (0)2 因此 C 的直角坐标方程为(x 2)2 y2 4(x 0)2（2）设点 B 的极坐标为(,)(0)由题设知|OA|2，4 cos ，于是 B B B OAB 面积 1 S|OA|sin AOB B 2 6 4 cos|sin()|3 3 2|sin(2 )|3 2 2 3

13、当 时，S 取得最大值 2 3 12 所以 OAB 面积的最大值为 2 3 13【解析】（1）消去参数t 得 1 2 ；l 的普通方程l:y k x 1 1 消去参数 m 得l 的普通方程l:y x 2 2 2 k 设 P(x,y)，由题设得 y k x 2 ，消去 k 得 x y y 2 2 4 0 1 y x 2 k 所以C 的普通方程为 x y y 2 2 4 0 （2）C 的极坐标方程为 2 cos2 sin2 4 0 2,cos sin 2 2 2 4 联立 得 cos sin=2 cos+sin +-2=0 cos sin 1 3 故 tan 2 9 2 1 ，从而 cos sin

14、 =，=10 10 代入 cos sin 2 2-2 =4 得 2=5，所以交点 M 的极径为 5 14【解析】直线l 的普通方程为 x 2y 8 0.因为点 P 在曲线C 上，设 P(2s2,2 2s)，d 从而点 P 到直线l 的的距离|2s2 4 2s 8|2(s 2)2 4 (1)(2)2 2 5 ，当 s 2 时，4 5 d .min 5 7 因此当点 P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点 P 到直线l 的距离取到最小值 4 5 5 .cos x a t 15【解析】(1)y 1 asint （t 均为参数）2 x2 y 1 a2 C 为以 0，1 为圆心，a 为半径的圆方程为 1

15、 x2 y2 2y 1 a2 0 x2 y2 2，y sin 2 2 sin 1 a2 0 即为 C 的极坐标方程 1(2)C2：4cos 两边同乘 得 2 4 cos Q 2 x2 y2，cos x x2 y2 4x 即 2 2 x 2 y 4 C：化为普通方程为 y 2x，由题意：C 和C 的公共方程所在直线即为 C 3 1 2 3 得：4x 2y 1 a2 0，即为 C 3 1 a2 0，a 1 16【解析】（）整理圆的方程得 x2 y2 12 11 0，由 2 2 2 x y2 2 2 x y cos x sin y 可知圆 C 的极坐标方程为 2 12 cos 11 0()记直线的斜

16、率为 k，则直线的方程为 kx y 0，由垂径定理及点到直线距离公式知：2 6k 10 25 2 2 1 ，k 36k 90 2 即 1 k 4 2 k 5，则 15，整理得 2 k 3 3 17【解析】（）C 的普通方程为 1 x 2 3 y2 1，C 的直角坐标方程为 x y 4 0.2（）由题意，可设点 P 的直角坐标为(3 cos,sin)，因为 C 是直线，2 8 所以|PQ|的最小值，即为 P 到C 的距离 d()的最小值，2 d()2|sin()2|3 cos sin 4|2 3 当且仅当 2k (k Z)时，d()取得最小值，最小值为 2，6 3 1 此时 P 的直角坐标为(,

17、)2 2 18【解析】椭圆C 的普通方程为 y 2 x2 1，将直线l 的参数方程 4 1 x 1 t 2 3 y t 2 ，代入 3(t)2 y 1 2 2 x ，得 ，即7t2 16t 0，2 1(1 t)1 2 4 2 4 16 解得 t1 0，t .2 7 16 所以 AB|t t|.1 2 7 19【解析】（）因为 x cos,y sin ，C 的极坐标方程为 C 的极坐标方程为 cos 2，1 2 2 2 cos 4 sin 4 0 （）将=代入 2 2 cos 4 sin 4 0，得 2 3 2 4 0，4 解得 =2 2，1 =2，|MN|=2 1 =2，2 1 =1 因为C

18、的半径为 1，则VC MN 的面积 2 1 sin 45o 2 2 2 2 C 的直角坐标方程为 x2 y2 2y 0，曲线 20【解析】（）曲线 C 的直角坐标方程为 2 3 2 2 x y 2y 0,x2 y2 2 3x 0 联立 x y 2 3x 0,2 2 x 解得 y 0,0,或 x y 3 2 3,2 ,3 3 C 与C 交点的直角坐标为(0,0)和(,)所以 2 1 2 2 9 （）曲线 C 的极坐标方程为 (R,0)，其中0 1 因此 A 得到极坐标为(2 sin,)，B 的极坐标为(2 3 cos,)所以 AB 2sin 2 3 cos 4 in()，s 3 5 当 时，AB

19、 取得最大值，最大值为 4 6 21【解析】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 ，以极轴为 x 轴的正半轴，建 立直角坐标系 xoy 2 2 2 2 2 sin cos 4 0 圆 C 的极坐标方程为 ，2 2 化简，得 2 2 sin 2 cos 4 0 则圆 C 的直角坐标方程为 x2 y2 2x 2y 4 0，即 x 1 y 1 6，所以圆 C 的半径为 6 2 2 22【解析】（）由 2 3 sin,得 2 3 sin ，2 2 从而有 x2+y2 2 3y,所以 x2+y 3 3 （）设 1 3 P(3+t,t),又 C(0,3)，2 2 2 2 1 3 2 则 2 2 ，故当t

20、=0 时，|PC|取最小值，此时 P 点的直角坐标为(3,0).x 2 cos.23【解析】（I）曲线 C 的参数方程为 为参数().y 3sin.直线 的普通方程为2 5 分 l x y 6 0.（）曲线 C 上任意一点P(2cos.3sin)到 l的距离为 5 d 4 cos 3sin 6.5 10 d 2 5 4 则 其中 为锐角，且 PA 5 sin()6,tan .sin 30 5 3 22 5 当 sin(+)=-1时，PA 取得最大值，最大值为.5 2 5 当 sin()1时，PA 取得最小值，最小值为.5 24【解析】（I）C 的普通方程为(x 1)y 1(0 y 1)2 2

21、可得 C 的参数方程为 x t 1 cos,y sint,（t 为参数，0 t x）（）设 D(1 cost,sin t).由（I）知 C 是以 G（1,0）为圆心，1 为半径的上半圆。因为 C 在点 D 处的切线与 t 垂直，所以直线 GD 与 t 的斜率相同，tant 3,t 3 ，即(3,3)故 D 的直角坐标为(1 cos,sin)3 3 2 2 25【解析】将 4 5 cos x t y 5 5sint 消去参数t，化为普通方程(x 4)2 (y 5)2 25，即 C：x2 y2 8x 10y 16 0，将 1 x y cos sin 代入 x2 y2 8x 10y 16 0 得，2

22、 8 cos 10 sin 16 0，C 的极坐标方程为 2 8 cos 10 sin 16 0；1（）C 的普通方程为 x2 y2 2y 0，2 由 2 2 x y 8x 10y 16 0 x y 2y 0 2 2 x 1 0 x 解得 或，y 1 y 2 C 与C 的交点的极坐标分别为(2,1 2 4 )，(2,)2 26【解析】（）由题意有 P 2 cos,2sin ,Q 2cos 2,2sin 2 ,因此 M cos cos 2,sin sin 2 11 x cos cos 2,M 的轨迹的参数方程为 y sin sin 2,（0 2 ）（）M 点到坐标原点的距离 d x2 y2 2

23、2 cos （0 2 ）当 时，d 0，故 M 的轨迹过坐标原点 5 4 11 27【解析】（1）点 A,B,C,D 的极坐标为(2,),(2,),(2,),(2,)3 6 3 6 点 A,B,C,D 的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)（2）设 x 0 P(x,y)；则 0 0 y 0 2cos 3sin ()为参数 t PA PB PC PD 4x 4y 16 2 2 2 2 2 2 0 0 32 20sin2 32,52 x y 28【解析】（I）设 P(x,y)，则由条件知 M(,2 2 ).由于 M 点在C 上，所以 1 x 2 cos 2 y 2 2 sin 2 x 4 cos ，即 y 4 4sin 从而C 的参数方程为 2 x 4 cos y 4 4sin （为参数），（）曲线C1 的极坐标方程为 4 sin ，曲线C 的极坐标方程为 8sin 2 射线 C 的交点 A 的极径为 与 1 4 sin ，1 3 3 射线 C 的交点 B 的极径为 与 2 8sin 2 3 3 所以|AB|2 1|2 3 12