利用导数研究不等式恒成立问题4173.pdf

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1、导数复习系列3 利用导数研究不等式的恒成立问题 1 设函数 fx错误!;对于任意实数 x1;2;fxm 恒成立;则 m 的最小值为_ 2.已知32|2|,1()ln,x1xxx xf xx;命题“0,()tf tkt”是假命题;则k的取值范围是_.3.2012无锡调研若不等式xaex对任意实数 x 恒成立;求实数 a 的取值范围 4.2008 江苏设函数3()31()f xaxxxR;若对于任意的1,1x都有0)(xf成立;则实数a的值为 .52012宿迁市联考已知 fx2xln x;gxx2ax3.1 求函数 fx 的最小值；2 若存在 x0;使 fxgx 成立;求实数 a 的取值范围；变式

2、：证明对一切 x0;都有 fx2错误!成立 6.1设函数 fx错误!;对于任意实数 x1;2;fxm 恒成立;则 m 的最小值为_错误!2.已知32|2|,1()ln,x1xxxxf xx;命题“0,()tf tkt”是假命题;则k的取值 范围是_.3.2012无锡调研若不等式xaex对任意实数 x 恒成立;求实数 a 的取值范围 2 当 x0 时;对任意 a0;不等式恒成立 当 x0 时;在 e错误!x 两边取自然对数;得错误!ln x.当 0 x1 时;ln x0;当 a0 时;不等式恒成立；当 a0 时;ln x0;aln x0;不等式等价于 a错误!;由 1 得;此时错误!;0;不等式

3、不恒成立 当 x1 时;ln x0;则 a0;不等式等价于 a错误!;由 1 得;此时错误!的最小值为 e;得 0ae.综上;a 的取值范围是 0;e 4.2008 江苏设函数3()31()f xaxxxR;若对于任意的1,1x都有0)(xf成立;则实数a的值为 .解析本小题考查函数单调性的综合运用若 x0;则不论a取何值;f x0 显然成立；当 x0 即 x0;1时;331f xaxx0 可化为;2331axx 设 2331g xxx;则 43 12xgxx;所以 g x 在区间10,2上单调递增;在区间1,12上单调递减;因此 max142g xg;从而a4；当 x0 即 x1,0时;33

4、1f xaxx0 可化为a 2331xx;43 12xgxx0 g x 在区间1,0上单调递增;因此 ma14ng xg;从而a4;综上a4 答案 4 52012宿迁市联考已知 fx2xln x;gxx2ax3.1 求函数 fx 的最小值；2 若存在 x0;使 fxgx 成立;求实数 a 的取值范围；变式：证明对一切 x0;都有 fx2错误!成立 1 解 fx 的定义域为 0;fx2ln x1 令 fx0;得 x错误!.当 x错误!时;fx0；当 x错误!时;fx0.所以 fx 在错误!上单调递减；在错误!上单调递增 故当 x错误!时;fx 取最小值为错误!.2 解 存在 x0;使 fxgx 成立;即 2xln xx2ax3 在 x0;能成立;等价于 a2ln xx错误!在 x0;能成立;等价于 a2ln xx错误!min.记 hx2ln xx错误!;x0;则 hx错误!1错误!错误!错误!.当 x0;1 时;hx0；当 x1;时;hx0.所以当 x1 时;hx 取最小值为 4;故 a4.3 证明 记 jx2错误!;x0;则 jx2错误!.当 x0;1 时;jx0；当 x1;时;jx0.所以当 x1 时;jx 取最大值为错误!.又由 1 知;当 x错误!时;fx 取最小值为错误!;故对一切 x0;都有 fx2错误!成立 6.