立体几何高考真题大题15414.pdf

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1、-.z.立体几何高考真题大题 1（2016 高考新课标 1 卷）如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD,90AFD,且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是60（）证明：平面 ABEF平面 EFDC；（）求二面角 E-BC-A 的余弦值【答案】（）见解析；（）2 1919【解析】试题分析：（）先证明F 平面FDC,结合F 平面F,可得平面F 平面FDC（）建立空间坐标系,分别求出平面C 的法向量m及平面C 的法向量n,再利用cos,n mn mn m求二面角 试题解析：（）由已知可得FDF,FF ,所以F 平面FDC 又F 平面F

2、,故平面F 平面FDC（）过D作DGF,垂足为G,由（）知DG 平面F 以G为坐标原点,GF的方向为x轴正方向,GF为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz 由（）知DF为二面角DF 的平面角,故DF60,则DF2,DG3,可得1,4,0,3,4,0,3,0,0,D 0,0,3 由已知,/F,所以/平面FDC 又平面CD平面FDCDC,故/CD,CD/F 由/F,可得平面FDC,所以C F 为二面角CF 的平面角,C F60 从而可得C2,0,3 所以C1,0,3,0,4,0,C3,4,3,4,0,0 设,nx y z是平面C 的法向量,则 C00nn,即3040 xzy,所以可取3,

3、0,3n 设m是平面CD的法向量,则C00mm,同理可取0,3,4m 则2 19cos,19n mn mn m 故二面角C的余弦值为2 1919 考点：垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决 2（2016 高考新课标 2 理数）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，5,6ABAC，点,E F分别在,AD CD上，5

4、4AECF，EF交BD于点H将DEF沿EF折到DEF位置，10OD （）证明：DH平面ABCD；（）求二面角BD AC的正弦值【答案】（）详见解析；（）2 9525【解析】试题分析：（）证/ACEF，再证DHOH，最后证D HABCD 平面；（）用向量法求解 试题解析：（）由已知得ACBD，ADCD，又由AECF得AECFADCD，故/ACEF 因此EFHD，从而EFDH由5AB,6AC 得2204DOBABAO 由/EFAC得14OHAEDOAD所以1OH，3D HDH 于是1OH，22223110DHOHDO，故D HOH 又DHEF，而OHEFH，所以DHABCD平面（）如图，以H为坐标

5、原点，HF的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系Hxyz，则0,0,0H，3,2,0A，0,5,0B，3,1,0C，0,0,3D，(3,4,0)AB，6,0,0AC，3,1,3AD 设111,mx y z是 平 面ABD的 法 向量，则-.z.00m ABm AD，即11111340330 xyxyz，所以可以取4,3,5m 设222,nxy z是平面ACD的法向量，则00n ACn AD，即222260330 xxyz，所 以 可 以 取0,3,1n 于 是147 5cos,25|5010m nm nmn，2 95sin,25m n 因此二面角BD AC的正弦值是2 9525 考点：线面垂

6、直的判定、二面角【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；ab，ab；，aa；面面垂直的性质 线面垂直的性质，常用来证明线线垂直 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角 3（2016 高考*理数）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆 O 的直径，EF 是上底面圆 O的直径，FB 是圆台的一条母线（）已知 G,H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH平面 ABC；（）已知 EF=FB=12AC=2 3，AB=BC求二面角FBCA的余弦值【答案】（）见解析；（）77【

7、解析】试题分析：（）根据线线、面面平行可得与直线 GH 与平面 ABC 平行；（）立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，其中解法一建立空间直角坐标系求解；解法二则是找到FNM为二面角FBCA的平面角直接求解 试题解析：（）证明：设FC的中点为I,连接,GI HI,在CEF,因为G是CE的中点，所以,GIF/E 又,FE/OB所以,GI/OB 在CFB中，因为H是FB的中点，所以/HIBC，又HIGII,所以平面/GHI平面ABC，因为GH 平面GHI，所以/GH平面ABC（）解法一：连接OO,则OO 平面ABC，又,ABBC且AC是圆O的直径，所以.BOAC 以

8、O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，由题意得(0,2 3,0)B，(2 3,0,0)C，过点F作FMOB垂直于点M，所以223,FMFBBM 可得(0,3,3)F 故(2 3,2 3,0),(0,3,3)BCBF 设(,)mx y z是平面BCF的一个法向量 由0,0m BCm BF 可得2 32 30,330 xyyz 可得平面BCF的一个法向量3(1,1,),3m 因为平面ABC的一个法向量(0,0,1),n 所以7cos,7|m nm nm n 所以二面角FBCA的余弦值为77 解法二：连接OO，过点F作FMOB于点M，则有/FMOO,又OO 平面ABC，所以 FM平面

9、ABC,可得223,FMFBBM 过点M作MNBC垂直于点N，连接FN，可得FNBC,从而FNM为二面角FBCA的平面角 又ABBC,AC是圆O的直径，-.z.所以6sin45,2MNBM 从而422FN，可得7cos.7FNM 所以二面角FBCA的余弦值为77 考点：1平行关系；2异面直线所成角的计算【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，给出规*的证明立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力转化与

10、化归思想及基本运算能力等 4（2016 高考*理数）如图，正方形 ABCD 的中心为 O，四边形 OBEF 为矩形，平面OBEF平面 ABCD，点 G 为 AB 的中点，AB=BE=2（）求证：EG平面 ADF；（）求二面角 O-EF-C 的正弦值；（）设 H 为线段 AF 上的点，且 AH=23HF，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值【答案】（）详见解析（）33（）721【解析】试题分析：（）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等

11、或互补关系求正弦值（）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值 试题解析：依题意，OFABCD平面，如图，以O为点，分别以,AD BA OF的方向为x轴，y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O，1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)ABCDEFG ，（）证明：依题意，(2,0,0),1,1,2ADAF设1,nx y z为平面ADF的法向量，则1100nADnAF，即2020 xxyz不妨设1z，可得10,2,1n，又0,1,

12、2EG，可 得10EG n，又 因 为 直 线EGADF平面，所 以/EGADF平面（）解：易 证，1,1,0OA 为 平 面OEF的 一 个 法 向 量 依 题 意，1,1,0,1,1,2EFCF 设2,nx y z为平面CEF的法向量，则2200nEFnCF，即020 xyxyz 不妨设1x，可得21,1,1n 因此有2226cos,3OA nOA nOAn，于是23sin,3OA n，所以，二面角OEFC的正弦值为33（）解：由23AHHF，得25AHAF 因 为1,1,2AF，所 以222 4,555 5AHAF，进而有3 3 4,5 5 5H，从而2 8 4,5 5 5BH，因此22

13、27cos,21BH nBH nBHn 所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为721 考点：利用空间向量解决立体几何问题 5（2016 年高考理数）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，1AB，2AD，5ACCD（1）求证：PD 平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M，使得/BM平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由【答案】（1）见解析；（2）33；（3）存在，14AMAP【解析】试题分析：（1）由面面垂直性质定理知 AB平面PAD；根据线面垂直性质定理可知PDAB，再由线面垂直判定定

14、理可知PD平面PAB；（2）取AD的中点O，连结PO，CO，以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，利用向量法可求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）假设存在，根据 A，P，M 三点共线，设APAM，根据/BM平面PCD，即0nBM，求的值，即可求出AMAP的值 试题解析：（1）因为平面PAD平面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD，所以PDAB，又因为PDPA，所以PD平面PAB；-.z.（2）取AD的中点O，连结PO，CO，因为PAPD，所以ADPO 又因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD 因为CO平面ABCD，所以POCO 因为CDAC，所以ADC

15、O 如图建立空间直角坐标系xyzO，由题意得，)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(PDCBA 设平面PCD的法向量为),(zyxn，则 0,0,n PDn PC即,02,0zxzy 令2z，则2,1yx 所以)2,2,1(n 又)1,1,1(PB，所以33,cosPBnPBnPBn 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为33（3）设M是棱PA上一点，则存在 1,0使得APAM 因此点),1(),1,0(BMM 因为BM平面PCD，所以BM平面PCD当且仅当0nBM，即0)2,2,1(),1(，解得41 所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD，此时4

16、1APAM 考点：1空间垂直判定与性质；2异面直线所成角的计算；3空间向量的运用【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直（必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系），构造（寻找）二面角的平面角或得到点到面的距离等 6（2016 高考新课标 3 理数）如图，四棱锥PABC中，PA地面ABCD，ADBC，3ABADAC，4PABC，M为线段AD上一点，2AMMD，N为PC的中点（）证明MN平面PAB；（）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值【答案】（）见解析；（）8 525【解析】试题分析：（

17、）取PB的中点T，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT为平行四边形，从而得到MNAT，由此结合线面平行的判断定理可证；（）以A为坐标原点，以,AD AP所在直线分别为,y z轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线AN的方向向量与平面PMN法向量的夹角来处理AN与平面PMN所成角 试题解析：（）由已知得232ADAM，取BP的中点T，连接TNAT,，由N为PC中点知BCTN/，221BCTN 又BCAD/，故TNAM，四边形AMNT为平行四边形，于是ATMN/因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以/MN平面PAB（）取BC的中点E，连结AE，由ACAB 得BCAE，从而ADAE，且5)2(22

18、22BCABBEABAE 以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyzA，由题意知，)4,0,0(P，)0,2,0(M，)0,2,5(C，)2,1,25(N，(0,2,4)PM，)2,1,25(PN，)2,1,25(AN 设(,)nx y z为平面PMN的法向量，则00PNnPMn，即0225042zyxzx，可取(0,2,1)n，于是|8 5|cos,|25|n ANn ANnAN 考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平

19、行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理 7（2016 高考*理数）如图,在三棱台ABCDEF中,平面BCFE 平面ABC,=90ACB,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3-.z.（）求证：EF平面 ACFD；（）求二面角 B-AD-F 的平面角的余弦值【答案】（）证明见解析；（）34【解析】试题分析：（）先证FC，再证FC，进而可证F 平面CFD；（）方法一：先找二面角D F 的平面角，再在RtQF中计算，即可得二面角D F的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面C 和平面的法向量，进而可得二面角D F的平

20、面角的余弦值 试题解析：（）延长D，CF相交于一点，如图所示 因为平面CF 平面C，且CC，所以，C平面C，因此，FC 又因为F/C，FFC1 ，C2，所以 C为等边三角形，且F为C的中点，则 FC 所以F 平面CFD（）方法一：过点F作FQ，连结Q 因为F 平面C，所以F，则 平面QF，所以Q 所以，QF是二面角D F 的平面角 在RtC 中，C3，C2，得3 13FQ13 在RtQF中，3 13FQ13，F3，得3cosQF4 所以，二面角D F的平面角的余弦值为34 方法二：如图，延长D，CF相交于一点，则C为等边三角形 取C的中点，则C ，又平面CF 平面C，所以，平面C 以点为原点，

21、分别以射线，的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系xyz 由题意得 1,0,0，C1,0,0，0,0,3，1,3,0 ，13,0,22，13F,0,22 因此，C0,3,0，1,3,3，2,3,0 设平面C 的法向量为111,mx y z，平面的法向量为222,nxyz 由C00mm ，得111130330yxyz，取3,0,1m；由00nn，得22222230330 xyxyz，取3,2,3n 于是，3cos,4m nm nmn 所以，二面角D F的平面角的余弦值为34 考点：1、线面垂直；2、二面角【方法点睛】解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误证明线面垂直

22、的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线 8（2016 年高考*理数）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=12AD，E 为边 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90（）在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由；（）若二面角 P-CD-A 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值【答案】（）详见解析；（）13【解析】试题分析：（）探索线面平行，根据是线面平行的判定定理，先证明线线平行，再得线面平行，而这可以利用已知的平行，易得

23、 CDEB；从而知M为 DC 和 AB 的交点；（）求线面角，可以先找到这个角，即作出直线在平面内的射影，再在三角形中解出，也可以利用已知图形中的垂直建立空间直角坐标系，用向量法求出线面角（通过平面的法向量与直线的方向向量的夹角来求得）试题解析：（）在梯形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行 延长 AB，DC，相交于点 M（M平面 PAB），点 M 即为所求的一个点理由如下：由已知，BCED，且 BC=ED 所以四边形 BCDE 是平行四边形，所以 CDEB 从而 CMEB 又 EB平面 PBE，CM平面 PBE，所以 CM平面 PBE（说明：延长 AP 至点 N，使得 AP=PN，则所找的

24、点可以是直线 MN 上任意一点）（）方法一：由已知，CDPA，CDAD，PAAD=A，所以 CD平面 PAD 从而 CDPD 所以PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角 所以PDA=45-.z.设 BC=1，则在 RtPAD 中，PA=AD=2 过点 A 作 AHCE，交 CE 的延长线于点 H，连接 PH 易知 PA平面 ABCD，从而 PACE 于是 CE平面 PAH 所以平面 PCE平面 PAH 过 A 作 AQPH 于 Q，则 AQ平面 PCE 所以APH 是 PA 与平面 PCE 所成的角 在 RtAEH 中，AEH=45，AE=1，所以 AH=22 在 RtPAH 中，PH=22

25、PAAH=3 22，所以 sinAPH=AHPH=13 方法二：由已知，CDPA，CDAD，PAAD=A，所以 CD平面 PAD 于是 CDPD 从而PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角 所以PDA=45 由 PAAB，可得 PA平面 ABCD 设 BC=1，则在 RtPAD 中，PA=AD=2 作 AyAD，以 A 为原点，以AD,AP的方向分别为*轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 A-*yz，则 A（0,0,0），P（0,0,2），C（2,1,0），E（1,0,0），所以PE=（1,0,-2），EC=（1,1,0），AP=（0,0,2）设平面 PCE 的法向量为 n=（

26、*,y,z），由0,0,PEECnn得20,0,xzxy设*=2，解得 n=（2,-2,1）设直线 PA 与平面 PCE 所成角为，则 sin=|n APnAP=22221322(2)1 所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为13 考点：线线平行、线面平行、向量法【名师点睛】本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分，求线面角（以及其他角），一种方法可根

27、据定义作出这个角（注意还要证明），然后通过解三角形求出这个角另一种方法建立空间直角坐标系，用向量法求角，这种方法主要是计算，不需要“作角、证明”，关键是记住相应公式即可 9（2016 高考*理数）将边长为 1 的正方形11AAOO（及其内部）绕的1OO旋转一周形成圆柱，如图，AC长为23，11AB长为3，其中1B与C在平面11AAOO的同侧。（1）求三棱锥111CO AB的体积；（2）求异面直线1BC与1AA所成的角的大小。【答案】（1）312（2）4【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高1h，底面半径1r 确定1113 计算111S 后即得（2）设过点1的母线与下底面交于点，根据11/

28、，知1C 或其补角为直线1C与1所成的角确定C3，C1 得出1C4 试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高1h，底面半径1r 由11 的长为3，可知1113 111111111113sin24S ，111111C13V312Sh （2）设过点1的母线与下底面交于点，则11/，所以1C 或其补角为直线1C与1所成的角 由C长为23，可知2C3，又1113 ，所以C3，从而C 为等边三角形，得C1 因为1 平面C，所以1C 在1C 中，因为1C2，C1，11 ，所以1C4 ，-.z.从而直线1C与1所成的角的大小为4 考点：1几何体的体积；2空间的角【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力转化与化归思想及基本运算能力等