三角形外接圆与内切圆半径求法12534.pdf

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1、 1 三角形的外接圆与内切圆半径的求法 一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.例 1 已知：在ABC 中，AB13，BC12，AC5 求ABC 的外接圆的半径.解：AB13，BC12，AC5，AB2BC2AC2，C90，AB 为ABC 的外接圆的直径，ABC 的外接圆的半径为.2、一般三角形 已知一角和它的对边 例 2 如图，在ABC 中，AB10，C100，求ABC 外接圆O 的半径.（用三角函数表示）分析：利用直径构造含已知边 AB 的直角三角形.解：作直径 BD，连结 AD.则D180C80，BAD90 BDDsin

2、AB80sin10 ABC 外接圆O 的半径为80sin5.注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.例 3 如图，已知，在ABC 中，AB10，A70，B50 求ABC 外接圆O 的半径.分析：可转化为的情形解题.解：作直径 AD，连结 BD.则DC180CABBAC60，DBA90 ADDsinAB60sin103320 ABC 外接圆O 的半径为3310.已知两边夹一角 例 4 如图，已知，在ABC 中，AC2，BC3，C60 求ABC 外接圆O 的半径.分析：考虑求出 AB，然后转化为的情形解题.解：作直径 AD，连结 BD.作 A

3、EBC，垂足为 E.则DBA90，DC60，CE21AC1，AE3，BEBCCE2，AB22BEAE 7 ABCOABCODABCODABCODE 1 ADDsinAB60sin72132 ABC 外接圆O 的半径为2131.已知三边 例 5 如图，已知，在ABC 中，AC13，BC14，AB15 求ABC 外接圆O 的半径.分析：作出直径 AD，构造 RtABD.只要求出ABC 中 BC 边上的高 AE，利用相似三角形就可以求出直径 AD.解：作直径 AD，连结 BD.作 AEBC，垂足为 E.则DBACEA90，DC ADBACE ABAEADAC 设 CEx,AC2-CE2AE2AB2-

4、BE2 132-x2152-(14-x)2 x=5,即 CE5 AE12 1512AD13 AD465 ABC 外接圆O 的半径为865.二、求三角形的内切圆的半径 1、直角三角形 例 6 已知：在ABC 中，C90，ACb，BCa，ABc 求ABC 外接圆O 的半径.解：可证四边形 ODCE 为正方形.设O 的半径为 r，则 CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r，(a-r)+(b-r)=c,r=2cba,即ABC 外接圆O 的半径为2cba.2、一般三角形 已知三边 例 7 已知：如图，在ABC 中，AC13，BC14，AB15 求ABC 内切圆O 的半径 r.分析：考虑先求出ABC

5、的面积，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.解：利用例 5 的方法，或利用海伦公式 S)cs)(bs)(as(s(其中 s=2cba)可求出 SABC84，从而21ABr+21BCr+21ACr=84,r=4 已知两边夹一角 例 8 已知：如图，在ABC 中，cotB34,AB5，BC6 求ABC 内切圆O 的半径 r.分析：考虑先通过解三角形，求出ABC 的面积及 AC 的长，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.解：作ABC 的高 AD.解直角三角形可得 AD3，CD2，AC13，因为21ABr+21BCr+21ACr=21BCAD,可求得 r=61311 ABCODEABCOEDbcaABCOEFDABCOD 1 已知两角夹一边 例 9 已知：如图，在ABC 中，B60，C45,BC6 求ABC 内切圆O 的半径 r.(精确到 分析：思路方法同上，读者可完成.总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.ABCOD