第六章定积分的应用2660.pdf

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1、 第六章 定积分的应用 定积分是求某种总量的一种数学模型，它在几何学、物理学、经济学、社会学等多方面都有着广泛的应用，显示了它的巨大魅力.因此，我们在学习的过程中，不仅要掌握计算某些实际问题的公式，更重要的还在于深刻领会用定积分解决实际问题的基本思想和分析方法元素法，不断积累和提高数学的应用能力.本章中我们将应用上一章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题。第一节 定积分的元素法 复习引入：前一章讨论过的曲边梯形的面积问题，步骤是：（1）分割（2）近似代替（3）求和（4）求极限。分析：主要是第二步，应用上为简便起见,省略下标 i，用A表示任一小区间x，x+dx上的窄曲边梯形的面积,

2、A=A.Af(x)dx，记面积元素为 dA=f(x)dx，于是 Af(x)dx,则 A=limf(x)dx=badxxf)(.一般地，如果某一实际问题中的所求量U符合下列条件：(1)U是与一个变量的变化区间有关的量；（2）所求总量U关于区间,ba应具有可加性，即如果把区间,ba分成许多部分区间,则U相应地分成许多部分量,而U等于所有部分量U之和.这一要求是由定积分概念本身所决定的;（3）部分量U的近似值可表示为)(ifix.将所求量U（总量）表示为定积分的方法通常叫做元素法，这个方法的主要步骤如下：（1）由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量，例如x为积分变量，并确定它的变化区间,ba

3、，任取,ba的一个区间微元,dxxx，求出相应于这个区间微元上部分量U的近似值，即求出所求总量U的微元（元素）dxxfdU)(；(2)由微元写出积分 根据dxxfdU)(写出表示总量U的定积分 babadxxfdUU)(.注意：使 用 元 素 法 的 关 键 是 正 确 给 出 部 分 量U的 近 似 表 达 式dxxf)(，即 使 得UdUdxxf)(.在通常情况下，要检验dxxfU)(是否为dx的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意dxxfdU)(的合理性.不过，已有许多微元的取法已经确定是正确的，如平面面积微元可以看成矩形面积，旋转体体积微元可以看成圆柱体体积等。第二节 平面图形的

4、面积 本节主要内容：一、直角坐标系下平面图形的面积 二、参数方程下平面图形的面积 三、极坐标系下平面图形的面积 一、直角坐标系下平面图形的面积 讨论 badxxfA)(badxxfA|)(|.)()(badxxgxfA的几何意义.例 1 求由xy2和2xy 所围成的图形的面积.解:解方程组得两曲线的交点坐标为（0,0）、（1,1），面积元素为 dA=（x-x2）dx，变化区间为0,1,所求面积为 A=31332)(10323210 xxdxxx.例2 求由抛物线21xy与直线xy 1所围成的面积.解:解方程组得两曲线的交点为（-1,0）、（2,3），面积元素为 dA=1+x-(x2-1)dx，

5、变化区间为-1,2,所求面积为 A=212)1(1 dxxx=29.例3 求由xy22和4 xy所围成的图形的面积.解法一：解方程组得两曲线的交点坐标为（2,-2）、（8,4）.选取纵坐标 y 为积分变量，它的变化区间为-2,4,面积元素为 dA=(y+4-21y2)dy，所求面积为 A=18642)214(4232242yyydyyy.解法二：:选取横坐标 x 为积分变量，它的变化区间为0,8,当 x0,2时，面积元素为 dA=dxxx)2(2，当 x2,8 时，面积元素为 dA=dxxx)4(2，所求面积为 A=dxxxdxxx)4(2)2(28220=18.结论：积分变量选得适当，就可使

6、计算方便。例4 计算由曲线xxy63和2xy 所围成的图形的面积。解:解方程组得两曲线的交点为（0,0）、（-2,4）、（3,9），当 x-2,0时，面积元素为 dA=dxxxx)6(23，当 x0,3 时，面积元素为 dA=dxxxx)6(32，所求面积为 A=02303223)6()6(dxxxxdxxxx=21121.二、参数方程下平面图形的面积 设 x=,),(),(ttyt)(),(),(,)(,)(tttba在,连续，且)(t随 t 的增加而增加，则由曲线，x 轴及直线 x=a,x=b 所围成的平面图形的面积为 A=dttt)()(.例5 求椭圆12222byax所围成的面积.解：

7、由椭圆的对称性，椭圆所围成的图形的面积为 A=4A1，A1为该椭圆在第一象限部分与两坐标轴所围图形的面积，因此aydxA04 利用椭圆的参数方程 x=acost,y=bsint,20 t，当 x 由 0 变到 a 时，t 由2变到 0，所以 A=.sin4)sin(sin402022abtdtdttatb 三、极坐标系下平面图形的面积 设曲线的方程由极坐标形式给出 )(rr )(，则由曲线)(rr，射线和所围成的曲边扇形的面积微元 drdA2)(21 所求曲边扇形的面积 .)(212dA 例 6 求阿基米德螺线 )(,aa 上相应于从 0 变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积.解：的变化区间

8、为2,0，面积元素为dadA2)(21,于是所求面积为322202342adaA.例6 求心形线)cos1(ar所围平面图形的面积).0(a 解：的变化区间为2,0，面积元素为dadA22)cos1(21,于是所求面积为2222043)cos1(21adaA.课堂练习:1.求正弦曲线23,0,sinxxy和直线23x及x轴所围成的平面图形的面积.2.求由曲线1,222yxyxy所围成的平面图形的面积.3.求由摆线)cos1(),sin(tayttax的一拱与横轴所围成的平面图形的面积.第三节 体积 本节主要内容：一、旋转体的体积 二、平行截面面积为已知的立体的体积 一、旋转体的体积 旋转体是由

9、一个平面图形绕该平面内一条直线旋转一周而成的立体，该直线叫做旋转轴。1、由连续曲线 y=f(x)、直线 x=a、x=b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周，取 x 为积分变量，其变化区间为a,b。任取小区间x,x+dx的窄曲边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的体积近 似于以 f(x)为底半径、dx 为高的扁 圆柱体的体 积，即体 积微元为 dxxfdV2)(,旋转体的体积为.)(2badxxfV 2、由连续曲线 x=g(x)、直线 y=c、y=d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周，体积微元为 dyygdV2)(,旋转体的体积为.)(2badyygV 例1 求高为h、底半径为r

10、的正圆锥体的体积.解：建立如图所示的直角坐标系。直线 OP 的方程为 y=xhr 体积元素为dxxhrdV2 所求圆锥体的体积为332032220hrxhrdxxhrVhh.例 2 计算由椭圆12222byax围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转椭球体的体积.解：体积元素为dxxaabdV2222 所求旋转椭球体的体积为232222222343abxxaabdxxaabVaaaa 例 3 计算由摆线tayttaxcos1,sin的一拱，直线0y所围成的图形分别绕x轴、y 轴旋转而构成旋转体的体积.解：按旋转体的体积公式，图形绕 x 轴旋转而成的旋转体积为 dxxyVax2202032225)c

11、o s1(.)c o s1(adttata 图形绕 y 轴旋转而成的旋转体积为 20222220212022s in.)s in(s in.)s in()()(t d tattat d tattadyyxdyyxVaa =336a y A O a 2 a B 2a x x=x1(y)x=x2(y)例 4 求圆1122yx绕 x 轴旋转一周形成旋转体的体积.解：22221122)11()11(dxxxV 例5 .求由xyx222与xy 所围成的图形绕直线2x旋转构成旋转体的体积.解：322)2()112(22102dyyyV 二、平行截面面积为已知的立体的体积 体积微元为,)(dxxAdV 所求

12、立体的体积为.)(badxxAV 例6 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角（图 6-3-9），计算O 1 x y 2 O x2+y2=2x x y y=x 1 这平面截圆柱体所得立体的体积.解法一：建立如图所示的直角坐标系。作垂直于 x 轴的截面，截面为一个直角三角形，,tan)(21)(22xRxA tan32tan)(21322RdxxRVRR 解法二：做垂直于 y 轴的截面，截面为矩形，A(y)=tan.222yyR tan32tan.2tan230022RdyyyRdyxyRR.例 7 求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的

13、体积.解:22.)(xRhyhxA 2)(222hRdxxRhdxxAVRRRR 课堂练习:1.求由曲线,2xy 22xy所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积.x2+y2=R2 O -R R x y 2.求由正弦曲线,sin xy,0 x与 x 轴所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.第四节 平面曲线的弧长 本节主要内容：一、平面曲线弧长的概念 二、平面曲线的弧长的计算 1、直角坐标情形：)(xfy,bax，弧长微元（弧微分）dxyds21 所求光滑曲线的弧长 badxys21)(ba .2、参数方程情形：)(,)()(ttytx，弧长微元 ,)()()

14、()(2222dtttdydxds 所求光滑曲线的弧长 .)()(22dttts 3、极坐标情形：),()(rr 弧长微元 ,)()()()(2222drrdydxds 所求光滑曲线的弧长 .)()(22drrs 例题选讲：例 1 求曲线2332xy 上相应于x从a到b的一段弧的长度.解：dxxdxxdsxy1)(1,2121 )1()1(3212323abdxxsba 例 2 两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量，下垂成曲线形.这样的曲线叫悬链线.适当选取坐标系后，悬链线的方程为kxkycosh,其中k为常数.计算悬链线上介于bx与bx 之间一段弧的长度.解：由对称性，要计算的弧长为相应于

15、从到懂得一段弧长的两倍。dxcxchdxcxshdscxshy21,.220cbchdxcxchsb 例3 求摆线 tayttaxcos1sin 20,0ta一支的弧长.解：.2sin2sin)cos1()()(222222dadaadyxds .82s i n2202adas.例 4 求阿基米德螺线ar )0(a上相应于从 0 到2的弧长.解：,12222dadaads ).412l n(412122202adas 课堂练习:1.求心形线)cos1(ar的周长.2.求星形线taytax33sin,cos的全长.第五节 功 水压力和引力 本节主要内容:一、变力沿直线所作的功 二、水压力 三、引

16、力 例题选讲：一、变力沿直线所作的功 例 1 把一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处，它产生一个电场，这个电场对周围的电荷有作用力.由物理学知道,如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为r的地方,那么电场对它的作用力的大小为 ).(2是常数krqkF 如图 6-5-2 所示，当这个单位正电荷 在电场中从 ar 处沿r轴移动到br 处时,计算电场力F对它所作的功.解：功元素为 drrkqdW2 所求的功为).11(2bakqdrrkqWba 例 2 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体.在等温条件下,由于气体的膨胀,把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推移到b处.计算在移动过程中,

17、气体压力所作的功.解：取如图所示的坐标系。活塞的位置用 x 表示。由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压强 p 与体积 V 的乘积是常数，即kpV,而xSV,所以xSkp.则作用在活塞上的力 .xkSxSkSpF 功元素为 dxxkdW,所求的功为 .lnabkdxxkWba 例 3 一圆柱形蓄水池高为 5 米,底半径为 3 米,池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出,需作多少功?+q+1 r O a r r+dr b 解：作 x 轴如图所示。取深度 x 为积分变量，其变化区间为0,5，任一小区间x,x+dx的一薄层水的重力为dx23.8.9 kN.把这薄层水吸出桶外需作的功近似地为 dxx

18、dW.2.88,此即为功元素。于是所求的功为 ).(34622252.882.8850kJxdxW 二、水压力 例 4 一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水,设桶的底半径为R,水的比重为,计算桶的一端面上所受的压力.解：桶的一个端面为圆。建立如图所示的坐标系。取 x 为积分变量，其变化区间为0,R.压力元素为 .222dxxRgxdF 所求的压力为 .3223022Rgd xxRg xFR 例 5 某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条边各长 10m 和 6m，高为 20m，较长的底边与水面相齐。计算闸门的一侧所受的水压力。解：建立如图所示的直角坐标系。AB的方程为.105xy取 x 为积分变

19、量，其变化区间为0,20。任取小区间x,x+dx，闸门上相应于该小区间的窄条各点处所受到水的压强近似为xg(kN/m2)，窄条的长近似为510)105(22xxy，高度为 dx，因而窄条一侧所受的水x B A x+dx x O 6m 10m 20m y 压力元素为,)510(dxxgxdF，于是所受的压力为 ).(1437334400)510(200kNgdxxgxF 三、引力 例 6 假设有一长度为l、线密度为的均匀细棒，在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点 M，试计算该棒对质点M的引力.解：取坐标系如图所示。取 y 为积分变量,其变化区间为2,2ll。取小区间y,y+dy，把细棒上相应于y,y+dy的一段近似地看成质点，其质量为dy，与 M 相距22yar。细棒对质点 M 的引力在水平方向分力 Fx的元素为.)(322yadyamGdFx 则引力在水平方向分力为.41.2)(2222322laalGmdyyaGamFllx 由对称性知，引力在铅直方向分力为.0yF。课堂练习:1.设一锥形贮水池，深 15 米，口径 20 米，盛满水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？2.一矩形水闸门,宽 20 米,高 16 米,水面与闸门顶齐,求闸门上所受的总压力.O M a r y y+dy 2l 2l x y