将军饮马问题(讲)4990.pdf

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1、将军饮马问题类型一、基本模式 类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚 M 出发，先赶到河 OA 上的某一位置 P，再马上赶到河 OB 上的某一位置 Q，然后立即返回校场 N 请为将军重新设计一条路线(即选择点 P 和 Q)，使得总路程 MPPQQN 最短 【变式】如图所示，将军希望从马棚 M 出发，先赶到河 OA 上的某一位置 P，再马上赶到河OB 上的某一位置 Q请为将军设计一条路线(即选择点 P 和 Q)，使得总路程 MPPQ 最短 3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为 a，沿河 OB 排开(从点 P 到点 Q)；将军从马棚 M 出发到达队头 P

2、，从 P 至 Q 检阅队伍后再赶到校场 N请问：在什么位置列队(即选择点 P 和 Q)，可以使得将军走的总路程 MPPQQN 最短?4.如图，点 M 在锐角AOB 内部，在 OB 边上求作一点 P，使点 P 到点 M 的距离与点 P 到 OA边的距离之和最小 5 已知MON 内有一点 P，P 关于 OM，ON 的对称点分别是和，分别交 OM,ON 于点A、B，已知15，则PAB 的周长为（）A.15 B 7.5 C.10 D.24 6.已知AOB，试在AOB 内确定一点 P，如图，使 P 到 OA、OB 的距离相等，并且到 M、N两点的距离也相等.7、已知MON40，P 为MON 内一定点，O

3、M 上有一点 A，ON 上有一点 B，当PAB 的周长取最小值时，求APB 的度数.8.如图，在四边形 ABCD 中，A90，AD4，连接 BD，BDCD，ADBC.若 P 是 BC边上一动点，则 DP 长的最小值为_.练习 1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由 2、如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？aBA 3、已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M

4、，使得|AMBM最小 4、如图，正方形ABCD中，8AB，M是DC上的一点，且2DM，N是AC上的一动点，求DNMN的最小值与最大值 NMDCBA 5、如图，已知AOB 内有一点 P，试分别在边 OA 和 OB 上各找一点 E、F，使得PEF 的周长最小。试画出图形，并说明理由。6、如图，直角坐标系中有两点 A、B,在坐标轴上找两点 C、D,使得四边形 ABCD 的周长最小。.A.B 7、如图，村庄 A、B 位于一条小河的两侧，若河岸 a、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥 CD，问桥址应如何选择，才能使 A 村到 B 村的路程最近？8、4)9(122xxy,当 x 为何值时，y 的值

5、最小，并求出这个最小值.9、在平面直角坐标系中，A(1，-3)、B(4，-1)、P(a,0)、N(a+2,0),当四边形 PABN 的周长最小时，求 a 的值.10、如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB=CD=AD=2，D=120，点 E、F 是底边 AD 与 BC 的中点，连接 EF，在线段 EF 上找一点 P，使 BP+AP 最短 练习 1、观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2、以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A等边三角形 B矩形 C等腰梯形 D平行四边形 3、在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心

6、对称图形的是 4、在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中，是中心对称图形的个数为（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图甲）结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是()(A)对应点连线与对称轴垂直 (B)对应点连线被对称轴平分(C)对应点连线被对称轴垂直平分 (D)对应点连线互相平行 6、对右图的对称性表述，正确的是（）A轴对称图形 B中心对称图形 C

7、既是轴对称图形又是中心对称图形 D既不是轴对称图形又不是中心对称图形 7、如图，ABC是由ABC经过变换得到的，则这个变换过程是（A）平移 （B）轴对称 （C）旋转 （D）平移后再轴对称 C B A BBABC 8、如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y12xb交折线OAB于点E （1）记ODE的面积为S，求S 关于b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，9、探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该

8、重叠部分的面积；若改变，请说明理由.【答案】（1）由题意得 B（3，1）若直线经过点A（3，0）时，则b32 若直线经过点B（3，1）时，则b52 若直线经过点C（0，1）时，则b1 若直线与折线OAB的交点在OA上时，即 1b32，如图 25-a，此时E（2b，0）S12OECO122b1b 若直线与折线OAB的交点在BA上时，即32b52，如图 2 此时E（3，32b），D（2b2，1）SS矩(SOCDSOAE SDBE)C D B A E O x y 图 1 DExyCBAODExyCBAO图 2 312(2b1)112(52b)(52b)123(32b)252bb 2312535222

9、bbSbbb（2）如图 3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形 OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！由题意知，DMNE，DNME，四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知，MEDNED 又MDENED，MEDMDE，MDME，平行四边形DNEM为菱形 过点D作DHOA，垂足为H，由题易知，tanDEN12，DH1，HE2，设菱形DNEM 的边长为a，则在 RtDHM中，由勾股定理知：222(2)1aa，54a S四边形DNEMNEDH54 矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发

10、生变化，面积始终为54 10如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（0,1），B（-1,1），C（-1,3）。（1）画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1，并写出点 C1的坐标；（2）画出ABC 绕原点 O 顺时针方向旋转 90后得到的A2B2C2，并写出点 C2的坐标；，（3）将A2B2C2平移得到 A3B3C3，使点 A2的对应点是 A3，点 B2的对应点是 B3 ，点 C2的对应点是 C3（4，-1），在坐标系中画出 A3B3C3，并写出点 A3，B3的坐标。图 3 HNMC1A1B1O1DExyCBAO【答案】（1）C1(-1,-3)(2)C2(3,1)(3)

11、A3(2,-2),B3(2,-1)11、分别按下列要求解答：（1）在图 1 中,将ABC先向左平移 5 个单位,再作关于直线AB的轴对称图形,经两次变换后得到A1B1 C1.画出A1B1C1；（2）在图 2 中,ABC经变换得到A2B2C2.描述变换过程.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 A B C A2 B2 C2 【答案】(1)如图 (2)将ABC先关于点A作中心对称图形,再向左平移 2 个单位,得到A2B2C2（变换过程不唯一）0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 12 11 10 9 8

12、7 6 5 4 3 2 1 A B C 12、(1)观察发现 如题 26(a)图，若点 A，B 在直线l同侧，在直线l上找一点 P，使 AP+BP 的值最小 做法如下：作点 B 关于直线l的对称点B，连接AB，与直线l的交点就是所求的点 P 再如题 26(b)图，在等边三角形 ABC 中，AB=2，点 E 是 AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找一点 P，使 BP+PE 的值最小 做法如下：作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这 点就是所求的点 P，故 BP+PE 的最小值为 题 18(a)图 题 18(b)图 (2)实践运用 如题 26(c

13、)图，已知O 的直径 CD 为 4，AD 的度数为 60，点 B 是AD的中点，在直径 CD 上找一点 P，使 BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值 题 18(c)图 题 18(d)图 (3)拓展延伸 如题 26(d)图，在四边形 ABCD 的对角线 AC 上找一点 P，使APB=APD保留 作图痕迹，不必写出作法 【答案】解：（1）3；（2）如图：作点 B 关于 CD 的对称点 E，则点 E 正好在圆周上，连接 OA、OB、OE，连接 AE 交 CD 与一点 P，AP+BP 最短，因为 AD 的度数为 60，点 B 是AD的中点，所以AEB=15，因为 B 关于 CD 的对称点 E，所以BOE=60，所以OBE 为等边三角形，所以OEB=60，所以OEA=45，又因为 OA=OE，所以OAE 为等腰直角三角形，所以 AE=2 2.（3）找 B 关于 AC 对称点 E，连 DE 延长交 AC 于 P 即可，13、如图所示，A、B 两村之间有一条河，河宽为 a，现要在河上修一座垂直于河岸的桥，（）要使 AB 两村路程最近，请确定修桥的地点。（）桥建在何处才能使 AB 两村到桥的距离相等？