中考数学必会几何模型：将军饮马模型24075.pdf

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1、1 将军饮马模型“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现 模型 1：直线与两定点 模型 作法 结论 lBA 当两定点 A、B 在直线 l 异侧时，在直线l 上找一点 P，使 PAPB 最小 lPAB 连接 AB 交直线 l 于点 P，点 P即为所求作的点 PAPB 的最小值为 AB lAB 当两定点 A、B 在直线 l 同侧时，在直线l 上找一点 P，使得 PAPB 最小 lPBAB 作点B关于直线l的对称点B，连接 AB交直线 l

2、于点 P，点 P即为所求作的点 PAPB 的最小值为 AB lAB 当两定点 A、B 在直线 l 同侧时，在直线l 上找一点 P，使得PAPB最大 lPAB 连接 AB 并延长交直线 l 于点P，点 P 即为所求作的点 PAPB的最大值为AB lAB 当两定点 A、B 在直线 l 异侧时，在直线 l 上找一点 P，使得PAPB最大 lBABP 作点B关于直线I的对称点B，连接 AB并延长交直线 l 于点P，点 P 即为所求作的点 PAPB的最大值为AB 2 lAB 当两定点 A、B 在直线 l 同侧时，在直线l 上找一点 P，使得PAPB最小 lPAB连接 AB，作 AB 的垂直平分线交直线

3、l 于点 P，点 P 即为所求作的点 PAPB的最小值为 0 模型实例 例 1：如图，正方形 ABCD 的面积是 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，则 PDPE 最小值是 EBCADP 解答：如图所示，点 B 与点 D 关于 AC 对称，当点 P 为 BE 与 AC 的交点时，PDPE 最小，且线段 BE 的长 正方形 ABCD 的面积为 12，其边长为2 3 ABE 为等边三角形，BEAB2 3PDPE 的最小值为2 3 例 2：如图，已知 ABC 为等腰直角三角形，ACBC4，BCD15，P 为 CD 上的动点，则PAPB 的最大值是

4、多少？DACBP PAABC 解答：3 如图所示，作点 A 关于 CD 的对称点 A，连接 AC，连接 AB 并延长交 CD 于点 P，则点 P就是PAPB的值最大时的点，PAPBAB ABC 为等腰直角三角形，ACBC 等于 4，ACB90 BCD15，ACD75 点 A、A关于 CD 对称，AACD，ACCA，ACDDCA75，BCA60 CAACBC4，ABC 是等边三角形，ABBC4PAPB的最大值为 4 练习 1如图，在 ABC 中，ACBC2，ACB90，D 是 BC 边的中点，E 是 AB 边上一动点，则 ECED 的最小值是 DACBE 解：解：过点 C 作 COAB 于 O，

5、延长 CO 到C，使 OC=OC，连接 DC，交 AB 于 E，连接CB，此时 DE+CE=DE+EC=DC的值最小 连接 BC，由对称性可知CBE=CBE=45，CBC=90，BCBC，BCC=BCC=45，BC=BC=2，D 是 BC 边的中点，BD=1，根据勾股定理可得：DC=5，故 EC+ED 的最小值是5 2如图，点 C 的坐标为（3，y），当 ABC 的周长最短时，求 y 的值 xyB(2,0)A(0,3)O 解：解：（1）作 A 关于 x=3 的对称点 A，连接 AB 交直线 x=3 与点 C 点 A 与点 A关于 x=3 对称，AC=ACAC+BC=AC+BC 当点 B、C、A

6、在同一条直线上时，AC+BC 有最小值，即 ABC 的周长有最小值 点 A 与点 A关于 x=3 对称，点 A的坐标为（6，3）4 设直线 BA的解析式 y=kx+b，将点 B 和点 A的坐标代入得：k34，b32 y=34x-32 将 x=3 代入函数的解析式，y 的值为34 3如图，正方形 ABCD 中，AB7，M 是 DC 上的一点，且 DM3，N 是 AC 上的一动点，求|DNMN|的最小值与最大值 MBCADN 解：解：当 ND=NM 时，即 N 点 DM 的垂直平分线与 AC 的交点，|DN-MN|=0，因为|DN-MN|DM，当点 N 运动到 C 点时取等号，此时|DN-MN|=

7、DM=3，所以|DN-MN|的最小值为 0，最大值为 3 模型 作法 结论 AOBP 点 P 在AOB 内部，在 OB 边上找点 D，OA 边上找点 C，使得 PCD 周长最小 DCPPPBOA 分别作点 P 关于 OA、OB的对称点 P、P，连接 PP，交 OA、OB 于点 C、D，点C、D 即为所求 PCD 周长的最小值为 PP PBOA 点 P 在AOB 内部，在 OB 边上找点 D，OA 边上找点 C，使得 PDCD 最小 DCPPBOA 作点 P 关于 OB 的对称点P，过 P作 PCOA 交 OBPDCD 的最小值为 PC 5 于 D，点 C、点 D 即为所求 PBOAQ 点 P、

8、Q 在AOB 内部，在 OB 边上找点D，OA边上找点C，使得四边形PQDC周长最小 分别作点 P、Q 关于 OA、OB 的对称点 P、Q，连接PQ，分别交 OA、OB 于点C、D，点 C、D 即为所求 PCCDDQ 的最小值为PQ，所以四边形 PQDC 周长的最小值为 PQPQ 模型实例 如图，AOB=30，AOB 内有一定点P，且10OP=.在OA上有一点Q，OB上 一点R若立PQR周长最小，则最小周长是多少？解答 如图，作点P分别关于OA、OB的对称点E、F，连接EF，分别交OA、OB于点Q、R，连接OE、OF、PE、PF.EQOP，FRRP=PQR的周长的最小值为EF的长.由对称性可得

9、EOQ=POQ，FOR=POR，EOF=2AOB=60 EOF是正三角形 10EFOEOP 即PQR周长最小值为 10.模型 2/角与定点 1已知，40MON?，P为MON内一定点，A为OM上的点，B为ON上的点，当PAB的周长取最小值时：OBAP6 (1)找到A、B点，保留作图痕迹；(2)求此时APB等于多少度.如果MON=，APB 又等于多少度？ONMP 1.解答（1）做点P分别关于OMON、的对称点EF、，连接EF分别交OMON、于点AB、点AB、即为所求，此时PAB的周长最小（）点E与点P关于直线OM对称，点F与点P关于ON对称，EAPE，F=BPF，CPD=180-MON=140 在

10、EFP中，E+F=180-140=40，CPA+BPD=40APB=100如果MON=，CPD=180-，E+F=又PAB=2E，PBA=2F PAB+PBA=2（E+F）=2 APB=180-2 PDMONEFCAB 2如图，四边形中ABCD，110BAD?,90BD?，在BC、CD上分别找 一点M、N，使AMN周长最小，并求此时+AMNANM的度数 7 ADCBMN 2解答 如图，作点A关于BC的对称点A，关于CD的对称点A，连接A A 与BC、CD的交点即为所求的点M、N此时AMN周长最小 BAD=110，A+A=180-110=70 由轴对称的性质得：A=A AM，A=A AN，AMN

11、+ANM=2(A+A)=270=140 3如图，在x轴上找一点C，在y轴上找一点D，使ADCDBC+最小，并求直 线CD的解析式及点C、D的坐标 yxOB(3,1)A(1,3)3解答 作点A关于y轴的对称点A，点B关于x轴的对称点B，连接A B 分别交x轴、y轴于点C、D，此时ADCDBC最小 由对称性可知A（-1,3），B（3，-1）易求得直线A B 的解析式为2yx ，即直线CD的解析式2yx 当0y 时，2x，点C坐标为（2,0）当0 x 时，2y，点D坐标为（0,2）8 xy(1，3)(3，1)OBBAADC 4如图，20MON?，A、B占分别为射线OM、ON上两定点，且2OA=，4O

12、B=，点P、Q分别为射线OM、ON上两动点，当P、Q运动时，线段AQPQPB+的最小值是多少？ONMAB 4解答 作A点关于ON的对称点A，点B关于OM的对称点B，连接A B，分别交OMON、于点PQ、，连接OA、OB 则AQPQPBA QPQPBA B，此时AQPQPB最小 由对称可知，PBPB，AQA Q，2OAOA，4OBOB，20MOBNOAMON 60A OB 作A DOB于点D，在 RtODA中，1OD，3A D 4 13B D，2 3A B AQPQPB的最小值是2 3 9 模型 3 两定点一定长 模型 作法 结论 如图，在直线 l 上找 M、N 两点(M 在左)，使得 AMMN

13、NB 最 小，且 MNd.将 A 向右平移 d 个单位到 A，作 A 关于 l 的对称点 A，连接 AB 与直线 l 交于点 N，将点 N 向左平移 d 个单位即为 M，点 M，N 即为所求.AM MN NB 的最小值 为 ABd 如图，l1l2，l1、l2间距离为 d，在 l1、l2分别找 M、N 两点，使 得MNl1，且AMMNNB最小 将 A 向下平移 d 个单位到 A，连接 AB 交直线 l2于点 N，过点 N 作 MNl1，连接 AM.点 M、N 即为所求 AMMNNB 的最小值为 ABd.例题：在平面直角坐标系中，矩形 OABC 如图所示，点 A 在 x 轴正半轴上，点 C 在 y

14、 轴正半轴上，且 OA6，OC4，D 为 OC 中点，点 E、F 在线段 OA 上，点 E 在点 F 左侧，EF2.当四边形 BDEF 的周长最小时，求点 E 的坐标 解答：如图，将点 D 向右平移 2 个单位得到 D(2，2)，作 D关于 x 轴的对称点 D(2，2)，连接 BD交 x 轴于点 F，将点 F 向左平移 2 个单位到点 E，此时点 E 和点 F 为所求作的点，且四边形 BDEF 周长最小.理由：四边形 BDEF 的周长为 BDDEEFBF，BD 与 EF 是定值.BFDE 最小时，四边形 BDEF 周长最小，BFEDBFFDBFFDBD A B l2 l1 A N M A B

15、l2 l1 B A l M N A A B A l d 10 设直线 BD的解析式为 ykxb，把 B(6，4)，D(2，2)代入，得 6kb4，2kb2，解得 k32，b5，直线 BD的解析式为 y32x5 令 y0，得 x103，点 F 坐标为(103，0)点 E 坐标为(43，0)练习 1在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，A(3，0)，B(0，4)，D 为边 OB 的中点(1)若 E 为边 OA 上的一个动点，求 CDE 的周长最小值；(2)若 E、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF1，当四边形 CDEF 的周

16、长最小时，求点 E、F 的坐标 解答：(1)如图，作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 CD与 x 轴交于点 E，连接 DE，由模型可知 CDE 的周长最小 在矩形 OACB 中，OA3，OB4，D 为 OB 的中点，D(0，2)，C(3，4)，D(0，2).设直线 CD为 ykxb，把 C(3，4)，D(0，2)代入，得 3kb4，b2，解得 k2，b2，直线 CD为 y2x2.令 y0，得 x1，点 E 的坐标为(1，0).OE1，AE2.利用勾股定理得 CD 13，DE 5，CE2 5，CDE 周长的最小值为 133 5 (2)如图，将点 D 向右平移 1 个单位得到 D(1，2)，

17、作 D关于 x 轴的对称点 D(1，2)，连接 CD交 x 轴于点 F，将点 F 向左平移 1 个单位到点 E，此时点 E 和点 F 为所求作的点，且四边形 CDEF 周长最小 理由：四边形 CDEF 的周长为 CDDEEFCF，CD 与 EF 是定值，DECF 最小时，四边形 BDEF 周长最小，DECFDFCFFDCFCD，设直线 CD的解析式为 ykxb，把 C(3，4)，D(1，2)代入，得 3kb4，kb2，解得 k3，b5直线 CD的解析式为 y3x5，令 y0，得 x53，点 F 坐标为(53，0)，点 E 坐标为(23，0)11 2村庄 A 和村庄 B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使 A 与 B 之间的距离最短？解答：设 l1和 l2为河岸，作 BDl2，取 BB等于河宽，连接 AB交 l1于 C1，作 C1C2l2于 C2，则 AC1C2B 为最短路线，即 A 与 B 之间的距离最短.A B l2 l1