垂径定理练习题汇总29779.pdf

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1、 一选择题（共 7 小题）1（2014凉山州）已知O 的直径 CD=10cm，AB 是O 的弦，AB=8cm，且 ABCD，垂足为 M，则 AC 的长为（）A cm B cm C cm 或cm D cm 或cm 2（2014舟山）如图，O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE=2，DE=8，则 AB 的长为（）A 2 B 4 C 6 D 8 3（2014毕节地区）如图，已知O 的半径为 13，弦 AB 长为 24，则点 O 到 AB 的距离是（）A 6 B 5 C 4 D 3 4（2014三明）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，则下列结论正确的是（）A OE=BE B

2、=C BOC 是等边三角形 D 四边形 ODBC 是菱形 专业.专注.学习参考 .5（2014南宁）在直径为 200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图若油面的宽 AB=160cm，则油的最大深度为（）A 40cm B 60cm C 80cm D 100cm 6（2014安顺）如图，MN 是半径为 1 的O 的直径，点 A 在O 上，AMN=30，点 B 为劣弧 AN 的中点P是直径 MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为（）A B 1 C 2 D 2 7（2014沛县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第一象限，A 与 x 轴交于 B（2，0）、C（8，0）两点，与 y 轴

3、相切于点 D，则点 A 的坐标是（）A（5，4）B（4，5）C（5，3）D（3，5）二解答题（共 7 小题）专业.专注.学习参考 .8（2014佛山）如图，O 的直径为 10cm，弦 AB=8cm，P 是弦 AB 上的一个动点，求 OP 的长度范围 9（2014盘锦三模）如图，CD 为O 的直径，CDAB，垂足为点 F，AOBC，垂足为 E，（1）求 AB 的长；（2）求O 的半径 10（2009长宁区二模）如图，点 C 在O 的弦 AB 上，COAO，延长 CO 交O 于 D弦 DEAB，交 AO 于F（1）求证：OC=OF；（2）求证：AB=DE 11（2009浦东新区二模）一根横截面为圆

4、形的下水管道的直径为 1 米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽 AB 为 0.6 米（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；（2）当水位上升到水面宽为 0.8 米时，求水面上升的高度 专业.专注.学习参考 .12（2008长宁区二模）如图，在ABC 中，AB=AC，O 过点 B、C，且交边 AB、AC 于点 E、F，已知A=ABO，连接 OE、OF、OB（1）求证：四边形 AEOF 为菱形；（2）若 BO 平分ABC，求证：BE=BC 13（2007佛山）如图，O 是ABC 的外接圆，且 AB=AC=13，BC=24，求O 的半径 14（2007青浦区二模）如图，一条公路的转弯处是一段

5、圆弧（图中的弧 AB），点 O 是这段弧的圆心，点 C 是弧 AB 上的一点，OCAB，垂足为 D，如 AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径 专业.专注.学习参考 .参考答案与试题解析 一选择题（共 7 小题）1（2014凉山州）已知O 的直径 CD=10cm，AB 是O 的弦，AB=8cm，且 ABCD，垂足为 M，则 AC 的长为（）A cm B cm C cm 或cm D cm 或cm 考点：垂径定理；勾股定理 专题：分类讨论 分析：先根据题意画出图形，由于点 C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论 解答：解：连接 AC，AO，O 的直径 CD=10cm，ABCD，AB=8c

6、m，AM=AB=8=4cm，OD=OC=5cm，当 C 点位置如图 1 所示时，OA=5cm，AM=4cm，CDAB，OM=3cm，CM=OC+OM=5+3=8cm，AC=4cm；专业.专注.学习参考 .当 C 点位置如图 2 所示时，同理可得 OM=3cm，OC=5cm，MC=53=2cm，在 RtAMC 中，AC=2cm 故选：C 点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 2（2014舟山）如图，O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE=2，DE=8，则 AB 的长为（）A 2 B 4 C 6 D 8 考点：垂径定理；勾股定理 专题：计算题

7、 分析：根据 CE=2，DE=8，得出半径为 5，在直角三角形 OBE 中，由勾股定理得 BE，根据垂径定理得出 AB 的长 解答：解：CE=2，DE=8，OB=5，OE=3，专业.专注.学习参考 .ABCD，在OBE 中，得 BE=4，AB=2BE=8 故选：D 点评：本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握 3（2014毕节地区）如图，已知O 的半径为 13，弦 AB 长为 24，则点 O 到 AB 的距离是（）A 6 B 5 C 4 D 3 考点：垂径定理；勾股定理 分析：过 O 作 OCAB 于 C，根据垂径定理求出 AC，根据勾股定理求出 OC 即可 解答：解：过 O 作

8、 OCAB 于 C，OC 过 O，AC=BC=AB=12，在 RtAOC 中，由勾股定理得：OC=5 故选：B 点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出 OC 的长 4（2014三明）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，则下列结论正确的是（）专业.专注.学习参考 .A OE=BE B=C BOC 是等边三角形 D 四边形 ODBC 是菱形 考点：垂径定理 分析：根据垂径定理判断即可 解答：解：ABCD，AB 过 O，DE=CE，=，根据已知不能推出 DE=BE，BOC 是等边三角形，四边形 ODBC 是菱形 故选：B 点评：本题考查了垂径定理的应用，主要考查学生的推理

9、能力和辨析能力 5（2014南宁）在直径为 200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图若油面的宽 AB=160cm，则油的最大深度为（）A 40cm B 60cm C 80cm D 100cm 考点：垂径定理的应用；勾股定理 分析：连接 OA，过点 O作 OEAB，交AB 于点M，由垂径定理求出 AM 的长，再根据勾股定理求出 OM的长，进而可得出 ME 的长 专业.专注.学习参考 .解答：解：连接 OA，过点 O 作 OEAB，交 AB 于点 M，直径为 200cm，AB=160cm，OA=OE=100cm，AM=80cm，OM=60cm，ME=OEOM=10060=40cm 故选：

10、A 点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 6（2014安顺）如图，MN 是半径为 1 的O 的直径，点 A 在O 上，AMN=30，点 B 为劣弧 AN 的中点P是直径 MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为（）A B 1 C 2 D 2 考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理 分析：作点 B 关于 MN 的对称点 B，连接 OA、OB、OB、AB，根据轴对称确定最短路线问题可得 AB与 MN 的交点即为 PA+PB 的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍求出AON=60，然后求出BON=30，再根据

11、对称性可得BON=BON=30，然后求出AOB=90，从而判断出AOB是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得 AB=OA，即为 PA+PB 的最小值 专业.专注.学习参考 .解答：解：作点 B 关于 MN 的对称点 B，连接 OA、OB、OB、AB，则 AB与 MN 的交点即为 PA+PB 的最小时的点，PA+PB 的最小值=AB，AMN=30，AON=2AMN=230=60，点 B 为劣弧 AN 的中点，BON=AON=60=30，由对称性，BON=BON=30，AOB=AON+BON=60+30=90，AOB是等腰直角三角形，AB=OA=1=，即 PA+PB 的最小值=故选：A

12、点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍的性质，作辅助线并得到AOB是等腰直角三角形是解题的关键 7（2014沛县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第一象限，A 与 x 轴交于 B（2，0）、C（8，0）两点，与 y 轴相切于点 D，则点 A 的坐标是（）专业.专注.学习参考 .A（5，4）B（4，5）C（5，3）D（3，5）考点：坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理 专题：压轴题 分析：因为点 A 在第一象限，A 与 x 轴交于 B（2，0）、C（8，0）两点，与 y 轴相切于点 D，所以 OB=2，OC=8，BC=6，连接 AD，则

13、 ADOD，过点 A 作 AEOC 于 E，则 ODAE 是矩形，由垂径定理可知BE=EC=3，所以 OE=AD=5，再连接 AB，则 AB=AD=5，利用勾股定理可求出 AE=4，从而就求出了 A 的坐标 解答：解：连接 AD，AB，AC，再过点 A 作 AEOC 于 E，则 ODAE 是矩形，点 A 在第一象限，A 与 x 轴交于 B（2，0）、C（8，0）两点，与 y 轴相切于点 D，OB=2，OC=8，BC=6，A 与 y 轴相切于点 D，ADOD，由垂径定理可知：BE=EC=3，OE=AD=5，AB=AD=5，利用勾股定理知 AE=4，A（5，4）故选 A 点评：本题需综合利用垂径定

14、理、勾股定理来解决问题 专业.专注.学习参考 .二解答题（共 7 小题）8（2014佛山）如图，O 的直径为 10cm，弦 AB=8cm，P 是弦 AB 上的一个动点，求 OP 的长度范围 考点：垂径定理；勾股定理 专题：几何图形问题 分析：过点 O 作 OEAB 于点 E，连接 OB，由垂径定理可知 AE=BE=AB，再根据勾股定理求出 OE 的长，由此可得出结论 解答：解：过点 O 作 OEAB 于点 E，连接 OB，AB=8cm，AE=BE=AB=8=4cm，O 的直径为 10cm，OB=10=5cm，OE=3cm，垂线段最短，半径最长，3cmOP5cm 点评：本题考查的是垂径定理，根据

15、题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 9（2014盘锦三模）如图，CD 为O 的直径，CDAB，垂足为点 F，AOBC，垂足为 E，专业.专注.学习参考 .（1）求 AB 的长；（2）求O 的半径 考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质 分析：（1）先根据 CD 为O 的直径，CDAB 得出=，故可得出C=AOD，由对顶角相等得出AOD=COE，故可得出C=COE，再根据 AOBC 可知AEC=90，故C=30，再由直角三角形的性质可得出 BF 的长，进而得出结论；（2）在 RtOCE 中根据C=30即可得出 OC 的长 解答：解：（1）CD 为O 的直径，CDAB，=，AF=BF

16、，C=AOD，AOD=COE，C=COE，AOBC，AEC=90，C=30，BC=2，BF=BC=，AB=2BF=2；（2）AOBC，BC=2，专业.专注.学习参考 .CE=BE=BC=，C=30，OC=2，即O 的半径是 2 点评：本题考查的是垂径定理，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键 10（2009长宁区二模）如图，点 C 在O 的弦 AB 上，COAO，延长 CO 交O 于 D弦 DEAB，交 AO 于F（1）求证：OC=OF；（2）求证：AB=DE 考点：垂径定理；全等三角形的判定 专题：证明题 分析：（1）、由同角的余角相等可得，DFO=OCA，

17、由 AAS 证得ACO DFO，故有 OF=OC；（2）、证得DOE=AOB，再由 SAS 得到OAB ODEAB=DE 解答：证明：（1）D+DCA=D+DFO=90，DFO=OAC 又OD=OA，DOF=AOC=90，ACO DFO OF=OC （2）连接 OB、OE，专业.专注.学习参考 .OE=OD，OA=OB，D=E，A=B DOE=1802D，AOB=1802A 由 1 知，ACO DFO，有A=D DOE=AOB 又OE=OD=OA=OB，OAB ODE AB=DE 点评：本题利用了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等边对等角求解 11（2009浦东新区二模）一根横截面为圆

18、形的下水管道的直径为 1 米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽 AB 为 0.6 米（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；（2）当水位上升到水面宽为 0.8 米时，求水面上升的高度 考点：垂径定理的应用 分析：作半径 OCAB，连接 OA，则 CD 即为弓形高根据垂径定理的 AD=AB，然后根据已知条件求出 CD 的长；当水位上升到水面宽 MN 为 0.8 米时，直线 OC 与 MN 相交于点 P，由此可得 OP=0.3，然后根据 MN专业.专注.学习参考 .与 AB 在圆心同侧或异侧时两种情况解答 解答：解：（1）作半径 OCAB，垂足为点 D，连接 OA，则 CD 即为弓形高 O

19、CAB，AO=0.5，AB=0.6，AD=AB=0.6=0.3，OD=0.4，CD=OCOD=0.50.4=0.1 米，即此时的水深为 0.1 米 （2）当水位上升到水面宽 MN 为 0.8 米时，直线 OC 与 MN 相交于点 P 同理可得 OP=0.3，当 MN 与 AB 在圆心同侧时，水面上升的高度为 0.1 米；当 MN 与 AB 在圆心异侧时，水面上升的高度为 0.7 米 点评：本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力 12（2008长宁区二模）如图，在ABC 中，AB=AC，O 过点 B、C，且交边 AB、AC 于点 E、F，已知A=ABO，连接 OE、OF、OB（1）求证：四边

20、形 AEOF 为菱形；（2）若 BO 平分ABC，求证：BE=BC 专业.专注.学习参考 .考点：菱形的判定；平行线的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆的认识；垂径定理 专题：证明题 分析：（1）连接 AO 并延长 AO 交 BC 于 M 过 O 作 OQAB 于 Q，连接 OC，根据等腰三角形的性质证出BAC=ABO=ACO，推出BAC=OEB=OFC，得出 AEOF，AFOE，再 OE=OF，即可推出答案；（2）根据角平分线定理求出 OQ=OM，根据勾股定理求出 BQ=BM，根据垂径定理即可推出结论 解答：证明：（1）连接 AO 并延长 AO 交 BC 于 M 过

21、O 作 OQAB 于 Q，ORAC 于 R，连接 OC，OB=OC，OBC=OCB，AB=AC，ABC=ACB，ABO=ACO，BAC=ABO，BAC=ABO=ACO，OE=OB，OC=OF，ABO=OEB，ACO=OFC，BAC=OEB=OFC，AEOF，AFOE，四边形 AEOF 是平行四边形，专业.专注.学习参考 .OE=OF，平行四边形 AEOF 为菱形 （2）圆 O 过 B、C，O 在 BC 的垂直平分线上，AB=AC，AMBC，BO 平分ABC，OQAB，OQ=OM，由勾股定理得：BM=BQ，由垂径定理得：BE=BC 点评：本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的判定，菱形的判定，垂径

22、定理，圆的认识，角平分线的性质，平行线的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是证此题的关键 13（2007佛山）如图，O 是ABC 的外接圆，且 AB=AC=13，BC=24，求O 的半径 考点：垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理 专业.专注.学习参考 .专题：压轴题 分析：可通过构建直角三角形进行求解连接 OA，OC，那么 OABC在直角三角形 ACD 中，有 AC，CD 的值，AD 就能求出了；在直角三角形 ODC 中，用半径表示出 OD，OC，然后根据勾股定理就能求出半径了 解答：解：连接 OA 交 BC 于点 D，连接 OC，OB，AB=AC=13，=，AOB=

23、AOC，OB=OC，AOBC，CD=BC=12 在 RtACD 中，AC=13，CD=12 所以 AD=设O 的半径为 r 则在 RtOCD 中，OD=r5，CD=12，OC=r 所以（r5）2+122=r2 解得 r=16.9 答：O 的半径为 16.9 点评：本题主要考查了垂径定理和勾股定理的综合运用 14（2007青浦区二模）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧 AB），点 O 是这段弧的圆心，点 C 是弧 AB 上的一点，OCAB，垂足为 D，如 AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径 专业.专注.学习参考 .考点：垂径定理的应用 分析：根据题意，可以推出 AD=BD=30，若设半径为 r，则 OD=r10，OB=r，结合勾股定理可推出半径 r 的值 解答：解：OCAB，AD=DB，在 RtAOD 中，OA2=OD2+AD2，设半径为 r 得：r2=（r10）2+302，解得：r=50，这段弯路的半径为 50m 点评：本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度