高中数学复习：空间向量11229.pdf

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1、试卷第 1 页，总 41页空间向量一、解答题1 （2021北京延庆 高二期中）如图，正方体1 1 1 1ABCD A B CD中，棱长为 2，E，F分别是1BB，1DC的中点（）求证：/EF平面ABCD；（）求直线1DC与平面EAD所成角的正弦值2（2021北京一七一中高二期中）如图，在四棱锥E ABCD中，平面ADE 平面ABCD，O，M分别为线段 AD，DE 的中点四边形 BCDO是边长为 1 的正方形，AE DE，AE DE（1）求证：/CM平面 ABE；（2）求直线 DE 与平面 ABE所成角的正弦值3（2021北京市延庆区教育科学研究中心高二期末）如图，在四棱锥P ABCD中，PA

2、试卷第 2 页，总 41页平面ABCD，2PA AD CD，3BC，2 2AC，E为PB中点，CD BC.（1）求证：BC/平面PAD；（2）求直线AE与平面PCD所成角的正弦值.4 （2021北京西城 高二期末）如图，在长方体1 1 1 1ABCD AB CD中，底面ABCD是边长为1的正方形，12AA，,EF分别为11,CCAA的中点（1）求证：1/DF平面BDE；（2）求直线1DE与平面BDE所成角的正弦值；（3）求直线1DF与平面BDE之间的距离5 （2021北京中关村中学高二期末）在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为直角梯形，/BCAD，90ADC，112BC CDAD，E为线段A

3、D的中点PE 底面ABCD，点F是棱长PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G（）求证：/BEFG；试卷第 3 页，总 41页（）若PC与AB所成的角为3，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值6（2021北京朝阳 高二期末）在如图所示的多面体中，/AD BC且2ADBC，AD CD，/EG AD且EG AD，/CD FG且2CDFG，DG 平面 ABCD，2DA DC DG，M，N分别为棱,FC EG的中点.（I）求点 F到直线 EC 的距离；（II）求平面 BED 与平面 EDC 夹角的余弦值；（III）在棱 GF 上是否存在一点 Q，使得平面 MNQ/平而 EDC？若存在.指出点 Q的位置

4、，若不存在，说明理由.7 （2021北京清华附中高二期末）如图，在四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中/ADBC，AB AD，122AB ADBC，4PA，E为棱BC上的点，且14BEBC.（1）若 F为棱PD的中点，求证：/EF平面PAB；（2）（i）求证DE 平面PAC；（ii）设 Q为棱CP上的点(不与 C，P重合)，且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为55，求CQCP的值.试卷第 4 页，总 41页8 （2021北京市八一中学高二期末）如图，在四棱锥O ABCD，底面 ABCD是边长为1 的菱形，3ABC，OA 底面 ABCD，2OA，M为 OA 的

5、中点，N为 BC 的中点（1）证明：直线/MN平面 OCD；（2）求二面角A CD O的余弦值；（3）求点 B到平面 OCD 的距离9 （2021北京海淀 中关村中学高二期末）如图，在四棱锥P ABCD中，PD 底面,/,222,4,ABCDAB DC CDABADPDAD CD E为棱PD上一点（1）求证：无论点E在棱PD的任何位置，都有CD AE成立；（2）若E为PD中点，求二面角A EC P的余弦值；（3）在棱PD上是否存在一点E，使/PB平面AEC？若存在，说明点E的位置，若不存在，说明理由10（2021北京市第十二中学高二期末）如图，在长方体1 1 1 1ABCD A B CD中，1

6、AB AD，12AA，E是棱1DD的中点试卷第 5 页，总 41页（1）求证：1BC AB；（2）求平面1AB E与平面ABCD夹角的余弦值；（3）在棱1CC上是否存在一点F，使得EF与平面1AB E所成角的正弦值为33，若存在，求出CF的长；若不存在，请说明理由11（2021北京高二期末）如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，ACBC，AC=1，BC=CC1=2.（1）求证：11BC AB；（2）在线段 AC1上是否存在一点 D，使得1A D与平面1ABC所成的角为3？若存在，求出1ADAC的值；若不存在，请说明理由.12（2021北京高二期末）已知在三棱柱1 1 1ABC A B C中

7、，1AA 平面ABC，AB AC，且1AB AC，13AA，点D是BC的中点.试卷第 6 页，总 41页（1）求证：1/A B平面1AC D；（2）在棱1CC上是否存在一点M，使1B M 平面1AC D？若存在，指出点M的位置并证明，若不存在，说明理由.13（2021北京高二期末）已知在四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD，AB AD，/AB CD，112PAAD CDAB.（1）求证：CD PD；（2）求二面角A PBC的余弦值；（3）求点A到平面PBC的距离.14（2021北京高二期末）如图，在四棱锥P ABCD中，平面PCD 平面,ABCD PCD为等边三角形，112AB ADCD，

8、90,BADADCM是棱PD的中点.试卷第 7 页，总 41页（1）求证：AD 平面PCD；（2）求二面角MBCD的余弦值；（3）证明：直线CM与平面PAB相交.15（2021北京市育英学校高二期末）如图，四边形ABCD为正方形，/12MA PBMA BCAB PBMAAB PB，E与F分别是PD与AB的中点.（1）求证：PB 平面ABCD；（2）求证：EF/平面PCB；（3）求直线PC与平面PDM所成角的正弦值.16（2021北京市育英学校高二期末）已知空间中三点2,0,2,1,1,2,3,0,4ABC，设,a AB b AC .（1）若3c，且/c BC，求向量c；（2）已知向量kab 与

9、b互相垂直，求k的值；（3）若点1,1,Pm在平面ABC上，求m的值.17（2021北京高二期末）如图，平面ABCD平面CDE，四边形ABCD是边长为2的正方形，DC CE，90DCE，F为DE的中点，点P在线段BE上.试卷第 8 页，总 41页（1）求证：DE 平面BCF；（2）若存在点P，使得平面CFP与平面BCF所成二面角的余弦值为33，求BPBE的值.18（2021北京高二期末）四棱锥P ABCD的底面是矩形，侧棱PA 底面ABCD，E是PD的中点，212PA,AB,AD.（1）求证：/PB平面ACE；（2）求直线CP与平面ACE所成角的正弦值；（3）求点P到平面ACE的距离.19（2

10、021中国农业大学附属中学高二期末）如图，在长方体1 1 1 1ABCD A B CD中，11,2AD AAAB，点E是棱AB的中点.（1）证明：11DE A D；（2）求直线CE与1A D所成的角；（3）求二面角1D ECD的余弦值.20（2021北京交通大学附属中学高二期末）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形，PD 平面ABCD，PD AB，点E、F、G分别为PC、PA、BC的中点.试卷第 9 页，总 41页（1）求证：PB EF；（2）求证：/FG平面PCD；（3）求平面EFG与平面PAD所成二面角的余弦值；（4）求直线DE与平面EFG所成角的大小.21（2021北京人大

11、附中高二期末）如图，在四棱锥E ABCD中，平面ADE 平面ABCD O M，分别为线段AD DE，的中点四边形BCDO是边长为 1 的正方形，,AE DE AE DE（）求证：/CM平面ABE；（）求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；（）点 N在直线AD上，若平面BMN 平面ABE，求线段AN的长22（2021北京高二期末）已知在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为 4 的正方形，PAD是正三角形，CD 平面PAD，,EFGO分别是,PC BC PDAD的中点（）求证：PO 平面ABCD；（）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小23（2021北京）如图，在四棱锥P ABCD中

12、，PD 平面ABCD，E为AD的中点，试卷第 10页，总 41页底面ABCD是边长为2的正方形，且二面角P BEC的余弦值为66（1）求PD的长；（2）求点C到平面PEB的距离24（2021北京）如图，在正三棱柱1 1 1ABC A B C中，1AB AA，,DEF分别是11,BC BBAA的中点（1）求证：/CF平面ADE；（2）求证：1BC 平面ADE25（2021北京房山 高二期末）如图，在四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD为正方形，2PA AB，E为PD中点.试卷第 11页，总 41页（1）求证：BD 平面PAC；（2）求二面角P AC E的余弦值；26（2021北

13、京高二期末）如图，已知正方体1 1 1 1ABCD A B CD的棱长为2，M为1AA的中点.（1）求证：1/A B平面1MCD；（2）求平面1MCD与平面11CCD夹角的余弦值.27（2021北京高二期末）如图，在长方体1 1 1 1ABCD A B CD中，11AD AA，2AB，E为 AB 的中点.（1）证明：11DE A D；试卷第 12页，总 41页（2）求点 E到平面1ACD的距离；（3）求平面1AD E与平面1ACD夹角的余弦值.28（2021北京高二期末）如图四棱锥P ABCD中，PAD是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，/BC AD，AB AD，222ADAB BC，2PC，

14、E为 PD 的中点.（1）求直线 PB 与平面 PAC所成角的正弦值；（2）设 F是 BE 的中点，判断点 F是否在平面 PAC内，并证明结论.29（2021北京牛栏山一中高二期中）如图，在三棱柱1 1 1ABC A B C中，1CC平面,2ABC AC BC AC BC，13CC，点,DE分别在棱1AA和棱1CC上，且12,ADCEM为棱1 1A B的中点（）求证：11CMBD；（）求二面角1B BE D的正弦值；试卷第 13页，总 41页（）求直线AB与平面1DB E所成角的正弦值30（2021北京实验学校平谷校区高二期末）如图，在正方体1 1 1 1ABCD A B CD中，E为1BB的

15、中点（）求证：1/BC平面1AD E；（）求直线1AA与平面1AD E所成角的正弦值31（2021北京八中高二期末）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，PA 平面ABCD，且2PA AD，点E为线段PD的中点（1）求证：/PB平面AEC；（2）求证：AE 平面PCD；（3）求三棱锥A PEC的体积.32（2021北京东直门中学高二期中）如图，在三棱柱1 1 1ABC A B C中，1AA 平面ABC，2BAC，11AA AB AC，1CC的中点为H.试卷第 14页，总 41页（）求证：1AB AC；（）求二面角1A BC A的余弦值；（）在棱1 1A B上是否存在点N，使得/H

16、N平面1A BC？若存在，求出11 1ANA B的值；若不存在，请说明理由33（2021北京八中高二期末）如图，已知正方体1 1 1 1ABCD A B CD的棱长为 1，点E是棱AB上的动点，F是棱1CC上一点，1:1:2CFFC.（1）求证：1 11BDA F；（2）若直线1AF 平面1 1BDE，试确定点E的位置，并证明你的结论；（3）设点P在正方体的上底面1 1 1 1A B CD上运动，求总能使BP与1AF垂直的点P所形成的轨迹的长度.（直接写出答案）34（2021北京高二期末）在四面体 ABCD中，CB=CD，AD BD，且 E，F分别是AB，BD 的中点，求证：（I）直线EFAC

17、D 面；试卷第 15页，总 41页（II）EFCBCD面面35（2020北京延庆 高二期中）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知/ABCD，AD CD，1222ABADCD（1）求证：/BF平面CDE；（2）求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值；（3）线段EC上是否存在点M，使得平面BDM 平面BDF？若存在，求出EMEC的值；若不存在，说明理由36（2020北京昌平一中高二期中）如图所示，在四棱锥P ABCD中，PD 底面ABCD，底面ABCD是矩形，2PD CD，1AD，M是线段PC的中点.（1）求证：/PA平面BDM；（2）求二面角MBDC的余弦值；（3）求

18、证：对于线段BD上的任意一点N，MN与PA都不垂直.37（2020北京四中高二期中）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形，PA 底面ABCD，AB AP，E为棱PB的中点.试卷第 16页，总 41页（1）求直线PD与CE所成角的余弦值；（2）求直线CD与平面ACE所成角的正弦值；（3）求二面角E AC P的余弦值.38（2020北京人大附中高二期中）已知在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为4 的正方形，PAD是正三角形，CD 平面PAD，E、F、G、O分别是PC、PD、BC、AD的中点.（1）求证：PO 平面ABCD；（2）求二面角B EG F的余弦值；（3）线段PB上是

19、否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为3，若存在，求线段PM的长度：若不存在，说明理由.39（2020北京四中高二期中）已知正三棱柱底面边长为a，M是BC上一点，1AMC是以M为直角顶点的等腰直角三角形（1）证明M是BC中点；（2）求点C到平面1AMC的距离；（3）求二面角1MAC C的大小试卷第 17页，总 41页40（2020北京）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，2PD DC.（1）求证：PD AC；（2）求平面PBC与平面PBD的夹角.41（2020北京清华附中高二期中）如图所示，在棱长为1的正方体1 1 1 1ABCD A B CD中，

20、点E是棱AB上的动点.（1）求证：11DA ED;（2）若直线1DA与平面1CED成角为45，求AEAB的值.（3）写出点E到直线1DC距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）.42（2020北京中关村中学高二期中）如图，在直三棱柱1 1 1ABC A B C中，AC BC，12AC BC AA试卷第 18页，总 41页（1）求证：1AC BC；（2）求直线1AC和1 1A B所成角的大小；（3）求直线1AC和平面1 1ABBA所成角的大小.43（2020北京市八一中学）如图 1，在MBC中，24BMBC，BMBC，,AD别为棱BM，MC的中点，将MAD沿AD折起到PAD的位置，使90P

21、ABo，如图 2，连结PB，PC（）求证：平面PAD 平面ABCD；（）若E为PC中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值；（）线段PC上是否存在一点G，使二面角G AD P的余弦值为31010？若存在，求出PGPC的值；若不存在，请说明理由.44（2020北京市怀柔区第一中学）如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD 平面ABCD，PA PD，PA PD，AB AD，1AB，2AD，5AC CD.试卷第 19页，总 41页（1）证明：AB PD；（2）求二面角P CD A的余弦值；（3）求点B到平面PCD的距离.45（2020北京市怀柔区第一中学）如图，在棱长为 2 的正方体1 1 1 1

22、ABCD A B CD中，E为1BB的中点.（1）求1DE的长；（2）求异面直线AE与1BC所成的角的余弦值；（3）求直线AB与平面1AD E所成的角的正弦值.46（2020北京 101中学）在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为直角梯形，/BCAD，90ADC.112BC CDAD，E为线段AD的中点，PE 底面ABCD，且6PE.点F是棱PC中点，平面BEF与棱PD相交于点G.试卷第 20页，总 41页（1）求证：/BEFG;（2）求直线PB与平面BEF所成角的正弦值；（3）设H为PB中点，DH 平面BEFM，求BM的长.47（2020北京四中高二期中）如图，在直三棱柱1 1 1ABC A

23、 B C中，1AC CC，AC BC，D为1BC中点，1AC与1AC交于点O.（1）求证：/OD平面1 1 1A B C；（2）求证：平面1AC B平面1A BC.48（2020北京四中高二期中）在四棱锥P ABCD中，平面ABCD平面PCD，底面ABCD为直角梯形，/AB CD，AD DC，且1AB，2AD DC DP，120PDC.试卷第 21页，总 41页（1）求证：AD 平面PCD；（2）线段BC上是否存在点F，使得PDF 平面PAC？如果存在，求BFBC的值；如果不存在，说明理由；（3）若M是棱PA的中点，N为线段BC上任意一点，求证：MN与PC一定不平行.49（2020北京人大附中

24、高二期中）已知四棱锥T ABCD的底面是平行四边形，平面与直线AD，TA，TC分别交于点P，Q，R且AP TQ CRxAD TA CT，点M在直线TB上，N为CD的中点，且直线/MN平面.（1）设TAa，TBb，TC c，试用基底,abc表示向量TD；（2）证明，四面体T ABC中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形；（3）证明，对所有满足条件的平面，点M都落在某一条长为52TB的线段上.50（2020北京人大附中高二期中）已知如图，在正三棱柱1 1 1ABC A B C中，D为棱AC的中点，12AB AA.（1）求证：直线1/AB平面1BC D；（2）求点1B到平面1BDC的距

25、离.试卷第 22页，总 41页51（2020北京）如图，在直三棱柱1 1 1ABC A B C中，90BAC，2AB AC，13AA.M是AB的中点，N是1 1B C的中点，点P在线段1A N上，且1123APAN，Q是1BC与1B C的交点.（1）求证：/PQ平面1ACM；（2）在线段1AA上是否存在点S，使得直线CS与平面1ACM所成角的正弦值为214？请说明理由.52（2020北京四中高二期中）如图，球O的截面BCD把垂直于它的直径分为1:3两部分，截面圆1O的面积为12，BC是截面圆1O的直径，D是圆1O上不同于B、C的一点，AC是球O的一条直径（1）求三棱椎A BCD的体积最大值；（

26、2）当D分BC弧的两部分BD弧与CD弧的弧长之比为1:2时，求二面角B AC D的正切值53（2020北京四中高二期中）已知线段AB 平面，B为垂足，BC，CD BC且CD与平面成 30角，2AB BC CD求：试卷第 23页，总 41页（1）异面直线AB与CD间的距离；（2）A、D两点间的距离54（2020北京四中高二期中）已知四边形ABCD是矩形，PD 平面ABCD，N是PB中点，M是AD中点，二面角P BC D大小是 45求证：（1）/MN平面PCD；（2）MN BC；（3）平面MNB 平面PBC55（2020北京中关村中学高二期中）如图，三棱柱ABCDEF的侧面BEFC是边长为1的正方

27、形，面BEFC面ADEB，4AB，60DEB，G是DE的中点.（1）求证：/CE平面AGF；试卷第 24页，总 41页（2）求点D到平面AGF的距离；（3）在线段BC上是否存在一点P，使二面角P GE B为45，若存在，求BP的长；若不存在，说明理由.56（2020北京市第四十三中学高二期中）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形，PA 底面ABCD，2AB AP，E为棱PD的中点.（）求证CD AE；（）求直线AE与平面 PBD 所成角的正弦值；（）求点 A到平面 PBD 的距离.57（2020北京市第四十三中学高二期中）如图，在三棱柱1 1 1ABC A B C中，侧棱垂直于底

28、面，AC BC，1AC BC CC，E，F分别为1 1A B，BC的中点（）求证：1AC CF；（）求证：BE平面1 1A CF；（）在棱1CC上是否存在一点G，使得平面1BEG 平面1 1A CF？说明理由58（2020北京市大兴区第一中学高二期中）如图，四棱锥S ABCD的侧面SAD是正三试卷第 25页，总 41页角形，/AB CD，且AB AD，24AB CD，E是SB中点.（1）求证：/CE平面SAD；（2）若平面SAD平面ABCD，且42SB，求平面EAC与平面ACB夹角的余弦值.59（2020北京市大兴区第一中学高二期中）如图，在平行六面体1 1 1 1ABCD A B CD中，以

29、顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60，M为1 1AC与1 1BD的交点.若AB a，AD b，1AA c，设平面ABC的法向量n a ybzc （1）用,abc表示BM；（2）求n及n的长度；（3）求点M到平面ABC的距离60（2020北京 101中学）已知集合 12,|,1,2,1nniRxxxx Rin n，定义nR上两点12,nAaaa，12,nBbbb的距离 1,niiidABa b.（1）当2n 时，以下命题正确的有_（不需证明）：若 1,2A，4,6B，则,7dAB；在ABC中，若90C，则 222,d ACdCBd AB ；在ABC中，若 ,d ABd AC，则

30、BC ;（2）当2n 时，证明2R中任意三点A B C，满足关系 ,dABdACdCB；（3）当3n 时，设0,0,0A，4,4,4B，,Pxyz，其中x y z Z，试卷第 26页，总 41页 ,dAPdPBdAB.求满足P点的个数n，并证明从这n个点中任取 11 个点，其中必存在 4 个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.61（2020北京海淀教师进修学校附属实验学校高二期中）如图 1，矩形ABCD，1,2,ABBC点E为AD的中点，将ABE沿直线BE折起至平面PBE平面BCDE（如图 2），点M在线段PD上，/PB平面CEM.（1）求证：2MPDM；（2）求二面角B PE

31、C的大小；（3）若在棱,PB PE分别取中点,FG，试判断点M与平面CFG的关系，并说明理由.62（2020北京海淀教师进修学校附属实验学校高二期中）如图，在四棱柱1 1 1 1ABCD A B CD中，1AA 平面ABCD，底面ABCD满足/ADBC且12,22AB AD AABD DC.（1）求证：AB 平面1 1ADD A；（2）求直线AB与平面11B CD所成角的正弦值；（3）求点1C到平面11B CD的距离.63（2020首都师范大学附属中学高二期中）四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，60DAB，2PA AB AD，点E是棱PC上一点.试卷第 27页

32、，总 41页（1）求证：平面PAC平面BDE；（2）当E为PC中点时，求二面角A BE D的余弦值；（3）若直线BE与平面PAC所成的角为45时，求CE.64（2020首都师范大学附属中学高二期中）如图所示，平行六面体ABCD ABCD中，AA 平面ABCD，AB AC，M，N分别为CB，CC 的中点，1AB AC AA.（1）求证：/MN平面ACD；（2）求证：CD平面ACD；（3）求点B到平面ACD的距离.65（2020北京北科大附中高二期中）如图，在四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD，2PA AD CD，3BC，23PC，E为中点，_.（1）求证：四边形ABCD是直角梯形；（2）求

33、直线AE与平面PCD所成角的正弦值.（3）在棱PB上是否存在一点 F，使得AF/平面PCD？若存在，求PFPB的值；若不存在，请说明理由.从CD BC；/BC平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题的横线中，试卷第 28页，总 41页并完成解答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.66（2020北京北科大附中高二期中）如图，在四棱锥P ABCD中，2=4PDAD，PD DA，PD DC，底面ABCD为正方形，M，N分别为AD，PD的中点.（1）求证：/PA平面MNC；（2）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值.（3）求点B到平面MNC的距离.67（2020北京北科大附中高二期中

34、）如图一所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，沿BD将C点翻折到1C点位置(如图二所示)，使得平面1CDB和ADB垂直.,EF分别为11,BCAC的中点.（1）求证：1BD AC；（2）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值.68（2020首都师范大学附属中学高二期末）在四棱锥P ABCD的底面 ABCD中，/BC AD，CD AD，PO 平面 ABCD，O是 AD 的中点，且222PO ADBC CD试卷第 29页，总 41页（1）求证：/AB平面 POC；（2）求二面角O PCB的余弦值69（2020北京高二期中）如图，在三棱柱1 1 1ABC A B C中，1AA 平面1,2A

35、BC AA AC BC,90ACB，,DE分别是1 11,A BCC的中点（1）求证：1/CD平面1A BE；（2）求直线1BC与平面1A BE所成角的正弦值；（3）在棱1CC上是否存在一点P，使得平面PAB与平面1A BE所成锐二面角为60？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由70（2020北京）如图，在四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD，2PA AB，1BC CD，3PC，E为线段PB上一点（E不是端点），_.从CD BC；/CD平面PAB；这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.试卷第 30页，总 41页（）求证：四

36、边形ABCD是直角梯形；（）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（）是否存在点E，使得直线/AE平面PCD，若存在，求出PEPB的值，若不存在，请说明理由.71（2020北京昌平一中高二期中）如图，四边形ABCD为正方形，MA/PB，MA BC，AB PB，1MA，2AB PB.（1）求证：PB 平面ABCD；（2）求直线PC与平面PDM所成角的正弦值.72（2020北京）如图，在直三棱柱中1 1 1ABC A B C，AC BC，12AC BC CC，点D，E，F分别为棱1 1AC，1 1B C，1BB的中点（1）求证：1/AC平面DEF；试卷第 31页，总 41页（2）求二面角11CAC

37、 B的大小；（3）在线段1AA上是否存在一点P，使得直线DP与平面1ACB所成的角为30？如果存在，求出线段AP的长；如果不存在，说明理由73（2020北京）在四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，/AD BC，AD AB，2PA AD，1AB BC，Q为PD中点（1）求证：PD BQ；（2）求异面直线PC与BQ所成角的余弦值74（2020北京）如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形，PA 平面 ABCD，AB PA 1，AD3，F是 PB 中点，E为 BC 上一点.（1）求证：AF 平面 PBC；（2）当 BE 为何值时，二面角 C PE D为

38、 45.75（2020北京）如图，在直三棱柱1 1 1ABC A B C中，3AC，4BC，5AB，14AA，点D是AB的中点（1）求异面直线AC与1BC所成的角；（2）求证：1/AC平面1CDB试卷第 32页，总 41页76（2020北京朝阳 高二期末）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD 平面ABCD.已知PA PD AB，90APD.（1）证明：/AD平面PBC；（2）证明：AB PD；（3）求二面角A PBC的余弦值.77（2020北京 101中学高二期末）如图在AOB中，AOB=90，AO=2，OB=1，AOC 可以通过AOB以直线 AO 为轴旋转得到，且 O

39、B OC，点 D为斜边 AB 的中点.（1）求异面直线 OB 与 CD 所成角的余弦值；（2）求直线 OB 与平面 COD 所成角的正弦值.78（2020北京清华附中高二期末）如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面四边形ABCD是矩形，平面 DCC1D1平面 ABCD.AD=3，CD=DD1=5，D1DC=120，M，N试卷第 33页，总 41页分别是线段 AD1，BD 的中点.（1）求证：MN/平面 DCC1D1；（2）求证：MN 平面 ADC1；（3）求三棱锥 D1ADC1的体积.79（2020中央民族大学附属中学高二期末）在直三棱柱1 1 1ABC A B C中，5BABC，1

40、8AC AA，D为线段 AC 的中点.（1）求证：1BD AD：（2）求直线1A D与平面1BC D所成角的余弦值；（3）求二面角1C BC D的余弦值.80（2020北京）如图,四棱锥P ABCD中,AD 平面ABP,/BC AD,90PABo.2PA AB,3AD,BC m,E是PB的中点.试卷第 34页，总 41页()证明:AE平面PBC;()若二面角C AE D的余弦值是33,求m的值;()若2m,在线段AD上是否存在一点F,使得PFCE.若存在,确定F点的位置;若不存在,说明理由.81（2020北京）如图，四棱锥E ABCD中，底面ABCD是边长为 2 的正方形，AE 面ABCD，且

41、4AE.（1）求四棱锥E ABCD的体积；（2）证明：BD 面ACE；（3）求 EC 与面 BDE 的夹角的正弦值.82（2020北京）已知等腰梯形/,1,3ABCD AD BCADBC，2AE BCAE，.现将ABE沿着AE折起，使得面ABE面AECD，点 F为线段 BC 上一动点.试卷第 35页，总 41页（1）证明：EC AB；（2）如果 F为 BC 中点，证明：/DF面ABE；（3）若二面角D EFC的余弦值为13，求BFBC的值.83（2020北京高二期末）如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD，2AP AB，,EFG是,BC PC CD的中点.（1）求证：B

42、G 平面PAE；（2）在线段BG上是否存在点H，使得/FH平面PAE？若存在，求出BHBG的值；若不存在，说明理由.84（2020北京高二期末）如图，三棱柱1 1 1ABC A B C中，12,AA ACAB BC，且AB BC,O为AC中点，1A O平面ABC.（1）求二面角11CAA B的余弦值；（2）求直线1AC与平面11AABB所成角的正弦值.85（2020北京高二期末）如图，在四棱锥P ABCD中，等边三角形PCD所在的平面垂直于底面ABCD，112AB ADCD，90BAD ADC，M是棱PD的中点（）求证：AD 平面PCD；（）求二面角MBC D的余弦值；（）判断直线CM与平面P

43、AB的是否平行，并说明理由试卷第 36页，总 41页86（2020北京市八一中学）如图，在三棱锥P ABC中，PA 底面 ABC，90.BAC点D，E 分别为棱PA，PC 的中点，M是线段AD 的中点，N是线段BC 的中点，4PA AC，2AB()求证：/MN平面 BDE；()求直线 MN 到平面 BDE的距离；()求二面角B DE P的大小87（2020北京大峪中学高二期中）如图，在直三棱柱1 1 1ABC A B C中，1 11 1A BAC，D E，分别是棱1BCCC，上的点（点D不同于点C），且AD DE F，为1 1B C的中点求证：（1）平面ADE 平面1 1BCCB；（2）直线1

44、/AF平面ADE88（2020北京市第五十七中学高二期中）如图 1，在矩形ABCD中，2AB，4BC，E为AD的中点，O为BE中点将ABE沿BE折起到A BE，使得平面A BE平面BCDE（如图 2）试卷第 37页，总 41页（1）求证：A OCD；（2）求直线AC与平面ADE所成角的正弦值；（3）在线段AC上是否存在点P，使得/OP平面ADE?若存在，求出A PA C的值；若不存在，请说明理由89（2020北京市第四十三中学高二期中）如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,D为 AB的中点.（）求证：CD平面 ABB1A1；（）求证：BC1平面 A1CD.90（2020北京市平谷区第五中学

45、高二期中）如图，由直三棱柱1 1 1ABC A B C和四棱锥1 1D BB CC构成的几何体中，01190,1,2,5BACABBC BBCD CD，平面1CC D平面1 1ACC A（）求证：1AC DC；（）在线段BC上是否存在点P，使直线DP与平面1BB D所成的角为3？若存在，求试卷第 38页，总 41页BPBC的值，若不存在，说明理由91（2020北京理工大学附属中学通州校区高二期中）如图，三棱锥P ABC中，PA PC，底面ABC为正三角形.（）证明：AC PB；（）若平面PACABC平面，2AC PC，求二面角A PC B的余弦值.92（2020北京市第五十七中学高二期中）在四

46、棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD，ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又4PAAB，120CDA，点N在线段PB上，且2PN（1）求证：BD PC；（2）求证：/MN平面PDC；（3）求二面角A PC B的余弦值93（2020北京清华附中高二期中）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是直角梯形，/AB DC，45ABC，1DC，2AB，PA 平面ABCD，1PA.（1）求证：/AB平面PCD；（2）求证：BC 平面PAC；（3）若M是PC的中点，求三棱锥MACD的体积.试卷第 39页，总 41页94（2019北京市十一学校高二期中）如图，在四棱锥 PABCD中，底面

47、 ABCD是正方形，PA 底面 ABCD，且 PA AD，点 F是棱 PD 的中点，点 E为 CD 的中点（1）证明：EF平面 PAC；（2）证明：AF PC 95（2019北京一七一中高二期中）如图，在ABC中，D，E分别为 AB，AC 的中点，O为 DE 的中点，AB=AC=25，BC=4将ADE沿 DE 折起到A1DE 的位置，使得平面 A1DE平面 BCED，如下图（）求证：A1OBD；（）求直线 A1C和平面 A1BD 所成角的正弦值；96（2019北京东城 高二期末）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形，PD 平面ABCD，PD AB，点,EFG分别为,PC PA B

48、C的中点.（）求证：PB EF；（）求证：FG/平面PCD；（）求平面EFG与平面PAD所成二面角D FGE（锐角）的余弦值.97（2019北京东城 高二期末）已知向量(2,1,2)a，(1,1,2)b，(,2,2)xc.试卷第 40页，总 41页（）当|2 2c时，若向量kab 与c垂直，求实数x和k的值；（）若向量c与向量a，b共面，求实数x的值.98（2019北京师大附中高二期末）如图所示，在正四棱柱1 1 1 1ABCD A B CD中，1AB，点 E、F分别是棱 BC、DC 的中点.（1）求证：BD 平面1EFC；（2）若13AAAB，求直线1 1AC与平面1EFC所成角的正弦值.9

49、9（2019北京市陈经纶中学）四棱锥S ABCD中，SA 平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AB CD，AD DC，2SAAD DC，1AB.（）求证：平面SAD平面SCD；（）求二面角S BC D的余弦值；（）M为SC中点，在四边形ABCD所在的平面内是否存在一点N，使得MN平面SBD，若存在，求三角形ADN的面积；若不存在，请说明理由.100（2019北京大兴 高二期末）如图，在三棱柱1 1 1ABC A B C中，1CC底面 ABC，CA CB，1112CA CBCC，D，E分别是1AA，1 1A B的中点试卷第 41页，总 41页（）求证：1CE BD；（）求二面角11A BDC的大小；（）线段1CE上是否存在点 F，使1/AF平面1CBD？若存在，求11CFCE的值：若不存在，说明理由