数学模型第三版(高等教育出版社)课后习题问题详解2943.pdf

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1、实用文档 数学模型作业解答 第七章（2008 年 12 月 4 日）1 对于 7.1 节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1k时段的价格1ky由第1k和第k时段的数量1kx和kx决定，如果仍设1kx仍只取决于ky，给出稳定平衡的条件，并与 7.1 节的结果进行比较.（2）若除了1ky由1kx和kx决定之外，1kx也由前两个时段的价格ky和1ky确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：)()2(111kkkkkyhxxxfy 在),(000yxP点附近用直线来近似曲线hf,，得到

2、 )2(0 ,)()1(0),2(0010101yyxxxxxyykkkkk 由（2）得 )3()(0102yyxxkk（1）代入（3）得 )2(0102xxxxxkkk 0012222 xxxxxkkk 对应齐次方程的特征方程为 02 2 特征根为48)(22,1 当8时，则有特征根在单位圆外，设8，则 实用文档 248)()4(2222,1 2 12,1 即平衡稳定的条件为2 与207P的结果一致.（2）此时需求函数、供应函数在),(000yxP处附近的直线近似表达式分别为：)5(0 ,)2()4(0),2(01010101yyyxxxxxyykkkkkk 由（5）得，)()yyy(y)x

3、(xkkk62010203 将（4）代入（6），得 )2()2()(20101203xxxxxxxxkkkkk 001234424 xxxxxxkkkk 对应齐次方程的特征方程为(7)024 23 代数方程（7）无正实根，且42,不是（7）的根.设（7）的三个非零根分别为321,，则 424321133221321 对（7）作变换：,12 则 ,03qp 其中)6128(41 ),122(412233322qp 实用文档 用卡丹公式：33233223332233223323321)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2pqqwpqqwpqqwpqqw

4、pqqpqq 其中,231iw 求出321,，从而得到321,，于是得到所有特征根1的条件.2已知某商品在k时段的数量和价格分别为kx和ky，其中 1 个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(kkxfy 和)2(11kkkyygx.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)(kkxfy 和)2(11kkkyygx.设曲线f和g相交于点),(000yxP，在点0P附近可以用直线来近似表示曲线f和g：0,)(00 xxyykk -（1）0,)2(0101yyyxxkkk -（2）从上述两式中消去ky可得 ,2,1,)

5、1(22012kxxxxkkk，-（3）上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求0P点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程：022 容易算出其特征根为 48)(22,1 -（4）当8 时，显然有 实用文档 448)(22 -（5）从而2 2，2在单位圆外下面设8，由(5)式可以算出 22,1 要使特征根均在单位圆内，即 2,11，必须 2 故0P点稳定平衡条件为 2 3 已知某商品在k时段的数量和价格分别为kx和ky，其中 1 个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kkkxxfy和)(1kkyg

6、x.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kkkxxfy和)(1kkygx.设曲线f和g相交于点),(000yxP，在点0P附近可以用直线来近似表示曲线f和g：0,)2(0101xxxyykkk -（1）0,)(001yyxxkk -（2）由（2）得 )(0102yyxxkk -（3）（1）代入（3），可得)2(0102xxxxxkkk ,2,1,2220012kxxxxxkkk，-（4）上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求0P点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程

7、：022 容易算出其特征根为 48)(22,1 -（4）当8 时，显然有 实用文档 448)(22 -（5）从而2 2，2在单位圆外下面设8，由(5)式可以算出 22,1 要使特征根均在单位圆内，即 2,11，必须 2 故0P点稳定平衡条件为 2 数学模型作业解答 第八章（2008 年 12 月 9 日）1 证明 8.1 节层次分析模型中定义的n阶一致阵A有下列性质：（1）A的秩为 1，唯一非零特征根为n；（2）A的任一列向量都是对应于n的特征向量.证明：（1）由一致阵的定义知：A满足 ikjkijaaa，nkji,2,1,于是对于任意两列ji,，有ijjkikaaa，nk,2,1.即i列与j

8、列对应分量成比例.从而对A作初等行变换可得：00000011211nbbbA初等行变换 B 这里0B.1B秩，从而秩 1A 再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵P，使BPA，于是 0000001121111ncccBPPAPC 易知C 的特征根为0,0,11c（只有一个非零特征根）.实用文档 又AC，A与 C 有相同的特征根，从而 A 的非零特征根为11c，又对于任意矩阵有 naaaATrnnn111221121.故 A 的唯一非零特征根为n.（2）对于 A 的任一列向量Tnkkkaaa,21，nk,2,1 有 Tnkkknkkknjnknjknjknjjknjnjjkjnjjk

9、jTnkkkaaannananaaaaaaaaaaaaaA,2121112111121121 A的任一列向量Tnkkkaaa,21都是对应于n的特征向量.7.右下图是 5 位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出 5 位选手的名次.解：这个 5 阶竞赛图是一个 5 阶有向 Hamilton 图.其一个有向 Hamilton 圈为 332541.所以此竞赛图是双向连通的.321541354242135 41325 等都是完全路径.此竞赛图的邻接矩阵为 0011110100000010110001010A 令Te1,1,1,1,1，各级得分向量为 TA

10、eS3,2,1,2,21，TASS5,4,2,3,412，TASS9,7,4,6,723，TASS17,13,7,11,1334 2 1 3 4 5 实用文档 由此得名次为 5，1（4），2，3 （选手 1 和 4 名次相同）.注：给 5 位网球选手排名次也可由计算 A 的最大特征根和对应特征向量S得到：8393.1，TS2769.0,2137.0,1162.0,1794.0,2137.0 数学模型作业（12 月 16 日）解答 1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图

11、.解：目标层 准则层 方案层 2.简述层次分析法的基本步骤.问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪 3 个层次？具体内容分别是什么？答：层次分析法的基本步骤为：（1）建立层次结构模型；（2）构造成对比较阵；（3）计算权向量并做一致性检验；（4）计算组合权向量并做组合一致性检验 对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3 个层次.目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位 1、工作岗位 2、工作岗位 3 等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.3用层次分析法时，一般可将决策问题分解成哪 3 个层次？试给出一致性指

12、标的定义以及n 阶正负反阵 A 为一致阵的充要条件.答：用层次分析法时，一般可将决策问题分解为目标层、准则层和方案层这 3 个层次；一越海方案的最优经济效益 省时 收入 岸 间商 业 当地商业 建 筑就 业 建桥梁 修隧道 设渡轮 实用文档 致性指标的定义为：1nnCIn 阶正互反阵 A 是一致阵的充要条件为：A 的最大特征根=n 第九章（2008 年 12 月 18 日）1在1.9节传送带效率模型中,设工人数n固定不变.若想提高传送带效率 D,一种简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m，比如增加一倍，其它条件不变另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个

13、工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样 试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好 解：两种情况的钩子数均为m2第一种办法是m2个位置，单钩放置m2个钩子；第二种办法是m个位置，成对放置m2个钩子 由1.9节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为 nmnmD21112 当mn2较小，1n时，有 mnmnnmnmD41181211122 ED1，mnE4 下面推导第二种办法的传送带效率公式：对于m个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的m个钩对 任一只钩对被一名工人接触

14、到的概率是m1；任一只钩对不被一名工人接触到的概率是m11；记mqmp11,1由工人生产的独立性及事件的互不相容性得，任一钩对为空实用文档 的概率为nq，其空钩的数为m2；任一钩对上只挂上件产品的概率为1nnpq，其空钩数为m所以一个周期内通过的m2个钩子中，空钩的平均数为 1122nnnnnpqqmnpqmqm 于是带走产品的平均数是 122nnnpqqmm，未带走产品的平均数是 122nnnpqqmmn）此时传送带效率公式为 1111112222nnnnmmnmnmnnpqqmmD 近似效率公式：由于 321621121111mnnnmnnmnmn 2112211111mnnmnmn 26

15、211mnnD 当1n时，并令1DE，则 226mnE 两种办法的比较：由上知：mnE4，226mnE mnEE32/，当nm 时，132mn，EE 所以第二种办法比第一种办法好 数学模型作业解答 第九章（2008 年 12 月 23 日）一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖.已知每 100 份报纸报童全部卖出可获利 7元.如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但报童每 100 份报纸要赔 4 元.报童每天售出的报纸数r是一随机变量，其概率分布如下表：实用文档 售出报纸数r（百份）0 1 2 3 4 5 概率)(rP 005 0.1 0.25 0.35 0.15 0.1 试问报童每天订购多

16、少份报纸最佳(订购量必须是 100 的倍数)？解：设每天订购n百份纸，则收益函数为 nrnnrrnrrf7)(4(7)(收益的期望值为 G(n)=nrrPnr0)()411(+1)(7nrrPn 现分别求出 n=5,4,3,2,1,0时的收益期望值.G(0)=0；G(1)=40.05+70.1+7（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45;G(2)=(05.0825.0141.03)1.015.035.0(148.11;G(3)=(05.01235.02125.0101.01)1.015.0(214.14 G(4)=(05.01615.02835.01725.061.05)1.0281

17、5.13 G(5)=05.0201.03515.02435.01325.021.09 25.10 当报童每天订 300 份时，收益的期望值最大.数模复习资料 第一章 1.原型与模型 原型就是实际对象.模型就是原型的替代物.所谓模型,按北京师范大学刘来福教授的观点：模型就是人们为一定的目的对原型进行的一个抽象.如航空模型、城市交通模型等.模型数学模型如地图、电路图符号模型如某一操作思维模型抽象模型如某一试验装置物理模型如玩具、照片等直观模型形象模型 2.数学模型 对某一实际问题应用数学语言和方法,通过抽象、简化、假设等对这一实际问题近似刻划所得的数学实用文档 结构,称为此实际问题的一个数学模型.

18、例如力学中著名的牛顿第二定律使用公式22dtxdmF 来描述受力物体的运动规律就是一个成功的数学模型.或又如描述人口tN随时间t自由增长过程的微分方程trNdttdN.3.数学建模 所谓数学建模是指根据需要针对实际问题组建数学模型的过程.更具体地说,数学建模是指对于现实世界的某一特定系统或特定问题,为了一个特定的目的,运用数学的语言和方法,通过抽象和简化,建立一个近似描述这个系统或问题的数学结构(数学模型),运用适当的数学工具以及计算机技术来解模型,最后将其结果接受实际的检验,并反复修改和完善.数学建模过程流程图为：实际问题 抽象、简化、假设 确定变量、参数 归结 数学模型 数学地、数值地 求

19、解模型 估计参数 检验模型(用实例或有关知识)符合否？是 评价、推广并交付使用 产生经济、社会效益 4.数学建模的步骤 依次为：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用 5.数学模型的分类 数学模型可以按照不同的方式分类,常见的有：a.按模型的应用领域分类 数学模型 再生资源利用模型水资源模型城镇规划模型生态模型环境模型（污染模型）交通模型人口模型 b.按建模的数学方法分类 否 实用文档 数学模型 规划论模型概率模型组合数学模型图论模型微分方程模型几何模型初等数学模型 c.按建模目的来分类 数学模型 控制模型决策模型优化模型预报模型分析模型描述模型 d.层次分析法的

20、基本步骤：1.建立层次结构模型 2.构造成对比较阵 3.计算权向量并作一致性检验 4.计算组合权向量并作组合一致性检验 e.n 阶正互反正 A 是一致阵的充要条件为 A 的最大特征值为 n f.正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法：幂法、和法、根法 4在“椅子摆放问题”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不变.试构造模型并求解.解：设椅子四脚连线呈长方形 ABCD.AB 与 CD 的对称轴为x轴，用中心点的转角表示椅子的位置.将相邻两脚 A、B 与地面距离之和记为)(f;C、D 与地面距离之和记为)(g.并旋转0180.于是，设,0)0(,0)0(gf就得到 0,0fg.

21、数 学 模 型：设 gf、是2,0上的 非 负 连 续 函 数.若2,0,有 0gf,且 0,0,00,00fgfg,则2,00,使 000gf.模型求解:令)()()(gfh.就有,0)0(h 0)(0)()()(ggfh.再由 gf,的连续性,得到 h是一个连续函数.从而 h是,0上的连续函数.由 连 续 函 数 的 介 值 定 理：,00,使 00h.即,00,使实用文档 000gf.又因为2,0,有 0gf.故 000gf.9（1）某甲早 8：00 从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午 5：00 到达山顶并留宿.次日早 8：00 沿同一路径下山，下午 5：00 回到旅店.某乙说，甲必在

22、两天中的同一时刻经 过路径中的同一地点.为什么？（2）37 支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者 进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛.如果是n支球队比赛呢？解：（1）方法一：以时间t为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程x为纵坐标，第一天的行程)(tx可用曲线（）表示，第二天的行程)(tx可用曲线（）表示，（）（）是连续曲线必有交点),(000dtp,两天都在0t时刻经过0d地点.x d 方法二：设想有两个人，()一人上山，一人下山，同一天同 0p 时出发，沿同一路径,必定相遇.0d ()t 早 8 0t 晚 5 方法三：我们以

23、山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为)(tf(即t时刻走的路程为)(tf),同样设从山顶到山下旅店的路函数为)(tg,并设山下旅店到山顶的距离为a(a0).由题意知：,0)8(faf)17(,ag)8(,0)17(g.令)()()(tgtfth,则有0)8()8()8(agfh，0)17()17()17(agfh，由于)(tf,)(tg都是时间t的连续函数,因此)(th也是时间t的连续函数,由连续函数的介值定理,17,80t,使0)(0th,即)()(00tgtf.（2）36 场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场；6 轮比赛，因为 2 队赛 1 轮，4 队赛 2实用文档 轮，3

24、2 队赛 5 轮.n队需赛1n场，若kkn221，则需赛k轮.2已知某商品在k时段的数量和价格分别为kx和ky，其中 1 个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kkkxxfy和)(1kkygx.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kkkxxfy和)(1kkygx.设曲线f和g相交于点),(000yxP，在点0P附近可以用直线来近似表示曲线f和g：0,)2(0101xxxyykkk -（1）0,)(001yyxxkk -（2）由（2）得 )(0102yyxxkk -（3）（1）代入（3），可得

25、)2(0102xxxxxkkk ,2,1,2220012kxxxxxkkk，-（4）上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求0P点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：022 容易算出其特征根为 48)(22,1 -（5）当8 时，显然有 448)(22 -（6）从而2 2，2在单位圆外下面设8，由(5)式可以算出 22,1 要使特征根均在单位圆内，即 2,11，必须 2 实用文档 故0P点稳定平衡条件为 2 3设某渔场鱼量)(tx(时刻t渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)1()(Nxrxdttdx 其中r为固有增长率,N为环境容

26、许的最大鱼量.而单位时间捕捞量为常数h.（1）求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;（2）试确定捕捞强度mE,使渔场单位时间内具有最大持续产量mQ,并求此时渔场鱼量水平*0 x.解：（1）.)(tx变化规律的数学模型为 hNxrxdttdx)1()(记hNxrxxf)1()(,令 0)1(hNxrx，即 02hrxxNr-（1）)4(42NhrrNrhr ，（1）的解为：2412,1NrNhNx 当0时，（1）无实根，此时无平衡点；当0时，（1）有两个相等的实根，平衡点为20Nx.NrxrNrxNxrxf2)1()(，0)(0 xf 不能断定其稳定性.但0 xx 及0 xx 均有04)1()(r

27、NNxrxxf，即0dtdx0 x不稳定；当0时，得到两个平衡点：2411rNhNNx，2412rNhNNx 易知 21Nx ，22Nx 0)(1xf，0)(2xf 平衡点1x不稳定，平衡点2x稳定.（2）最大持续产量的数学模型为：0)(.maxxftsh 即)1(maxNxrxh，易得 2*0Nx 此时 4rNh，但2*0Nx 这个平衡点不稳定.要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2Nx,且尽量接近2N,但不能等于2N.5某工厂生产甲、乙两种产品,生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如下表所示：实用文档 品种 原材料 能源消耗(百元)劳动力(人)利润(千元)甲 2 1 4 4 乙

28、3 6 2 5 现有库存原材料 1400 千克；能源消耗总额不超过 2400 百元；全厂劳动力满员为 2000人.试安排生产任务(生产甲、乙产品各多少件),使利润最大,并求出最大利润.解：设安排生产甲产品x件，乙产品y件，相应的利润为 S.则此问题的数学模型为 ZyxyxyxyxyxtsyxS,0,020002424006140032.54max 模型的求解：用图解法.可行域为：由直线 0,0200024:24006:140032:3:21yxyxlyxlyxl及 组成的凸五边形区域.直线Cyxl54:在此凸五边形区域内平行移动.易知：当l过31ll 与的交点时，S 取最大值.由2000241

29、40032yxyx 解得：200,400yx 260020054004maxS（千元）.故安排生产甲产品 400 件、乙产品 200 件,可使利润最大,其最大利润为 2600 千元.6.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：货物 体积（立方米/箱）重量（百斤/箱）利润（百元/箱）甲 5 2 20 乙 4 5 10 已知这两种货物托运所受限制是体积不超过 24 立方米，重量不超过 13 百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为1x,2x,所获利润为z.则问题的数学模型可表示为 211020 maxxxz

30、 Zyxxxxxxxst,0,13522445212121 这是一个整线性规划问题.实用文档 用图解法求解.可行域为：由直线 2445:211 xxl 1352:212 xxl 及0,021xx组成直线 cxxl211020:在此凸四边形区域内平行移动.易知：当l过l1与l2的交点时，z取最大值 由135224452121xxxx 解得 1421xx 90110420maxz.7.深水中的波速v与波长、水深d、水的密度和重力加速度g有关，试用量纲分析方法给出波速v的表达式.解：设v,d,，g 的关系为),(gdvf=0.其量纲表达式为v=LM0T-1，=LM0T0，d=LM0T0，=L-3MT

31、0，g=LM0T-2,其 中L，M，T是 基 本 量 纲.-4 分 量纲矩阵为 A=)()()()()()()()(200010100013111gdvTML 齐次线性方程组 Ay=0，即 02y-y-0 y03yy 51454321yyy 2l l 1x 1l 2x 实用文档 的基本解为1y=),21,0,0,21,1(2y=)0,0,1,1,0(由量纲iP定理 得 2112121dgv gv1,)(21,d2)(dgv，其中是未定函数.第二章(2)（2008 年 10 月 9 日 15速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是，用量纲分析方法确定风车获得的功率P与v、S、的关系.解:

32、设P、v、S、的关系为0),(svPf，其量纲表达式为:P=32TML,v=1LT,s=2L,=3ML,这里TML,是基本量纲.量纲矩阵为：A=()()()()()()(001310013212svPTML 齐次线性方程组为：030032221414321yyyyyyyy 它的基本解为)1,1,3,1(y 由量纲iP定理得 1131svP，113svP ，其中是无量纲常数.16雨滴的速度v与空气密度、粘滞系数和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v,g 的关系为(fv,g

33、)=0.其量纲表达式为v=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，g=LM0T-2,其中 L，M，T 是基本量纲.量纲矩阵为 实用文档 A=)()()()()()()(210101101131gvTML 齐次线性方程组 Ay=0，即 02y-y-y-0 yy0yy-3y-y 431324321 的基本解为 y=(-3,-1,1,1)由量纲iP定理 得 gv13.3gv，其中是无量纲常数.16*雨滴的速度v与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积

34、成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v,，g 的关系为0),(gvf.其量纲表达式为 v=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T0，g=LM0T-2 其中 L，M，T 是基本量纲.量纲矩阵为 A=)()()()()()()()(210010110011311gvTML 齐次线性方程组 Ay=0 即 020035414354321yyyyyyyyyy 的基本解为 )21,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21yy 得到两个相互独立的无量纲量 2/112/322/12/11gg

35、v 即 1212/12/31,ggv.由0),(21,得)(121 实用文档 )(12/12/3gg,其中是未定函数.20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.解：设阻尼摆周期t,摆长l,质量m,重力加速度g，阻力系数k的关系为 0),(kgmltf其量纲表达式为：112120000000)(,LTMLTvfkTLMgMTLmTLMlTMLt10MTL，其中L，M，T是基本量纲.量纲矩阵为 A=)()()()()()()()(120011010001010kgmltTML 齐次线

36、性方程组 02005415342yyyyyyy 的基本解为)1,21,1,21,0()0,21,0,21,1(21YY 得到两个相互独立的无量纲量 glt 1,)(21,2/12/12mgkl )(2/12/1mgklglt ，其中是未定函数.考虑物理模拟的比例模型，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为t,t；l,l;m,m.又)(2/12/1gml kglt 22/112/112/12/1kgmlgtl实用文档 当无量纲量llmm时，就有 lllggltt.第三章 1（2008 年 10 月 14 日）1.在 3.1 节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订

37、货周期和订货批量证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少 解：设购买单位重量货物的费用为k,其它假设及符号约定同课本 01 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：krrTcTcTC2)(21 2221rcTcdTdC 令0dTdC，解得 rccT21*2 由rTQ ，得212crcrTQ 与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果没有变 02 对于允许缺货模型，每天平均费用为：kQQrTrcrQccTQTC23221)(221),(2223322221222TkQrTQcrcrTQcTcTC TkrTQccrTQcQC332 令00QCTC，得

38、到驻点：实用文档 323222233232132233221)(22cckrcccrkcccccrcQcckcccrccT 与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果减少 2建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数k，销售速率为常数r，rk 在每个生产周期内，开始的一段时间00Tt 一边生产一边销售，后来的一段时间)(0TtT只销售不生产，画出贮存量)(tg的图形.设每次生产准备费为1c，单位时间每件产品贮存费为2c，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论rk 和rk 的情况.解：由题意可得贮存量)(tg的图形如下：贮存费为 niTiitTTrkcdttgctgc10202022)()(

39、)(lim 又 )()(00TTrTrk TkrT 0,贮存费变为 kTTrkrc2)(2 于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为 kTrkrcTckTTrkrcTcTC2)(2)()(21221 krkrcTcdTdC2)(221.0dTdC令,得)(221rkrckcT 易得函数处在TTC)(取得最小值，即最优周期为：)(221rkrckcT rk )(tg r t g T 0T O 实用文档 rcc，Trk212时当.相当于不考虑生产的情况.，Trk时当.此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.第四章（2008 年 10 月 28 日）1.某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产

40、品用A原料 1 千克,B原料 5 千克；一件乙产品用A原料 2 千克,B原料 4 千克.现有A原料 20 千克,B原料 70 千克.甲、乙产品每件售价分别为 20 元和 30 元.问如何安排生产使收入最大？解：设安排生产甲产品 x 件,乙产品 y 件，相应的利润为 S 则此问题的数学模型为：max S=20 x+30y s.t.Zyxyxyxyx,0,7045202 这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解 可行域为：由直线1l：x+2y=20,2l:5x+4y70 2l y 以及 x=0,y=0 组成的凸四边形区域.直线l：20 x+30y=c 在可行域内 l 平行移动.易知：当l过1l与

41、2l的交点时，1l x S 取最大值.由7045202yxyx 解得510yx 此时 maxS2053010350（元）2.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：货物 体积（立方米/箱）重量（百斤/箱）利润（百元/箱）甲 5 2 20 乙 4 5 10 已知这两种货物托运所受限制是体积不超过 24 立方米，重量不超过 13 百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为1x,2x,所获利润为z.则问题的数学模型可表示为 211020 maxxxz 实用文档 Zyxxxxxxxst,0,13522445212

42、121 这是一个整线性规划问题.用图解法求解.可行域为：由直线 2445:211 xxl 1352:212 xxl 及0,021xx组成直线 cxxl211020:在此凸四边形区域内平行移动.易知：当l过l1与l2的交点时，z取最大值 由135224452121xxxx 解得 1421xx 90110420maxz.3某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为 3 和 2 个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为 2 和 3 个单位,所需工时分别为 4 和 2个单位.若允许使用原料为 100 个单位,工时为 120 个单位,且甲型、

43、乙型微波炉产量分别不低于 6 台和 12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大并求出最大利润.解：设安排生产甲型微波炉x件,乙型微波炉y件,相应的利润为 S.则此问题的数学模型为：max S=3x+2y s.t.Zyxyxyxyx,12,61202410032 这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解 可行域为：由直线1l：2x+3y=100,2l:4x+2y120 2l l 1x 1l 2x 实用文档 及 x=6,y=12 组成的凸四边形区域.直线l：3x+2y=c 在此凸四边形区域内平行移动.易知：当l过1l与2l的交点时,S 取最大值.由1202410032

44、yxyx 解得 2020yx.maxS320220100.第五章 2（2008 年 11 月 14 日）6.模仿 5.4 节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为）和口服或肌肉注射 3 种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.解:设给药速率为,0VtCtxtf容积为血药浓度为中心室药量为 .,0/tVCtxtftkxtxk则排除速率为常数(1)快速静脉注射:设给药量为,0D 则.,0,0000tkeVDtCVDCtf解得(2)恒速静脉滴注(持续时间为):设滴注速率为,00,000Cktfk，则解得 teeVkkteVkktCtkktkt

45、,10 ,100(3)口服或肌肉注射:，解得）式节（见134.5010010tkeDktf 中心室 tC,tx V k 排除 tf0 实用文档 010101001 ,01kkteVkDkkeekkVDktCkttkkt3 种情况下的血药浓度曲线如下：4在 5.3 节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4ba 初始兵力00yx 与相同.(1)问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用 tytx,表示甲、乙交战双方时刻 t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:000,

46、01 ,yyxxbxdtdyaydtdx 现求(1)的解:(1)的系数矩阵为00baA(1)(2)(3)O t 实用文档 ababbaAE1,22 .0 1212,21，对应的特征向量分别为 tabtabeCeCtytx1212121的通解为.再由初始条件，得 2 220000tabtabeyxeyxtx 又由.1aybxdxdy可得 其解为 3 ,202022bxaykkbxay而(1).231000202011yabyabxayaktytx 时，当 即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y 又令.0222,01100001tabtabeyxeyxtx）得由（注意到000020022,1xyyx

47、eyxtab得.43ln ,3121btetab(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援.则 实用文档 000,)0(4 yyxxbxdtdyraydtdx .,4rdyaydybxdxbxraydydx即得由 相轨线为,222kbxryay.222220.020karbxaryabxryayk或 此相轨线比书图 11 中的轨线上移了.ar乙方取胜的条件为.,0222020arxabaryk亦即 第六章（2008 年 11 月 20 日）1.在 6.1 节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从 Logistic 规律，而单位时间捕捞量为常数 h(1)分别就4/rNh，4/rNh，

48、4/rNh 这 3 种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况(2)如何获得最大持续产量，其结果与 6.1 节的产量模型有何不同 解：设时刻 t 的渔场中鱼的数量为tx，则由题设条件知：tx变化规律的数学模型为 hNxrxdttdx)1()(记hNxrxxF)1()(1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性：由 0 xF，得0)1(hNxrx 即 102hrxxNr)4(42NhrrNrhr ，(1)的解为：2412,1NrNhNx 实用文档 当4/rNh，0，(1)无实根，此时无平衡点；当4/rNh，0，(1)有两个相等的实根，平衡点为20Nx.NrxrNrxNxrxF2)1()(，0)(0 x

49、F 不能断定其稳定性.但0 xx 及0 xx 均有04)1()(rNNxrxxF，即0dtdx0 x不稳定；当4/rNh，0时，得到两个平衡点：2411NrNhNx，2412NrNhNx 易知：21Nx ，22Nx ，0)(1xF，0)(2xF 平衡点1x不稳定，平衡点2x稳定.(2)最大持续产量的数学模型为 0)(.maxxFtsh 即)1(maxNxrxh，易得 2*0Nx 此时 4rNh，但2*0Nx 这个平衡点不稳定这是与 6.1 节的产量模型不同之处 要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2Nx，且尽量接近2N，但不能等于2N 第八章（2008 年 12 月 9 日）1.基于省时、收入、岸

50、间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.解：目标层 准则层 x Nxrx/1 2x 2/N 1x 4/rNh 4/rNh 4/rNh 越海方案的最优经济效益 省时 收入 岸 间商 业 当地商业 建 筑就 业 实用文档 方案层 2.简述层次分析法的基本步骤.问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪 3 个层次？具体内容分别是什么？答：层次分析法的基本步骤为：（1）建立层次结构模型；（2）构造成对比较阵；（3）计算权向量并做一致性检验；（4）计算组合权向量并做组合一致性检验 对