均值不等式求最值的方法7914.pdf

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1、均值不等式求最值的方法 均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。一、几个重要的均值不等式，、)(222222Rbabaababba当且仅当 a=b时，“=”号成立；，、)(222Rbabaababba当且仅当 a=b时，“=”号成立；，、)(33333333Rcbacbaabcabccba当且仅当 a=b=c 时,“=”号成立；)(3333Rcbacbaabcabccba、,当且仅当 a=b=c 时,“=”号成立.注：注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；熟悉一个重要的不等式链：

2、ba1122abab222ba。二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。例 1、求函数21(1)2(1)yxxx的最小值。解析：21(1)2(1)yxxx 21(1)1(1)2(1)xxx21111(1)222(1)xxxx 3211131222(1)xxx31252，当且仅当211(1)22(1)xxx即2x时，“=”号成立，故此函数最小值是52。评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。2、求几个正数积的最大值。例 2、求下列函数的最大值：23(32)(0)2yxxx

3、 2sincos(0)2yxxx 解析：30,3202xx，23(32)(0)(32)2yxxxx xx 3(32)13xxx，当且仅当3 2xx 即1x时，“=”号成立，故此函数最大值是 1。0,sin0,cos02xxx，则0y，欲求 y 的最大值，可先求y2的最大值。242sincosyxx222sinsincosxxx2221(sinsin2cos)2xxx 22231 sinsin2cos4()2327xxx,当 且 仅当22sin2cosxx(0)2xtan2x，即tan2xarc时，不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是2 39。评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在

4、于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。3、用均值不等式求最值等号不成立。例 3、若 x、yR，求4()f xxx)10(x的最小值。解法一：（单调性法）由函数()(0)bf xaxabx、图象及性质知，当(0,1x时，函数4()f xxx是减函数。证明：任取12,(0,1xx 且1201xx，则12121244()()()()f xf xxxxx 211212()4xxxxx x1212124()x xxxx x，1201xx，12121240,0 x xxxx x，则1212()()0()()f xf xf xf x，即4()f

5、 xxx在(0,1上是减函数。故当1x时，4()f xxx在(0,1上有最小值 5。解法二：（配方法）因01x，则有4()f xxx22()4xx，易知当01x 时，20 xx且单调递减，则22()()4f xxx在(0,1上也是减函数，即4()f xxx 在(0,1上是减函数，当1x 时，4()f xxx在(0,1上有最小值 5。解法三：（导数法）由4()f xxx 得24()1fxx，当(0,1x时，24()10f xx，则函数4()f xxx在(0,1上是减函数。故当1x时，4()f xxx在(0,1上有最小值 5。解法四：（拆分法）4()f xxx)10(x13()xxx1321xx5

6、，当且仅当1x 时“=”号成立，故此函数最小值是 5。评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。4、条件最值问题。例 4、已知正数 x、y满足811xy，求2xy的最小值。解法一：（利用均值不等式）2xy8116()(2)10 xyxyxyyx1610218xyyx,当且仅当81116xyxyyx即12,3xy时“=”号成立，故此函数最小值是 18。解法二：（消元法）由811xy得8xyx，由00088xyxxx又则2xy22(8)1616162(8)108888xxxxxxxxxx 162(8)10 188xx。当且仅当1

7、688xx 即12,3xy此时时“=”号成立，故此函数最小值是 18。解法三：（三角换元法）令228sin1cosxxxy则有228sin1cosxxyx 则22822sincosxyxx2222228csc2sec8(1 cot)2(1 tan)10 8cot2tanxxxxxx 2210 2(8cot)(2tan)xx18，易求得12,3xy此时时“=”号成立，故最小值是18。评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：818 12()(2)228xyxyxyxyx y。原因就是等号成立的条件不一致。5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例 5、

8、已知正数xy、满足3xyxy，试求xy、xy的范围。解法一：由0,0 xy，则3xyxy 32xyxyxy ，即2()23 0 xyxy 解得13xyxy(舍)或，当且仅当3xyxyxy 且即3xy时取“=”号，故xy的取值范围是9,)。又23()2xyxyxy 2()4()12 0 xyxy2()6xyxy 舍 或，当且仅当3xyxyxy 且即3xy时取“=”号，故xy的取值范围是6,)解法二：由0,0 xy，3(1)3xyxyxyx知1x，则31xyx，由30011xyxx，则：2233(1)5(1)44(1)51111xxxxxxyxxxxxx 42(1)591xx，当且仅当41(0)3

9、1xxxx 即，并求得3y 时取“=”号，故xy的取值范围是9,)。31 44441(1)22(1)2611111xxxyxxxxxxxxxx ，当且仅当41(0)31xxxx 即，并求得3y 时取“=”号，故xy的取值范围是9,)。三、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、添、减项（配常数项）例 1 求函数221632yxx的最小值.分析：221632xx是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.而212x可与22x 相约，即其积为定积 1，因此可以先添、减项 6，即22163662yxx，再用均值不等式.22222221620,32163(2)62162 3(2)628 36xyxxxx

10、xx解：当且仅当22163(2)2xx，即24 323x 时,等号成立.所以y的最小值是8 36.评注 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项.2、配系数（乘、除项）例 2 已知0,0 xy，且满足3212xy，求lglgxy的最大值.分析 lglglg()xyxy,xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式xy是否定值，而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy变形为326xy，再用均值不等式.220,032lglglg()lg61 321 12lglg6262lg6xyxyxyxyxy解：当且仅当32xy，即2,

11、3xy时，等号成立.所以lglgxy的最大值是lg6.评注 本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利用22abab来解决.3、裂项 例 3 已知1x ，求函数521xxyx的最小值.分析 在分子的各因式中分别凑出1x，借助于裂项解决问题.141110,144(1)52(1)5119xxxyxxxxx 解：当且仅当411xx，即1x 时，取等号.所以min9y.4、取倒数 例 4 已知102x，求函数2(1)(12)xyxx的最小值.分析 分母是x与(12)x的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为(1)x(这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可

12、解决问题.解 由102x，得10 x，1 20 x.取倒数，得 221(1 2)131 2(1)3 1131 211113212xxxxyxxxxxxx 当且仅当31211xxxx，即15x 时，取等号.故y的最小值是12.5、平方 例 5 已知0,0 xy且22283yx 求262xy的最大值.分析 条件式中的x与y都是平方式，而所求式中的x是一次式，y是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式262xy平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.2222222222(62)(62)3 2(1)32(1)9333()22yxyxyxyx 解：当且仅当222(1)3yx，即32x

13、，422y 时，等号成立.故262xy的最大值是932.评注 本题也可将x纳入根号内，即将所求式化为262xy，先配系数，再运用均值不等式的变式.6、换元（整体思想）例 6 求函数225xyx的最大值.分析 可先令2xt，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.222,0,2,(0)2100;112014122 2122=.232,.24xt txttytttytytttttttx 解：令则当时，当时，当且仅当，即时，取等号所以时 取最大值为 7、逆用条件 例 7 已知191(0,0)xyxy,则xy的最小值是（）.分析 直接利用均值不等式，只能求xy的最小值，而无法求xy的最小值

14、.这时可逆用条件，即由191xy，得19()()xyxyxy，然后展开即可解决问题.190,0,1199()()109210169,4,12.16.xyxyyxxyxyxyxyyxxyyxxyxyxy解：由，得当且仅当即时，等号成立故的最小值是 评注 若已知0,0,xy1xy(或其他定值)，要求19xy的最大值，则同样可运用此法.8、巧组合 例 8 若,0a b c 且()42 3a abcbc,求2abc的最小值.分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用2abab+b 来解决.换个思路，可考虑将2abc重新组合，变成()()abac，而()()ab ac等于定值42 3，于是就可以利用

15、均值不等式了.2,0,2()()2()()22 42 32 32,31.22 32.a b cabcabacab acaabacbcbcbcaabc 解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为 9、消元 例 9、设,x y z为正实数，230 xyz，则2yxz的最小值是.分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得32xzy，则可对2yxz进行消元，用,x z表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.22223,0,29666=3,443,=33.xzx zyyxzxzxzxzxzxzxzyxzxy zyxz解：由可得当且仅当即时，取“”.故的最小值为 练习：1、试填写两个正整数，满足条件411 ，且使这两个正整数的和最小。2、试分别求：21(1)1xyxxx；1xyx最大值。3、求222log(2)log(3)1yxx最小值。总之，利用均值不等式求最值的方法多样，而且变化多端，要掌握常见的变形技巧，掌握常见题型的求解方法，加强训练、多多体会，才能达到举一反三的目的。2011年 1 月 2日