第八章多元函数微分法及其应用2671.pdf

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1、 1 第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 在第一至第六章中，我们讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数.但在许多实际应用问题中，我们往往要考虑多个变量之间的关系，反映到数学上，就是要考虑一个变量（因变量）与另外多个变量（自变量）的相互依赖关系.由此引入了多元函数以及多元函数的微积分问题.本章将在一元函数微积分学的基础上，进一步讨论多元函数的微积分学.讨论中将以二元函数为主要对象，这不仅因为有关的概念和方法大都有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然推广到二元以上的多元函数.本节主要内容：1 领域 2 平面区域的概念 3 聚点与孤立点 4 n维空

2、间的概念 5 多元函数的概念 6 二元函数的极限 7 多元函数的连续性 8 二元初等函数 9 闭区域上连续函数的性质 讲解提纲：一、平面点集,邻域,点集 E 的内点、外点、边界点、聚点、开集、闭集、连通集、区域、闭区域、有界集、无界集等概念.点集,|),(00PPPPU 称为点0P的邻域.平面区域的概念：连通的开集称为区域或开区域；开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.如果对于任意给定的0，点P 的去心邻域),(0PU 内总有E中的点，则称P为E的聚点；如果存在),(0PU，使得EPU),(0，则称P为E的孤立点.二、n维空间中的线性运算,距离,n维空间的概念.n元有序数组),(21n

3、xxx的全体称为n维空间 三、多元函数的概念 设非空点集,nRD 映射RDf:称为定义在D上的n元函数，记作 ;),(),(21DPPfuxxxfun或称 点 集D为 函 数 的 定 义 域，数 集 ),(|DPPfuu为函数的值域.四、二元函数的极限 设二元函数),()(yxfPf的定义域为D，),(000yxP 为D的聚点.如果存 2 在常数A，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点),(),(00PUDyxP时，都有|),(|)(|AyxfAPf成立，那么就称常数A为函数),(yxf当),(),(00yxyx时的极限.五、多元函数的连续性 设n元函数)(Pf定义在D上，聚点DP 0，如

4、果存在)()(lim00PfPfPP，则称n元函数)(Pf在0P点连续，否则成为不连续，此时0P为间断点.如果函数在D上各点处都连续，则称函数为D上的连续函数.多元初等函数的连续性结论：一切多元初等连续函数在其定义区域内连续.六、多元初等函数 可用一个式子表示的多元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.七、闭区域上连续函数的性质 有界性与最大值最小值定理；介值定理；一致连续性定理.例题选讲：多元函数的概念 例 1 求二元函数221)ln(yxxxyz的定义域.解：定义域为010022yxxxy，解得.,0,1|),(22xyxyxyxD 例

5、 2 已知函数,),(2222yxyxyxyxf 求),(yxf.二元函数的极限 例 3 求极限 2222001sin)(limyxyxyx.解：函数22221sin)(),(yxyxyxf的定义域为0|),(22yxyxD，原点)0,0(为聚点，而221sinyx 有界，故.01sin)(lim222200yxyxyx 例 4 求极限.)ln(lim2201yxexyyx 3 解：.0|),(,)ln(),(2222yxyxDyxexyxfy其定义域为为初等函数)0,0(为聚点，故.2ln12ln)ln(lim2201yxexyyx 例 5 求极限 22limyxyxyx.例 6 求极限.4

6、2lim00 xyxyyx 解：因为,421)42()42)(42(42xyxyxyxyxyxyxy 所以.41421lim42lim0000 xyxyxyyxyx 例 7 求xyyxyx)(lim2200.例 8 证明 yxyxyx00lim 不存在.解：当,1)0,(lim),(lim,)0,0(),(00)0,0(),(xfyxfxyxPxyyx时轴趋向于沿 .1),0(l i m),(l i m,)0,0(),(00)0,0(),(yfyxfyyxPyxyx时轴 趋 向 于沿 所以),(yxP沿不同的路径趋向于原点时所得的极限值不一样，故极限不存在.例 9 证明 2222200)(li

7、myxyxyxyx不存在.例 10 证明 yxyxxy100)1(lim极限不存在.二元函数的连续性 例 11 讨论二元函数)0,0(),(,0)0,0(),(,),(222yxyxyxxyyxf 4 在)0,0(处的连续性.解：当.),(,)0,0(),(222显然连续时yxxyyxfyx 当,21),0,0(),(,)0,0(),(22yxxyyxyx时),0,0(0)(limlim22)0,0(),(222)0,0(),(fyyxxyyxxyyxyx 故.),(.)0,0(),(2上处处连续在因此处也连续在Ryxfyxf 例 12 求极限.1)ln(lim210 xyyxyx 课堂练习

8、1.设,22yxxyyxf 求).,(yxf 2.若点),(yx沿着无数多条平面曲线趋向于点),(00yx时,函数),(yxf都趋向于 A,能否断定?),(lim),(),(00Ayxfyxyx 3.讨论函数 0,00,),(2222422yxyxyxxyyxf 的连续性.第二节 偏导数 本节主要内容 1 偏导数的定义 2 偏导数的几何意义 3 高阶偏导数：二阶或二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.讲解提纲：一、偏导数的定义及其计算法 设函数),(yxfz 在点),(00yx的某一邻域内有定义当y固定在0y而x在0 x处有增量x时，相应地函数有增量),(),(0000yxfyxxf 如果 5 x

9、yxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz 在点),(00yx处对x的偏导数，记作).,(,00000000yxfzxfxzxyyxxxyyxxyyxx或类似地，函数),(yxfz 在点),(00yx处 对y的 偏 导 数 定 义 为yyxfyyxfy),(),(lim00000，记 作).,(,00000000yxfzyfyzyyyxxyyyxxyyxx或 关于多元函数的偏导数，我们补充以下几点说明：1对一元函数而言，导数dxdy可看作函数的微分dy与自变量的微分dx的商.但偏导数的记号xu是一个整体.2与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用

10、偏导数的定义来求.3在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续.但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续.二、偏导数的几何意义 偏导数的几何意义：偏导数),(00yxfx表示曲面被平面0yy 所截得的曲线在点),(,(00000yxfyxM处的切线xTM0对x轴的斜率；偏导数),(00yxfy表示曲面被平面0 xx 所截得的曲线在点),(,(00000yxfyxM处的切线yTM0对y轴的斜率 三、高阶偏导数 函数),(yxfz 的二阶偏导数yxzxyzyzxz222222,的概念，两个二阶混合偏导数xyz2及yxz2与求导次序无关的充分

11、条件.例题选讲：偏导数的定义及其计算法 例 1 求yxz2sin2的偏导数.解：.2cos2,2sin22yxyzyxxz 例 2 设),1,0(xxxzy 求证 zyzxxzyx2ln1.6 解：设,lnxyez 求其偏导数得.lnln,1lnlnxxxeyzxyxxyexzyxyyxy 则有.22lnln1ln1zxxxxxyxyxyzxxzyxyyy 得证.例 3 求三元函数)sin(2zeyxu的偏导数.解：.)cos(,)cos(2),cos(222zzzzeeyxzuyeyxyueyxxu 例 4 求zyxu)arctan(的偏导数.例 5 函数)0,0(),(,0)0,0(),(

12、,),(22yxyxyxxyyxf 的偏导数)0,0(),0,0(yxff存在，但),(yxf在)0,0(点不连续.高阶偏导数 例 6 设yxxyyxxz223334,求.,33222222xzyzyxzxyzxz 解：因为.163,13612222xyxyzyxyxxz 则 .24,66,66,6,62433222222xzyxxyzyxyxzxyzyxxz 例 7 设222),(zxyzxyzyxf,求 )1,0,2()0,1,0(),2,0,1(),1,0,0(zzxyzxxxxffff及.解：因为.0,2,2,2,222zzxyzyxxxfzfzxyfzfxzyf 所以.0)1,0,2

13、(,0)0,1,0(,4)2,0,1(,1)1,0,0(zzxyzxxxxffff 例 8 求xyzarctan的二阶偏导数.例 9 验证函数 nxeytknsin2满足方程.22xykty.7 证明：因为.sin,sin,cos2222222nxekntynxenxynxnexytkntkntkn 显然满足.22xykty 例 10 证明函数ru1满足拉普拉斯方程 0222222zuyuxu,其中 222zyxr.例 11 设 0,0,00,0,2222yxyxyxyxxyyxf,试求 0,0 xyf及.0,0 xyf 课堂练习 1.若函数),(yxf在点),(000yxP连续,能否断定),

14、(yxf在该点的偏导数必定存在?2.求0,00,2424242yxyxyxyxz在点(0,0)的一阶偏导数.3.设,arctan)1(sin),(yxxyeyxfzxy试求)1,1(xf及).1,1(yf 8 第三节 全微分及其应用 本节主要内容：1 偏增量与全增量 2 全微分的定义 3 可微的必要条件和可微的充分条件 4 多元函数连续、可导、可微的关系 5 全微分在近似计算中的应用 6 绝对误差与相对误差 讲解提纲：一、全增量z与偏增量zzyx,),(),(),(),(yxfyyxfyxfyxxf和分别称为二元函数对x和对y的偏增量zzyx,；),(),(yxfyyxxfz称为二元函数在点)

15、,(yx的全增量.二、全微分dz的定义 如果函数),(yxfz 在点),(yx的全增量),(),(yxfyyxxfz可表示 为),(yBxAz其 中BA,不 依 赖 于yx ,而 仅 与yx,有 关，,)()(22yx则称函数),(yxfz 在点),(yx可微分，而yBxA称为函数),(yxfz 在点),(yx的全微分，记作dz.三、函数可微的必要条件与充分条件 定理 1(必要条件)如果函数),(yxfz 在点),(yx处可微分,则该函数在点),(yx的偏导数yzxz,必存在,且),(yxfz 在点),(yx处的全微分 yyzxxzdz.定理2(充分条件)如果函数),(yxfz 的偏导数yzx

16、z,在点),(yx处连续,则函数在该点处可微分.四、利用全微分进行近似计算 dzz 9 yyxfxyxfyxfyyxxfyx),(),(),(),(例题选讲：例 1 求函数yxxyz的全微分.解：.)()1(2dyyxxdxyydz 例 2 计算函数xyez 在点(2,1)处的全微分.解：因为,211;4121)1,2()1,2(21)1,2(2)1,2(exeyzexyexzxyxy 所以.21412121dyedxedz 例 3 求函数 yzeyxu2sin的全微分.例 4 求函数zyxu 的偏导数和全微分.例 5 计算05.1)97.1(的近似值)693.02(ln.解：令,),(yxy

17、xf 则,05.0,03.0,1,200yxyx 且,2ln2ln)1,2(,1)1,2()1,2()1,2(xxfxyxfyyyx 由近似计算公式yyxfxyxfyxfyyxxfyx),(),(),(),(得：.0 3 9 3.205.02ln2)03.0(12)97.1(05.1 例 6 已知边长为mymx86与的矩形,如果x边增加cm5而y边减少cm10,问这个矩形的对角线的近似变化怎样?例 7 利用摆摆动测定重力加速度g的公式是.422Tlg 现测得单摆摆长l与振动周期T分别为cml1.0100、sT004.02.问由于测定l与T的误差而引起g的绝对误差和相对误差各为多少?课堂练习 1

18、0 1.求函数0,00,2222242yxyxyxyxz的全微分,并研究在点(0,0)处函数的全微分是否存在?2.设,),(1zyxzyxf求).1,1,1(df 第四节 多元函数的求导法则 本节主要内容：1 链式法则 2 全微分形式的不变性 讲解提纲：一、复合函数的中间变量为一元函数的情形)(),(tvtufz .dtdvvzdtduuzdtdz u z t v 二、复合函数的中间变量为多元函数的情形),(),(yxvyxufz ,xvvzxuuzxz ,yvvzyuuzyz u x z v y 三、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形,),(yxyxufz xfxuufxz,.y

19、fyuufyz x x z u y y 11 四、全微分形式的不变性 无论z是自变量vu,的函数或中间变量vu,的函数，它的全微分形式是一样的.例题选讲：例 1 设),arcsin(yxz而,4,33tytx 求导数.dtdz 解：.)43(1)41(312)(11)(13232222ttttyxyxtyyztxxzdtdz 例 2 设,ln2vuz 而,23,yxvyxu 求xz和.yz 解：;)23(3)23ln(231ln22222yxyxyxyxvuyvuxvvzxuuzxz;)23(2)23ln(22ln222322yxyxyxyxvuyxvuyvvzyuuzyz 例 3 求 yxy

20、xz24223的偏导数.例 4 设 222,zyxezyxfu,2xz ysin.求 xu和.yu 例 5 设 ,22xyxyz为可微的函数,求证.02322yyzxyxzx 解：因为);(),(222xyxxyyzxyyxyxz 所以22222223)()(2(23yxyxxyxyxyyxyxyyzxyxzx .0232222yyy 例 6 设函数z具有二阶连续偏导数，试求常数 a，使得变换,2yxu ayxv可把方程 0622222yzyxzxz 化简为.02vuz 12 例 7 设xyeyxfz,22,其中,f有连续的二阶偏导数,求.,22yzyz 解：,2)2(2121fxef yxe

21、fyfyzxyxy 221211122)2(22fexxefyfyfyzxyxy )2(2221xefyfxexyxy =.442222221221121fexfyxefexfyfxyxyxy 例8 设),cos,(sinyxeyxfz 其中函数f有二阶连续偏导数，求yzxz2222,和yxz2.例 9 设函数),(yxuu 可微，在极坐标变换,cosrx sinry 下，证明.122222urruyuxu 例 10 设 yxfu,的所有二阶偏导数连续,把下列表达式转换为极坐标系中的形式:(1)22yuxu;(2).2222yuxu 例 11 利用全微分形式不变性解本节的例 2.设,ln2vu

22、z 而,23,yxvyxu 求 xz和yz.全微分形式的不变性 例 12 利用一阶全微分形式的不变性求函数 222zyxxu 的偏导数.例13 设,),(),(),(都可微其中函数fzxttxyzyxfu求 .,zuxu（利用全微分形式不变性解答）解：利用一阶全微分形式不变性，有 .,dzdxdtdtdxdydzfdyfdxfduzxtxzyx 得 dzfdtdxfdxfduztxyx)(dzfdzdxfdxffzzxtyxyx)()(13 dzffdxfffzztyxtyxyx)()(于是 .,zztyxtyxyxffzufffxu 例 14 已知,02zxyeze 求xz和yz.课堂练习

23、1.设),(xyzxyxfu 求.,zuyuxu 2.),(22yxfz 其中)(uf为可导函数,验证 211yzyzyxzx 3.设,),(yxeuyxufz f 具有二阶连续偏导数,求.2yxz 第五节 隐函数微分法 本节主要内容：1 一个方程的情形 2 方程组的情形 讲解提纲：一、一个方程的情形 定理 1 设函数),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内具有连续的偏导数,且,0),(00yxFy,0),(00yxF则方程),(yxF 0在点),(00yxP的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数),(xfy 它满足),(00 xfy 并有 14.yxFFdxdy 定理2 设

24、函数),(zyxF在点),(000zyxP的某一邻域内有连续的偏导数,且 ,0),(,0),(000000zyxFzyxFz 则方程0),(zyxF在点),(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz,它满足条件),(000yxfz,并有.,zyzxFFyzFFxz 注意：求解多元函数的隐函数一般有三个途径：一是利用隐函数求导公式；二是对所给方程（组）两端求导，再解出所求的导数或偏导数；三是利用全微分.注意三种方法的区别.二、方程组的情形 定理 3 设),(),(vuyxGvuyxF、在点),(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，又,

25、0),(,0),(00000000vuyxGvuyxF 且函数F、G雅可比行列式),(),(vuGFJ在点),(0000vuyxP不等于零，则方程组 0),(0),(vuyxGvuyxF 在点),(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数),(),(yxvvyxuu 它们满足条件),(),(000000yxvvyxuu 其偏导数公式由下列公式给出.),(),(),(),(vuGFvxGFxu，),(),(),(),(vuGFxuGFxv.),(),(),(),(vuGFvyGFyu，),(),(),(),(vuGFyuGFyv.例题选讲：一个方程的情形 15 例

26、1 设,0sin2xyeyx求dxdy.解：令.2cos,sin),(22xyyFyeFxyeyyxFyxxx则 所以.2cos2xyyeyFFdxdyxyx 例2 求由方程 0yxeexy所确定的隐函数y的导数.,0 xdxdydxdy 解：令.,),(yyxxyxexFeyFeexyyxF则 所以.1;)0,0(0dxdydxdyexyeFFdxdyxyxyx 例3 设,32)32sin(2zyxzyx证明1yzxz 解：令,32)32sin(2),(zyxzyxzyxF则 2)32c o s(4,1)32c o s(2zyxFzyxFyx 3)32c o s(6zyxFz，故 323)3

27、2cos(62)32cos(4,313)32cos(61)32cos(2zyxzyxFFyzzyxzyxFFxzzyzx 即 .1yzxz 例 4 设,04222zzyx 求.22xz 注：在实际应用中，求方程所确定的多元函数的偏导数时，不一定非得套公式，尤其在方程中含有抽象函数时，利用求偏导或求微分的过程则更为清楚.例 5 设),(xyzzyxfz 求.,zyyxxz 例 6 设方程 zezyx确定了隐函数yxzz,，求,22xz,2yxz.22yz 例 7 设),(vu具有连续偏导数,证明由方程0),(bzcyazcx所确定的函数),(yxfz 满足.cyzbxza 16 例 8 设 yx

28、zzxyzyxfu,sin,由方程 0,2zexy确定，其中,f具有一阶连续的偏导数，且,0z 求.dxdu 例8 设,1,0222zyxzyx 求.,dzdydzdx 解：方程组确定).(),(,zyyzxxzyx的隐函数关于变量 方程组两边同时对变量z求导，注意,的隐函数是关于变量和zyx得 ,222,1zdzdyydzdxxdzdydzdx解该方程组得.,yxxzdzdyyxzydzdx 例 10),(),(2yvxugvyvuxfu其中gf,具有一阶连续偏导数,求.,xvxu 解：设),(),(yxvvyxuu方程组同时对变元x求偏导得：),2()1(,)(2121xvvygxugxv

29、xvfxuxufxu 解得：.1211,121122121111121212121y v ggfxfggufufxvyvggfxfyvggfufxu 例 11 设,sin,0),(),(2xyzexzyxfuy其中,f 具有连续的偏导数且,03 求.dxdu 例 12 在坐标变换中我们常常要研究一种坐标),(yx与另一种坐标),(vu之间的关系.设方程组),(),(vuyyvuxx 可 确 定 隐 函 数 组),(),(yxvvyxuu 称 其 为 上 述 方 程 的 反 函 数 组.设),(),(),(),(yxvyxuvuyvux具有连续的偏导数，试证明 17 .1),(),(),(),(

30、vuyxyxvu 例 13 设方程组22vuyvux确定反函数组),(),(yxvvyxuu 求.,yvyuxvxu 例 4 设,0),(xzzyyxF 其中 F 具有连续偏导数,且.032FF 求证.1yzxz 方程组的情形 例 6 设,cos,sinvueyvuexuu 求.,yvxvyuxu 解：令),(),(yxvvyxuu，方程组两边分别对yx,求导得：,sincos1,cossin0,sincos0,cossin1yvvuvyuyueyvvuvyuyuexvvuvxuxuexvvuvxuxueuuuu及 解两个方程组便得到所要求的偏导数.,yvxvyuxu 课堂练习 1.设,zyz

31、x其中为可微函数,求yzyxzx.2.设,),(223zyxzyxf其中),(yxzz 为由方程 03333xyzzyx 所确定的隐函数,试求).1,0,1(xf 3.设),(txfy 而 t 是由方程0),(tyxF所确定的yx,的函数,试求.dxdy 18 第六节 微分法在几何上的应用 本节主要内容：1 空间曲线的切面与法平面 2 空间曲面的切平面与法线 3 全微分的几何意义 4 曲面的法向量的方向余弦 讲解提纲：一、空间曲线的切线与法平面：)(),(),(tzztyytxx 曲线在点0M处的切线方程为.)()()(000000tzzztyyytxxx 曲线在某点处的切线的方向向量称为曲线

32、的切向量.向量)(),(),(000tztytxT就是曲线在点M处的一个切向量.过点0M且与切线垂直的平面称为曲线在点0M的法平面.曲线的切向量就是法平面的法向量，于是这法平面的方程为 0)()()(000000zztzyytyxxtx 空间曲线的方程为)()(xzzxyy的情形；空间曲线的方程为 0),(0),(zyxGzyxF的情形；二、空间曲面的切平面与法线：,0),(zyxF 切平面的方程为 ,0)()()(000000zzFyyFxxFMzMyMx 称曲面在点0M处切平面的法向量为在点0M处曲面的法向量，于是，在点0M处曲面的法向量为).,(),(),(000000000zyxFzy

33、xFzyxFnzyx 过点0M且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.因此法线方程为 000|000MzMyMxFzzFyyFxx 19 曲面方程为),(yxfz 的情形；设、表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量与z轴正向的夹角是一锐角，则法向量的方向余弦为,1cos22yxxfff ,1c o s22yxyfff .11c o s22yxff 其中).,(),(0000yxffyxffyyxx 例题选讲：空间曲线的切线与法平面：例1 求曲线:2sin4,cos1,sintztyttx在点)22,1,12(处的切线及法平面方程.解：由;2cos2)(,sin)(,cos1)(ttzttyt

34、tx点)22,1,12(处对应的参数为2t，故在点)22,1,12(处切线的方向向量为),2,1,1(由点向式得切线方程为：,22211112zyx 由点法式得法平面方程为：0)22(2112zyx或 0422zyx .例 2 求曲线0453203222zyxxzyx在点)1,1,1(处的切线及法平面方程.（二法）例 3 求曲线xmzmxy22,2在点),(000zyx处的切线及法平面方程.例 4 求出曲线 32,xzxy上的点，使在该点的切线平行于已知平面.42zyx 空间曲面的切平面与法线 例4 求曲面3xyzez在点)0,1,2(处的切平面及法线方程.解：令,1,3),(zzyxzeFx

35、FyFxyzezyxF则 所以在点)0,1,2(处的切平面的法向量为),0,2,1(得切平面方程为：;0420)1(22yxyx或 20 法线方程为：02112zyx 例6 试证曲面)0(aazyx上的任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.例 7 求曲面 2132222zyx平行于平面064zyx的各切平面方程.例 8 求旋转椭球面163222zyx上点)3,2,1(处的切平面与xOy面的夹角的余弦.课堂练习 1.求曲线32,tztytx在对应于1t的点处的切线方程及法平面方程.2.若平面01633zyx与椭球面163222zyx相切,求.第七节 方向导数与梯度 本节主要内容：1 数量

36、场与向量场的概念 2 方向导数及其定义 3 梯度的概念 4 梯度的运算性质及应用 讲解提纲：一、场的概念：数量场：如果对于空间区域G内的任一点M，都有一个确定的数量),(Mf则称在空间区域G内确定了一个数量场（例如温度场，密度场等）.向量场：如果与点M相对应的是一个向量)(MF，则称在这空间区域G内确定了一个向量场（例如力场，速度场等）二、方向导数.),(),(lim0yxfyyxxflf 21 定理 1 如果函数),(yxfz 在点),(yxP是可微分的，则函数在该点沿任一方向 l 的方向导数都存在，且 ,coscosyfxflf 其中)cos,(cos为方向 l 的方向余弦.三、梯度的概念

37、：.),(jyfixfyxgradf sin,cos,sincosyfxfyfxflf,cos|),(|),(yxgradfeyxgradf 函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.梯度运算满足以下运算法则：设vu,可微，,为常数，则（1）grad)(vugrad u grad v;（2）graduvu)(grad vv grad u;（3）grad)()(ufuf grad u.例题选讲：方向导数 例 1 求函数22yxz在点)2,1(到点)32,2(的方向的方向导数.解：方向).23,21(),3,1(lel .4,2)2,1()2

38、,1(yzxz .321234212)2,1(lz 例2 求函数 22),(yxyxyxf在点 1,1沿与x轴方向夹角为的方向射线l的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有 (1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?例 3 求函数xyzzxyu32在点)2,1,1(处沿方向角为3,4,3的方向的方向导数.例 4 求 zxyzxyzyxf,在点2,1,1沿方向l的方向导数,其中l的方向角分别为 60,45,60.例5 求函数zyxu在球面1222zyx上点),(000zyx处,沿球面在该点的外法线方向的方向导数.22 解：记)2,2,2(),(,1),(222zyxFFFnzyxzyxFzyx

39、易知法向量 指向球面的外侧.于是 ).,(),2,2,2(000),(000),(000000zyxezyxnzyxnzyx 又).1,1,1(),(),(),(000000zyxzyxzuyuxuugrad 故).,(000),(),(),(000000000zyxeugradnuzyxnzyxzyx 例 6 (1)求.122yxgrad (2)设222,zyxzyxf,求)2,1,1(gradf.例 7 求函数 yxzyxu2332222在点2,1,1处的梯度,并问在哪些点处梯度为零?例 8 试求数量场rm所产生的梯度场,其中常数,0m 222zyxr为原点 O 与点),(zyxM间的距离

40、.例 9 设)(rf为可微函数,.|,|kzj yi xrrr求),(rgradf 梯度的概念 例 10 设,62332),(222zyxxyzyxzyxf求)0,0,0(gradf及 ).1,1,1(gradf 例 11 求函数zxyu2在点)2,1,1(0P处沿哪个方向的方向导数最大?最大值是多少.解：方向导数最大的方向即函数的梯度方向：).1,4,2(),2,()2,1,1(22)2,1,1(xyxyzzygradu 方向导数的最大值即梯度的模：.21)1,4,2()2,1,1()2,1,1(gradulu 课堂练习 1.函数22),(yxyxfz在)0,0(点处的偏导数是否存在?方向导

41、数是否存在?2.求函数xzyzxyu在点)3,2,1(P处沿 P 点的向径方向的方向导数.23 第八节 多元函数的极值 在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题.与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值有着密切的联系.下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题.本节主要内容：1.二元函数极值的概念 2 极值的必要条件和极值的充分条件 3 求二元函数极值的一般步骤 4 求最值的一般步骤 5 条件极值的概念：对自变量有附加条件的极值称为条件极值.6 拉格朗日乘数法 7 数学建模举例 8 最小二乘法 9 线性规划问题 讲解提纲：一、二元函数极值的概念 设

42、函数),(yxfz 的定义域为D，),(000yxP为D的内点.若存在0P的某个邻域,),(0DPU使得对于该邻域内异于0P的任何点),(yx，都有),(),(00yxfyxf则称函数),(yxf在),(00yx有极大值),(00yxf，点),(00yx称为函数),(yxf的极大值点；若对于该邻域内异于0P的任何点),(yx，都有),(),(00yxfyxf则称函数),(yxf在),(00yx 24 有极小值),(00yxf，点),(00yx称为函数),(yxf的极小值点，极大值与极小值统称为极值.使得函数取得极值的点称为极值点 二、极值的必要条件和极值的充分条件 必要条件设函数),(yxfz

43、 在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则有 .0),(,0),(0000yxfyxfyx 充分条件设函数),(yxfz 在点),(00yx的某个邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又,0),(,0),(0000yxfyxfyx令CyxfByxfAyxfyyxyxx),(,),(,),(000000 则),(yxfz 在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：（1）02 BAC时具有极值，且当0A时有极大值，当0A时有极小值；（2）02 BAC时没有极值；（3）02 BAC时可能有极值也可能没有极值，还需另外讨论.三、多元函数的极大值、极小值.多元函数在某点取得极值的必

44、要条件与充分条件 求),(yxfz 的极值的一般步骤为：第一步 解方程组,0),(,0),(yxfyxfyx 求出),(yxf的所有驻点；第二步 求出函数),(yxf的二阶偏导数，依次确定各驻点处 A、B、C 的值，并根据2BAC 的符号判定驻点是否为极值点.最后求出函数),(yxf在极值点处的极值.四、多元函数的最大值与最小值（闭区域上的连续函数一定取得最大值和最小值）求函数),(yxf的最大值和最小值的一般步骤为：第一步 求函数),(yxf在D内所有驻点处的函数值；第二步 求),(yxf在D的边界上的最大值和最小值；第三步 将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值,最小者即为

45、最小值.五、条件极值 拉格朗日乘数法 解条件极值一般有两个途径：一是将条件极值问题转化为无条件极值问题;二是利用拉格朗日乘数法 在所给条件0),(zyx下,求目标函数),(zyxfu 的极值.引进拉格朗日函数 ),(),(),(zyxzyxfzyxL 它将有约束条件的极值问题化为普通的无条件的极值问题.若所给的限制条件有两个0),(zyx和0),(zyx，求目标函数),(zyxfu 的极值.引进拉格朗日函数 25 0),(),(),(),(zyxzyxzyxfzyxL 六、数学建模举例 最小二乘法 线性规划问题 例题选讲：二元函数的极值 例1 求函数22)(4),(yxyxyxf的极值.解：解

46、方程组.024,024yfxfyx 求得驻点).2,2(又 ,2)2,2(,0)2,2(,02)2,2(xyyyxxfCfBfA ,02 BAC 由判定极值的充分条件知：在点.8)2,2(,)2,2(f函数取得极大值处 例 2 函数22yxz在点0,0处有极大值.从几何上看,22yxz表示一开口向下的半圆锥面,点0,0,0是它的顶点.例 3 求函数)4)(6(),(22yyxxyxf的极值.例 4 求由方程08822222zxzzyx所确定的隐函数),(yxfz 的极值点.例 5 证明函数 yyyexezcos)1(有无穷多个极大值而无一极小值.二元函数的最大值与最小值 例6 在平面xOy上求

47、一点,使它到01620,0yxyx及三直线的距离的平方之和最小.解：设所求点为),(yx，此点到三直线的距离依次为：,5162,yxxy三距离的平方之和为：.)162(51222yxyxz 26 由 .0)162(542,0)162(522yxyyzyxxxz 求得驻点).516,58(由于驻点唯一，根据问题本身可知，距离平方和最小的点必定存在，故所求点即为).516,58(例 7 求二元函数 yxxyyxfz4,在直线,6 yxx轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.例 8 求函数 32233,xyxyxf在区域16:22 yxD上的最小值.例 9 求 122yxyxz的最大值和最小值

48、.例 10 求两直线12xzxy与xzxy3之间的最短距离.例 11 要造一个容积等于定数k的长方体无盖水池,应如何选择水池的尺寸,方可使它的表面积最小.例 12 求函数 xyzu 在附加条件 azyx/1/1/1/1 0,0,0,0azyx (1)下的极值.条件极值 拉格朗日乘数法 例 13 求表面积为2a而体积为最大的长方体的体积.解：设长方体的三棱长为,zyx则问题就是在条件 0222),(2axzyzxyzyx下，（*）求函数 xyzV )0,0,0(zyx 的最大值.作拉格朗日函数 ),222(),(2axzyzxyxyzzyxL 求其对zyx,的偏导数，并使之为零，得到 .0)(2

49、,0)(2,0)(2xyyyzxxzzyyz 27 在与（*）联立求解.因为zyx,都不等于零，所以由上式可得 .,zxyxzyzyzxyx 解以上两式得 .zyx 将此代入（*）便得.66azyx 这是唯一可能的极值点.因为有问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得.也就是说，表面积为2a的长方体中，以棱长为a66的长方体的体积最大，最大体积为.3663aV 例 14 证明不等式,6108632cbacab 其中cba,是任意的非负实数.例15 抛物线22yxz被平面1zyx截成一个椭圆,求原点到这椭圆的最长和最短距离.解：设椭圆上的点为),(zyx则原点到椭圆上的点

50、的距离的平方为.2222zyxd .1,:,22zyxyxzzyx满足条件 作拉格朗日函数 ),1()(22222zyxyxzzyxL 令 .022,022,022zzLyyLxxLzyx 得：.0)(1(yx 故有;,21,01.1故舍去不合题意由或zyx将代入yx .012212,2,1,2222xxzxxzzyxyxz得 解得 .32,231zyx 28 于是得到两个驻点：).32,231,231(),32,231,231(11MM再进行判定，求得最长和最短距离：.359,35921maxminMMdddd 例 16 设某电视机厂生产一台电视机的成本为,c 每台电视机的销售价格为p,销售