高考数学试题分类汇编2256.pdf

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1、 1 历年高考数学试题分类汇编 概率与统计 一 选择题：1.（安徽卷 10）设两个正态分布2111()(0)N，和2222()(0)N，的密度函数图像如图所示。则有（A ）A 1212,B 1212,C 1212,D 1212,2.（山东卷 7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为 1，2，3，18 的 18 名火炬手.若从中任选 3 人，则选出的火炬手的编号能组成 3 为公差的等差数列的概率为 B（A）511 （B）681（C）3061 （D）4081 3.（山东卷 8)右图是根据山东统计年整 2007中的资料作成的 1997年至 2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字

2、从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到 1997年至 2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（A）304.6 （B）303.6 (C)302.6 (D)301.6 4.（江西卷 11）电子钟一天显示的时间是从 00:00 到 23:59 的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为 23 的概率为 C A 1180 B1288 C1360 D1480 5.（湖南卷 4）设随机变量服从正态分布(2,9)N,若(1)(1)PcPc,则c=(B )A.1 B.2 C.3 D.4 2 6.（重庆

3、卷 5)已知随机变量服从正态分布N(3,a2),则P(3)D (A)15 (B)14 (C)13 (D)12 7.（福建卷5)某一批花生种子，如果每 1 粒发牙的概率为45,那么播下 4 粒种子恰有2 粒发芽的概率是 B A.16625 B.96625 C.192625 D.256625 8.（广东卷2）记等差数列na的前n项和为nS，若112a，420S，则6S（D ）A 16 B 24 C 36 D 48 9.（辽宁卷 7）4 张卡片上分别写有数字 1，2，3，4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为（C）A 13 B 12 C 23 D 34

4、 二 填空题：1.（天津卷 11）一个单位共有职工 200人，其中不超过 45 岁的有 120人，超过 45 岁的有 80 人为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本，应抽取超过 45 岁的职工_人10 2.（上海卷 7）在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 34（结果用分数表示）3.（上海卷 9）已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为 10.5，若要使该总体的方差最小，则a

5、、b的取值分别是 10.5和 10.5;4.（江苏卷 2）一个骰子连续投 2 次，点数和为 4 的概率 112 5.（江苏卷 6）在平面直角坐标系xoy中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则落入 E 中的概率 16 6.（湖南卷 15）对有n(n4)个元素的总体1,2,n进行抽样，先将总体分成两个 3 子总体1,2,m和1,2,mmn(m是给定的正整数，且 2 mn-2),再从每个子总体中各随机抽取 2个元素组成样本.用ijP表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则1nP=;所有ijP(1ijn的和等

6、于 .4()m nm ,6 三 解答题：1.（全国一 20）（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止 方案乙：先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验 （）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（）表示依方案乙所需化验次数，求的期望 解：（）对于甲：次

7、数 1 2 3 4 5 概率 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 对于乙：次数 2 3 4 概率 0.4 0.4 0.2 0.20.40.20.80.2 10.2 10.64 （）表示依方案乙所需化验次数，的期望为2 0.43 0.44 0.22.8E 2.（全国二 18）（本小题满分 12 分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得 10 000 元的赔偿金假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为41010.999（）求一投保人在一

8、年度内出险的概率p；（）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元，为保证盈利的期望不小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）解：4 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的 10 000 人中出险的人数为，则4(10)Bp，（）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金，则A发生当且仅当0，2 分()1()P AP A 1(0)P 4101(1)p，又410()1 0.999P A ，故0.001p 5 分（）该险种总收入为10 000a元，支出是赔偿金总额与成本的和 支出 10 00050 000，盈利 10 000(10 0

9、0050 000)a，盈利的期望为 1 0 0 0 01 0 0 0 05 0 0EaE，9 分 由43(10 10)B，知，310 000 10E，44410105 10EaE 44434101010105 10a 0E4441010105 100a 1050a 15a（元）故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元 12 分 3.（北京卷 17）（本小题共 13 分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到ABCD，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的

10、分布列 解：（）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件AE，那么3324541()40AAP EC A，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是140 5（）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么4424541()10AP EC A，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P EP E （）随机变量可能取的值为 1，2事件“2”是指有两人同时参加A岗位服务，则235334541(2)4C APC A 所以3(1)1(2)4PP，的分布列是 1 3 P 34 14 4.（四川卷 18）（本小题满分 12 分）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概

11、率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。（）求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（）求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（）记表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望。【解】：记A表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲种商品，记B表示事件：进入商场的 1 位顾客购买乙种商品，记C表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，记D表示事件：进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，（）CA BA B P CPA BA B P A BP A

12、 B P AP BP AP B 0.5 0.40.5 0.6 0.5（）DA B P DP A B 6 P AP B 0.5 0.4 0.2 10.8PDPD（）3,0.8B，故的分布列 300.20.008P 12310.8 0.20.096PC 22320.80.20.384PC 330.80.512P 所以3 0.82.4E 5.（天津卷 18）（本小题满分 12 分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p，且乙投球 2 次均未命中的概率为161（）求乙投球的命中率p；（）求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率；（）若甲、乙两人各投球 2 次，求两人共命中

13、2 次的概率 解：本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分 12 分（）解法一：设“甲投球一次命中”为事件 A，“乙投球一次命中”为事件 B 由题意得 1611122pBP 解得43p或45（舍去），所以乙投球的命中率为43 解法二：设设“甲投球一次命中”为事件 A，“乙投球一次命中”为事件 B 由题意得1()()16P B P B，于是1()4P B 或1()4P B （舍去），故31()4pP B 所以乙投球的命中率为34（）解法一：由题设和（）知 21,21APAP 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为431AAP 解法二

14、：7 由题设和（）知 21,21APAP 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 4312APAPAPAPC（）由题设和（）知，41,43,21,21BPBPAPAP 甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中 2 次。概率分别为 1631212BPBPCAPAPC，641BBPAAP，649BBPAAP 所以甲、乙两人各投两次，共命中 2 次的概率为3211649641163 6.（安徽卷 19)（本小题满分 12 分）为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了 n 株沙柳，各株沙柳成

15、活与否是相互独立的，成活率为 p，设为成活沙柳的株数，数学期望3E，标准差为62。（）求 n,p 的值并写出的分布列；（）若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率 解：(1)由233,()(1),2Enpnpp得112p,从而16,2np 的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 P 164 664 1564 2064 1564 664 164(2)记”需要补种沙柳”为事件 A,则()(3),P AP 得 161 52 02 1(),6 43 2P A 或 156 121()1(3)16432P AP 7.（山东卷 18）（本小题满分 12 分）甲乙两队参加奥运知

16、识竞赛，每队 3 人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为32，乙队中 3 人答对的概率分别为21,32,32且各人正确与否相互之间没有影响.用 表示甲队的总得分.8（）求随机变量 分布列和数学期望；()用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件，用 B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求 P(AB).()解法一：由题意知，的可能取值为 0，1，2，3,且 所以 的分布列为 0 1 2 3 P 271 92 94 278 的数学期望为 E=.227839429212710 解法二：根据题设可知)32,3(B 因此 的分布列为 2

17、323),32,3(.3,2,1,0,32)321()32()(3323EBkCCkPkkkkk所以因为（）解法一：用 C 表示“甲得 2 分乙得 1 分”这一事件，用 D 表示“甲得 3 分乙得 0 分”这一事件，所以 AB=CD,且 C、D 互斥，又,34)213131()32()(,310213132213231213132)321()32()(52324232CDPCCP 由互斥事件的概率公式得 24334334354310)()()(54DPCPABP.解法二：用 Ak表示“甲队得 k 分”这一事件，用 Bk表示“已队得 k 分”这一事件，k=0,1,2,3 由于事件 A3B0,A2

18、B1为互斥事件，故事 P(AB)=P(A3B0A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).278)32()3(,94)321()32()2(,92)321(32)1(,271)321()0(3333232231330CPCPCPCP 9=.24334)32213121(32)2131()32(2212323223CC 8.（江西卷 18）（本小题满分 12 分）某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑

19、桔产量为上一年产量的 1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.5、0.5.若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的 1.2 倍、1.0 倍、0.8 倍的概率分别是 0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的 1.2 倍、1.0 倍的概率分别是 0.4、0.6.实施每种方案，第二年与第一年相互独立。令(1,2)ii表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数（1）写出12、的分布列；（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益 10 万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益

20、 15 万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益 20 万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？解：（1）1的所有取值为0.8 0.9 1.0 1.125 1.25、2的所有取值为0.8 0.96 1.0 1.2 1.44、,1、2的分布列分别为：1 0.8 0.9 1.0 1.125 1.25 P 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15 2 0.8 0.96 1.0 1.2 1.44 P 0.3 0.2 0.18 0.24 0.08 （2）令 A、B 分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，()0.150.150.3P A,()0.240.080.32P B 可

21、见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大 10（3）令i表示方案i所带来的效益，则 1 10 15 20 P 0.35 0.35 0.3 2 10 15 20 P 0.5 0.18 0.32 所以1214.75,14.1EE 可见，方案一所带来的平均效益更大。9.（湖北卷 17）.（本小题满分 12 分）袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.（）求的分布列，期望和方差；（）若ab,1E,11D,试求 a,b 的值.解：本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能

22、力.（满分12 分）解：（）的分布列为：0 1 2 3 4 P 12 120 110 320 15 11131012341.5.22010205E 2222211131(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5)2.75.22010205（）由Da D 2，得 a22.7511，即2.a 又,EaEb 所以 当 a=2 时，由 121.5+b,得 b=-2;当 a=-2 时，由 1-21.5+b，得 b=4.2,2ab 或2,4ab 即为所求.10.（湖南卷 16）.（本小题满分 12 分）11 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要

23、面试 合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响.求：（）至少有 1 人面试合格的概率;（）签约人数的分布列和数学期望.解:用 A，B，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A，B，C 相互独立，且 P（A）P（B）P（C）12.（）至少有 1 人面试合格的概率是 3171()1()()()1().28P ABCP A P B P C （）的可能取值为 0，1，2，3.(0)()()()PP AB CP A BCP A B C ()()()()()()()()()P A P B P CP A P B P C

24、P A P B P C 3231113()()().2228 (1)()()()PP A BCP A B CP A B C =()()()()()()()()()P A P B P CP A P B P CP A P B P C =3331113()()().2228 1(2)()()()().8PP AB CP A P B P C 1(3)()()()().8PP A B CP A P B P C 所以，的分布列是 0 1 2 3 P 38 38 18 18 的期望331101231.8888E 11.（陕西卷 18）（本小题满分 12 分）某射击测试规则为：每人最多射击 3 次，击中目标即

25、终止射击，第i次击中目标得1 i(12 3)i ，分，3 次均未击中目标得 0 分已知某射手每次击中目标的概率为 0.8，其各次射击结果互不影响 12（）求该射手恰好射击两次的概率；（）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望 解：（）设该射手第i次击中目标的事件为(12 3)iA i ，则()0.8()0.2iiP AP A，()()()0.20.80.16iiiiP A AP A P A（）可能取的值为 0，1，2，3 的分布列为 0 0.0081 0.0322 0.163 0.82.752E .12.（重庆卷 18）（本小题满分 13 分，（）小问 5 分，（）小问 8 分.）甲、

26、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满 6 局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立.求：（）打满 3 局比赛还未停止的概率；（）比赛停止时已打局数的分别列与期望E.解：令,kkkA B C分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.（）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满 3 局比 赛还未停止的概率为 12312333111()().224P AC BP BC A （）的所有可能值为 2，3，4，5，6，且 1212

27、22111(2)()(),222PP A AP B B 12312333111(3)()().224PP AC CP BC C 1234123444111(4)()().228PP AC B BP BC A A 123451234555111(5)()(),2216PP AC B A AP BC A B B 123451234555111(6)()(),2216PP AC B A CP BC A B C 故有分布列 0 1 2 3 P 0.008 0.032 0.16 0.8 2 3 4 5 6 13 从而111114723456248161616E （局）.13.（福建卷 20）（本小题满分

28、 12 分）某项考试按科目 A、科目 B 依次进行，只有当科目 A 成绩合格时，才可继续参加科 目 B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证 书.现某人参加这项考试，科目 A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目 B 每次考试 成绩合格的概率均为12.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.（）求他不需要补考就可获得证书的概率；（）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望 E.本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的能力.满分12 分.解:设“科目A第一次考试合格”为事件A，“科目A补考合

29、格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B，“科目B补考合格”为事件B.()不需要补考就获得证书的事件为A1B1,注意到A1与B1相互独立，则1111211()()()323P A BP AP B.答：该考生不需要补考就获得证书的概率为13.()由已知得，2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 1112(2)()()PP A BP A A 2111114.3233399 112112122(3)()()()PP A B BP A B BP A A B 2112111211114,3223223326693 12221212(4)()()PP A A B BP A A B B

30、12111211111,3322332218189 故4418234.9993E P 12 14 18 116 116 14 答：该考生参加考试次数的数学期望为83.14.（广东卷 17）（本小题满分 13 分）随机抽取某厂的某种产品 200 件，经质检，其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20件、次品 4 件已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元，而 1 件次品亏损 2 万元设 1 件产品的利润（单位：万元）为（1）求的分布列；（2）求 1 件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品

31、率提高为70%如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元，则三等品率最多是多少？【解析】的所有可能取值有 6，2，1，-2；126(6)0.63200P，50(2)0.25200P 20(1)0.1200P，4(2)0.02200P 故的分布列为：6 2 1-2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 （2）6 0.632 0.251 0.1(2)0.024.34E （3）设技术革新后的三等品率为x，则此时 1 件产品的平均利润为()6 0.72(10.70.01)(2)0.014.76(00.29)E xxxx 依题意，()4.73E x，即4.764.73x，解得0.03x

32、 所以三等品率最多为3%15.（浙江卷 19）（本题 14 分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是52；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是97。（）若袋中共有 10 个球，（i）求白球的个数；（ii）从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望E。（）求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于107。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力满分 1

33、4 分（）解：（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件 A，设袋中白球的个数为x，则2102107()19xCP AC，得到5x 故白球有 5 个 15（ii）随机变量的取值为 0，1，2，3，分布列是 0 1 2 3 P 112 512 512 112 的数学期望 155130123121212122E （）证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得25yn，所以2yn，21yn，故112yn 记“从袋中任意摸出两个球，至少有 1 个黑球”为事件 B，则 23()551yP Bn231755210 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n，红球的个数少于5n 故袋中红球个

34、数最少 16.（辽宁卷 18）（本小题满分 12 分）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近 100 周的统计结果如下表所示：周销售量 2 3 4 频数 20 50 30（）根据上面统计结果，求周销售量分别为 2 吨，3 吨和 4 吨的频率；（）已知每吨该商品的销售利润为 2 千元，表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望 解：本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分 12 分 解：（）周销售量为 2 吨，3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2，0.5 和 0.3 3 分（）的可能值为 8，10，12，14，16，且 P（=8）=0.22=0.04，P（=10）=20.20.5=0.2，P（=12）=0.52+20.20.3=0.37，P（=14）=20.50.3=0.3，P（=16）=0.32=0.09 的分布列为 8 10 12 14 16 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 9 分 E=80.04+100.2+120.37+140.3+160.09=12.4（千元）12 分