数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题第二章实验报告24900.pdf

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1、 1（1）估计 5 到 20 阶 Hilbert 矩阵的范数条件数（2）设nnRA111111111011001，先随机地选取nRx，并计算出xAbn；然后再用列主元 Gauss 消去法求解该方程组，假定计算解为x。试对 n 从 5 到 30 估计计算解x的精度，并且与真实相对误差作比较。解（1）分析：利用for使n从 5 循环到 20，利用()hilb函数得到 Hilbert 矩阵A；先将算法编制成通用的子程序，利用算法编成的子程序)(Boptv，对TAB求解，得到1A的 一 个 估 计 值vv；再 利 用inf),(Anorm得 到A；则 条 件 数inf),(1AnormvAAK。另，矩

2、阵A的范数条件数可由inf),(Acond直接算出，两者可进行比较。程序为 1 算法编成的子程序)(Boptv function v=opt(B)k=1;n=length(B);x=1./n*ones(n,1);while k=1 w=B*x;v=sign(w);z=B*v;if norm(z,inf)In ex2_1 at 3 Warning:Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate.RCOND=.In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=12 估计条件数为+16 实际条件数为

3、+16 Warning:Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate.RCOND=.In ex2_1 at 3 Warning:Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate.RCOND=.In cond at 47 In ex2_1 at 6 4 n=13 估计条件数为+18 实际条件数为+18 Warning:Matrix is close to singular or badly scaled.Resul

4、ts may be inaccurate.RCOND=.In ex2_1 at 3 Warning:Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate.RCOND=.In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=14 估计条件数为+17 实际条件数为+17 Warning:Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate.RCOND=.In ex2_1 at 3 Warning:Matrix is clo

5、se to singular or badly scaled.Results may be inaccurate.RCOND=.In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=15 估计条件数为+17 实际条件数为+17 Warning:Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate.RCOND=.In ex2_1 at 3 Warning:Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be 5 inaccurate.RCON

6、D=.In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=16 估计条件数为+17 实际条件数为+17 Warning:Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate.RCOND=.In ex2_1 at 3 Warning:Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate.RCOND=.In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=17 估计条件数为+18 实际条件数为+18 Warning

7、:Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate.RCOND=.In ex2_1 at 3 Warning:Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate.RCOND=.In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=18 估计条件数为+18 实际条件数为+18 Warning:Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be 6 i

8、naccurate.RCOND=.In ex2_1 at 3 Warning:Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate.RCOND=.In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=19 估计条件数为+18 实际条件数为+18 Warning:Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate.RCOND=.In ex2_1 at 3 Warning:Matrix is close to singu

9、lar or badly scaled.Results may be inaccurate.RCOND=.In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=20 估计条件数为+18 实际条件数为+18 结果分析 随着矩阵阶数增加，估计值误差开始出现，20,17,16,15n时估计条件数与实际值存在误差；且条件数很大，Hilbert 矩阵为病态的。解（2）分析：先根据题目要求，利用for和（）rand使n从 5 循环到 30，作出A和随机的x，并计算出Axb；然后再利用第一章习题中得到的)(,AGaussColPUL和),(PULbAGaussx 用列主元 Gauss 消去法求解该方程

10、组，假定计算解为1x，得 7 1*xAbr，利用第（1）问所得函数).(Ainvopt计算1A的一个估计值，利用inf),(norm计 算Abr,的 无 穷 范 数，则1x的 相 对 误 差 估 计 为)/norm(b,(A,A.)*norm)*opt(inv(norm(r,pinfinfinf1，真 实 相 对 误 差 为)/norm(x,norm(x-xpinfinf12。程序为 1 列主元 Gauss 消去法求解该方程组的程序为 A的LU分解：function L,U,P=GaussCol(A)n=length(A);for k=1:n-1 s,t=max(abs(A(k:n,k);p=

11、t+k-1;temp=A(k,1:n);A(k,1:n)=A(p,1:n);A(p,1:n)=temp;u(k)=p;if A(k,k)=0 A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n);else break;end end L=tril(A);U=triu(A);8 L=L-diag(diag(L)+diag(ones(1,n);P=eye(n);for i=1:n-1 temp=P(i,:);P(i,:)=P(u(i),:);P(u(i),:)=temp;end end 高斯

12、消去法解线性方程组 function x=Gauss(A,b,L,U,P)if nargin5 P=eye(length(A);end n=length(A);b=P*b;for j=1:n-1 b(j)=b(j)/L(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j);end b(n)=b(n)/L(n,n);y=b;for j=n:-1:2 y(j)=y(j)/U(j,j);y(1:j-1)=y(1:j-1)-y(j)*U(1:j-1,j);end 9 y(1)=y(1)/U(1,1);x=y;end 2 问题（2）求解 ex2_2 for n=5:30 A=2*

13、eye(n)+tril(-1*ones(n);A(1:n-1,n)=ones(n-1,1);x=100*rand(n,1);b=A*x;L,U,P=GaussCol(A);x1=Gauss(A,b,L,U,P);r=b-A*x1;p1=norm(r,inf)*opt(inv(A.)*norm(A,inf)/norm(b,inf);p2=norm(x-x1,inf)/norm(x,inf);disp(n=,num2str(n)disp(估计相对误差为,num2str(p1)disp(实际相对误差为,num2str(p2)y1(n-4)=p1;y2(n-4)=p2;end plot(5:30,y1

14、,5:30,y2)legend(估计相对误差,实际相对误差)计算结果为 n=5 估计相对误差为 实际相对误差为 n=6 估计相对误差为 实际相对误差为 10 n=7 估计相对误差为 实际相对误差为 n=8 估计相对误差为 实际相对误差为 n=9 估计相对误差为 实际相对误差为 n=10 估计相对误差为 实际相对误差为 n=11 估计相对误差为 实际相对误差为 n=12 估计相对误差为 实际相对误差为 n=13 估计相对误差为 实际相对误差为 n=14 估计相对误差为 实际相对误差为 n=15 估计相对误差为 实际相对误差为 11 n=16 估计相对误差为 实际相对误差为 n=17 估计相对误差

15、为 实际相对误差为 n=18 估计相对误差为 实际相对误差为 n=19 估计相对误差为 实际相对误差为 n=20 估计相对误差为 实际相对误差为 n=21 估计相对误差为 实际相对误差为 n=22 估计相对误差为 实际相对误差为 n=23 估计相对误差为 实际相对误差为 n=24 估计相对误差为 5101520253000.511.522.533.5x 10-8 估 计 相 对 误 差实 际 相 对 误 差 12 实际相对误差为 n=25 估计相对误差为 实际相对误差为 n=26 估计相对误差为 实际相对误差为 n=27 估计相对误差为 实际相对误差为 n=28 估计相对误差为 实际相对误差为 n=29 估计相对误差为 实际相对误差为 n=30 估计相对误差为 实际相对误差为 结果分析 n 较小时估计的较好，随着 n 的增大估计值误差增大