第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理4986.pdf

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1、第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理 一、梅涅劳斯定理 定理 1 若直线l不经过的顶点，并且与的三边或它们的延长线分别交于，则 证明：设分别是 A、B、C 到直线l的垂线的长度，则：。注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件。例 1 若直角中，CK 是斜边上的高，CE 是的平分线，E 点在 AK上，D 是 AC 的中点，F 是 DE 与 CK 的交点，证明：。【解 析】因 为 在中，作的 平 分 线BH，则：，即，所以为等腰三角形，作 BC 上的高 EP，则：，对于和三点 D、E、F 根据梅涅劳斯定理有：，于是，即，根据分比定理有：，所以，所以。例 2 从点 K 引四条直线，另两条直

2、线分别交直线与 A、B、C、D 和，试证：。【解析】若，结论显然成立；若 AD 与相交于点 L，则把梅涅劳斯定理分别用于和可 得：，将上面四个式子相乘，可得：，即：定理 2 设 P、Q、R 分别是的三边 BC、CA、AB 上或它们延长线上的三点，并且 P、Q、R三点中，位于边上的点的个数为 0 或 2，这时若，求证 P、Q、R 三点共线。证明：设直线 PQ 与直线 AB 交于，于是由定理 1 得：，又因为，则，由于在同一直线上 P、Q、R 三点中，位于边上的点的个数也为 0 或 2，因此 R 与或者同在 AB 线段上，或者同在 AB 的延长线上；若 R 与同在AB 线段上，则 R 与必定重合，

3、不然的话，设，这时，即，于是可得，这与矛盾，类似地可证得当 R 与同在 AB 的延长线上时，R 与也重合，综上可得：P、Q、R 三点共线。注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；例 3 点 P 位于的外接圆上；是从点 P 向 BC、CA、AB 引的垂线的垂足，证明点共线。【解 析】易 得：，将上面三个式子相乘，且因为，可得，根据梅涅劳斯定理可知三点共线。例 4 设不等腰的内切圆在三边 BC、CA、AB 上的切点分别为 D、E、F，则 EF 与 BC，FD与 CA，DE 与 AB 的交点 X、Y、Z 在同一条直线上。【解析】被直线 XFE 所截，由定理 1 可得：，又因为，

4、代入上式可得，同理可得，将上面的式子相乘可得：，又因为 X、Y、Z 丢不在的边上，由定理 2 可得 X、Y、Z 三点共线。例 5 已知直线，相交于 O，直线 AB 和的交点为，直线 BC 和的交点为，直线 AC 和的交点为，试证三C B A 1A1B1C点共线。【解析】设分别是直线 BC 和，AC 和，AB 和的交点，对所得的三角形和它们边上的点：OAB 和（），OBC 和（），OAC 和（，）应用梅涅劳斯定理有：，将上面的三个式子相乘，可得：，由梅涅劳斯定理可知共线。例 6 在一条直线上取点 E、C、A，在另一条上取点 B、F、D，记直线 AB 和 ED，CD 和 AF，EF和 BC 的交点

5、依次为 L、M、N，证明：L、M、N 共线。【解析】记直线 EF 和 CD，EF 和 AB，AB 和 CD 的交点分别为 U、V、W，对，应用梅涅劳斯定理于五组三元点，则有，将上面五个式子相乘可得：，点 L、M、N 共线。二、塞瓦定理 定理：设 P、Q、R 分别是的 BC、CA、AB 边上的点，则 AP、BQ、CR 三线共点的充要条件是：。证明：先证必要性：设 AP、BQ、CR 相交于点 M，则，同理，以上三式相乘，得：，再证充分性：若，设 AP 与 BQ 相交于 M，且直线 CM 交 AB 于，由塞瓦定理有：，约翰斯：，因为 R 和都在线段AB 上，所以必与 R 重合，故 AP、BQ、CR

6、相交于一点 M。例 7 证明：三角形的中线交于一点。【解析】记的中线，我们只须证明，而 显 然 有：，M Q R A C P B C B A 1A1B1C，即成立，所以，交于一点，例 8 在锐角中，的角平分线交 AB 于 L，从 L 做边 AC 和 BC 的垂线，垂足分别是 M和 N，设 AN 和 BM 的交点是 P，证明：。【解析】作，下证 CK、BM、AN 三线共点，且为 P 点，要证 CK、BM、AN 三线共点，根据塞瓦定理即要证：，又因为，即要证明：，因为，即要证，根据三角形的角平分线定理可知：，所以 CK、BM、AN 三线共点，且为 P 点，所以。例 9 设 AD 是的高，且 D 在 BC 边上，若 P 是 AD 上任一点，BP、CP 分别与 AC、AB 交于E 和 F，则。【解析】过 A 作 AD 的垂线，与 DE、DF 的延长线分别交于 M、N。欲证，可以转化为证明，因为，故，可得，所以，于是，因为 AD、BE、CF 共点与 P，根据塞瓦定理可得：，所以，所以所以 例 10 在的边 BC、CA、AB 上取点，证明【解 析】如 图 对和应 用 正 弦 定 理，可 得，即，同理：，从而。K L N M C B A