概率考研辅导第四章10596.pdf

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1、 1 第四章 随机变量的数字特征 基本概念 1、概念网络图 切比雪夫不等式矩方差期望一维随机变量 协方差矩阵相关系数协方差方差期望二维随机变量 第四章 一、数学期望（一）一维随机变量 1.离散型随机变量的数学期望 定义：设离散型随机变量X的分布律为,2,1ipxXPii 若级数1iiipx绝对收敛，则称级数1iiipx的和为随机变量X的数学期望（简称期望或均 2、连续型随机变量的数学期望 定义：设连续型随机变量X的概率密度为)(xf，若积分dxxxf)(绝对收敛，则称积分dxxxf)(的值为随机变量X的数学期望，记为)(XE，即：)(XE=dxxxf)(（二）二维随机变量的数学期望 对二维随机

2、变量),(YX.，定义它的数学期望为).,(),(EYEXYXE 1.二维离散型随机变量的数学期望 2 设二维离散型随机变量),(YX的联合分布律为：,2,1,jipyYxXPijji 则)(XE=1iiipx=11iijijpx，)(YE=1jjjpy=11iijijpy 2.二维连续型随机变量的数学期望 设二维连续型随机变量),(YX的概率密度为),(yxf，则 )(XE=dxxxfX)(=dxdyyxxf),(，)(YE=dyyyfY)(=dxdyyxyf),(（三）随机变量的函数的数学期望 1.离散型随机变量的函数的数学期望 设离散型随机变量X的分布律为,2,1,ipxXPii，)(x

3、g是实值连续函数，且 级 数1)(iiipxg绝 对 收 敛，则 随 机 变 量 函 数)(Xg的 数 学 期 望 为)(XgE1)(iiipxg.2.连续型随机变量的函数的数学期望 设连续型随机变量X的概率密度为)(xf，)(xg是实值连续函数，且广义积分dxxfxg)()(绝 对 收 敛，则 随 机 变 量 函 数)(Xg的 数 学 期 望 为)(XgEdxxfxg)()(.（四）数学期望的性质：（1）设C是常数，则有CCE)(（2）设X是一个随机变量，C是常数，则有)()(XCECXE.（3）设YX,是两个随机变量，则有)()()(YEXEYXE.（可推广到n维）（4）设YX,是两个独立

4、的随机变量，则有)()()(YEXEXYE 二、方差 1.定义式：D(X)=EX-E(X)2，标准差：)()(XDX 离散型：kkkpXExXD2)()(3 连续型：dxxfXExXD)()()(2 2.方差常用计算公式 22)()(XEXEDX.3.方差的性质（1）设C是常数，则有0)(CD，)()(XDCXD（2）设X是一个随机变量，C是常数，则有)()(2XDCCXD.（3）设YX,是两个相互独立的随机变量，则有)()()(YDXDYXD.（可推广到n维）一般地，设YX,是任意两个随机变量，则有),cov(2)()()(YXYDXDYXD（4）)(XD=0 的充分必要条件是X一概率 1

5、取常数C，即1 CXP，显然，这里)(XEC 常见分布的期望和方差 期望 方差 0-1分布),1(pB p)1(pp 二项分布),(pnB np)1(pnp 泊松分布)(P 几何分布)(pG p1 21pp 超几何分布),(NMnH NnM 11NnNNMNnM 均匀分布),(baU 2ba 12)(2ab 指数分布)(e 1 21 正态分布),(2N 2 分布2 n 2n 4 t 分布 0 2nn(n2)三、协方差 1.定义 1：EYYEXXE称为随机变量YX,的协方差记为),cov(YX，即 ),cov(YX=EYYEXXE 2.协方差的常用公式：),cov(YX=)()()(YEXEXY

6、E（按定义展开即得）3.协方差的性质（1）)(),cov(XDXX；（2）),cov(YX=),cov(XY；（3）),cov(bYaX=baYXab,),cov(为任意常数；（4）),cov(21YXX=),cov(1YX+),cov(2YX；（5）如果YX,是相互独立的，则),cov(YX=0。四、相关系数 1.定义 2：设随机变量YX,的数学期望与方差都存在，称)()(),cov(YDXDYXxy为随机变量 YX,的相关系数。2.相关系数的性质：（1）1xy（2）1xy的充分必要条件为，存在常数ba,使得1baXYP。当0 xy，称X与Y不相关；当1xy时，称 X 与 Y 完全相关：1)

7、(baYXP 完全相关，时负相关，当，时正相关，当)0(1)0(1aa 五、矩 对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为 vk,5 即 k=E(Xk),k=1,2,.对于正整数 k，称随机变量 X 与 E（X）差的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶中心矩，记为k，即.)(kkXEXE，k=1,2,.六、二维正态分布及其边缘分布 1.定义：若二维连续随机变量),(YX的联合概率密度为：),()()(2)()1(21exp121),(2222212121212221yxyxxxyxf其中,222121都是常数，且0,021，11,21，我们称),(Y

8、X为服从参数为,222121的二维正态分布记为),(YX),(222121N 2.说明：参数21,分别是X和Y的数学期望，参数21,分别是它们的标准差，参数是它们的相关系数。3.二维正态分布的边缘概率密度 xexfxX,21)(21212)(1 yeyfyY,21)(22222)(2 4.二维正态分布的联合概率密度与边缘概率密度的关系 二维随机变量),(YX服从二维正态分布，则随机变量X和Y相互独立的充分必要条件是0。即二维正态随机变量),(YX，X和Y不相关与X和Y相互独立是等价的。6 常见题型 1、一维随机变量及其函数的数字特征 例 1.设随机变量 X 的概率密度为.x,cxxf其他；）（

9、0222 试求：（1）常数 c；（2）E（X），D（X）；（3）P|X-E（X）|D（X）.解：（1）由.1)(dxxf 得1633162233222cccxdxcx（2）0163)()(223dxxdxxxfxE 512163)()(22422dxxdxxfxXE 512)()()(22XEXEXD（3）P|X-E（X）|0.试求 U，V的相关系数UV。解：UVYDXDcaYXacVDUDVU)()(),cov()()(),cov(22例 7.（01，3 分）将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上或反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于 （A）-1 （B）0（C）21 （D）1 答案

10、：A 10 因 为YXnXYnYX与即,存 在 线 性 关 系，且 一 次 项 的 系 数1,01故 例 8.今有两封信欲投入编号为 I、II、III的 3 个邮筒，设 X，Y 分别表示投入第 I 号和第II 号邮箱的信的数目，试求（1）（X，Y）的联合分布；（2）X 与 Y 是否独立；（3）令 U=max(X,Y),V=min(X,Y)，求 E（U）和 E（V）。解：（1）X 与 Y 的联合分布律为 （2）X 与 Y 的边缘分布律为 X 0 1 2 ip 4/9 4/9 1/9 Y 0 1 2 jp 4/9 4/9 1/9 因为949400910,0YPXPYXP，所以 X,Y不独立（3）,

11、maxYXU 的可能取的值为 0,1,2 910,00YXPUP 321,10,11,01YXPYXPYXPUP 921,20,22,12,02YXPYXPYXPYXPUP即 U=max 0 1 2 y x 0 1 2 0 91 92 91 1 92 92 0 2 91 0 0 11 p 91 32 92 98)(UE，,minYXV 的可能取的值为 0,1,2 970,20,12,01,00,00YXPYXPYXPYXPYXPVP 921,22,11,11YXPYXPYXPVP 02,22YXPVP 即 U=min 0 1 2 p 91 32 92 E(V)=92 例 9.假设二维随机变量（

12、X，Y）在矩形 G=（X,Y）|0 x 2,0y 1上服从均匀分布，记;,1,0YXYXU .2,1,2,0YXYXV（1）求 U 和 V 的联合分布；（2）求 U 和 V 的相关系数.解：U,V的联合分布律为 U V 0 1 0 11C 12C 1 21C 22C 其他,010,20,21),(yxyxf 412121),(2,0,01001011ydydxdydxyxfdyYXPYXYXPVUPCyy 12 41212122,0,1122121021xxxdydxdydyYXYPYXYXPVUPC 02,1,012YXYXPVUPC 212122,1,1202022xdydxYXPYXYX

13、PVUPC 从而 U,V的联合分布律为 （2）U 0 1 P 1/4 3/4 V 0 1 P 1/2 1/2 从而有1634143)1()(,43)(ppUDUE，412121)(,21)(VDVE 又21211141010104100)(UVE 于是818321)()()(),cov(VEUEUVEVU 314116381)()(),cov(VDUDVUrUV 例 10.（98，7 分）某箱装有 100件产品，其中一、二和三等品分别为 80、10 和 10 件。现从中随机抽取一件，记)3,2,1(0,1iiXi其他等品若抽到 试求：（1）（X1，X2）的联合分布；（2）（X1，X2）的相关系

14、数。V U 0 1 0 41 0 1 41 21 13 解：21XX 与的联合分布律为 1.010,0321XPXXP，1.011,0221XPXXP 8.010,1121XPXXP，01,121PXXP 21XX 与的边缘分布律分别为 1X 0 1 kp 0.2 0.8 2X 0 1 kp 0.9 0.1 于是16.0)(,8.0)(11XDXE，09.0)(,1.0)(22XDXE 从而 4309.016.008.01.001.008.0001)()()()()()()(),cov(212121212121XDXDXEXEXXEXDXDXXXX 3、独立和不相关 例 11.已知随机变量 X

15、 和 Y 分别服从正态分布 N（1，32）和 N（0，42），且 X 与 Y 的相关系数21XY，设.23YXZ（1）求 Z 的数学期望 E（Z）和方差 D（Z）；（2）求 X 与 Z 的相关系数XZ；（3）问X 与 Z 是否相互独立？为什么？解：（1）31)(21)(31)(YEXEZE 14 32412)(3)(2)(41)(912,3cov223)(YDXDYDXDYXYDXDZDXY（2）0214321331)2,cov(21),cov(31)2,cov()3,cov(),cov(2YXXXYXXXZX 因此0)()(/),cov(ZDXDZXXZ（3）Z不一定是正态分布，（X,Z）也

16、不一定是二维正态分布，虽然0XZ，即 X,Z不相关，但是X与Z不一定相互独立 例 12设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则)(2xeXE 。答案：34，343111)()()(0222dxeeeEXEeXExxxx 例 13.（93，6 分）设随机变量X的概率密度为 xexfx,21)(|（1）求EX和DX；（2）求X与|X|的协方差，并问X与|X|是否不相关？（2）问X与|X|是否相互独立？为什么？解：（1）0)()(dxxxfXE dxxfXExXD)()()(2202dxexx（2）0)()()()(),cov(dxxfxxXXEXEXEXXEXX（，0)()(),cov(XD

17、XDXXXY 故X与|X|不相关（3）对给定 a0，显然事件aX 包含在事件aX 中，且 0,1aXPaXP，于是,aXPaXaXP 15 aXPaXPaXP，所以,aXaXPaXPaXP 故X与|X|不独立 例 14.如果 X 与 Y 满足 D（X+y）=D（X-Y），则必有（A）X 与 Y 独立。（B）X 与 Y 不相关。（C）D（Y）=0。（D）D(X)D(Y)=0.答案：B 例 15.设 A，B 是二随机事件，随机变量,1,1否则出现若AX .,1,1否则出现若BY 证明 X,Y不相关与 A,B独立互为充分且必要条件。证明：记1221)(,)(,)(pABPpBPpAP，则 12)1(

18、)()()(111pppAPAPXE同理12)(2pYE 由于 XY 只有两个可能值 1 和-1，所以由 12)()(12112pppBAPABPXYP 1221111pppXYPXYP 2112221411)(pppXYPXYPXYE 211244)()()(),cov(pppYEXEXYEYX 因此，),cov(YX当且仅当 A,B相互独立时为 0，此时2112ppp，即 X 和 Y 不相关的充分必要条件是 A,B相互独立 4、应用题 例 16.假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量 X 盒，它服从区间200，400上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得 1 元，但假如销售不出而屯

19、积于冰箱，则每盒赔 3 元。问小店应组织多少货源，才能使平均利润最大？16 解 设该小店储备 盒冰淇淋，显然有400200 y，则该小店所获利润为 400,200)3XyyyXXyXL，（的概率密度为其他,0400200,2001)(xxf 于是 40020020012001)34()(yydxydxyxLE)800001000220012yy（)10004(2001)(yLEdyd 17 令，得250y.故当250y（盒）时，该小店公司所获平均利润最大.练习 1.（90，2 分）已知随机变量X服从参数为 2 的泊松分布，且随机变量Z=3X-2，则EZ=。答案：4 2.（90，6 分）设二维随

20、机变量（X，Y）在区域D：0X1,|y|x内服从均匀分布，求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z=2X+1 的方差DZ。解：其他0,10,1),(xyxyxf 其他0102),()(xxdydyyxfxfxxx;322)()(102dxxdxxxfXEX，212)()(10322dxxdxxfxXEX 1813221)()()(222XEXEXD，92)(4)12()(XDXDZD 3.（91，3 分）设随机变量X服从均值为 2、方差为2的正态分布，且0,3.042XPXP则 。答案：0.2 4.（02，3 分）设随机变量X和Y的联合概率分布为 概率 Y X -1 0 1 0 1 0.07 0

21、.08 0.18 0.32 0.15 0.20 18 则X和Y的关系数=。解：,6.01)(XPXE,20.035.040.0015.0)(YE 12.020.01132.00122.01018.00008.01107.001)(XYE 0)()()(),cov(YEXEXYEYX 0 5.（02，3 分）设随机变量X和Y的联合概率分布为 概率 Y X-1 0 1 0 0.07 0.18 0.15 1 0.08 0.32 0.20),cov(2222YXYX的协方差和则 .解：概率 2Y 2X 0 1 PiipxX2 0 0.18 0.22 0.40 1 0.32 0.28 0.60 Pjip

22、yY2 0.50 0.50 ,6.01)(22XPXE,5.01)(22YPYE 28.028.01132.00122.01018.000)(22YXE 02.0)()()(),cov(222222YEXEYXEYX 6.（02，8 分）假设随机变量U在区间-2，2上服从均匀分布，随机变量 1,11,1UUX若若 1,11,1UUY若若 19 试求（1）X和Y的联合概率分布；（2）D（X+Y）。解：（1）（X,Y）可能取的值为（-1，-1），（1，-1），（1,1）4111,11,1UPUUPYXP 21111,11,1UPUUPYXP 4111,11,1UPUUPYXP Y X-1 1-1

23、41 0 1 21 41（2）X+Y的概率分布为4/12/14/1202YX 0412412)(YXE,241241)2()(222YXE 2)()()(22YXEYXEYXD 7.将 n 只球放入到 N 只盒子中去，设每只球落入各个盒子是等可能的，求有球盒子数 X 的数学期望。解：引入随机变量,2,10,1miiXi，其他个盒子中有球第 则.21mXXXX易知 ninnniMXPMMMXP1111,11)1(0(故niMXE111)(所以111)()(1niMiMMXEXE 即有球盒子数 X 的数学期望111 nMM 8.一台仪器由 5 只不太可靠的元件组成，已知各元件出故障是独立的，且第

24、k 只元件出故障的概率为101kpk，则出故障的元件数的方差是 A 1.3 B1.2 C1.1 D1.0 20 解：引入随机变量，个元件没有出故障，第只元件出故障第5,2,10,1iiiXi)1011(101)(kkXDi，.521XXXX且.,521XXX相互独立 1.1)1011(101)()(5151iiikkXDXD，故，选择 B 9.设随机变量 X 的概率密度为)1(1)(2xxf，),(x，求)1,min(XE。解：dxxfXXE)()1,(min)1,(min 1212112)1(1)1(1)1(dxxdxxdxxx 1arctan11arctan1)1(2102xxdxxx 4

25、121214101)1ln(12x212ln1 10.设（X，Y）的联合密度函数为 .,0,10,102),(其他yxyxyx（1）判别 X，Y 是否相互独立，是否相关；（2）求 E（XY），D（X+Y）解：（1）X 的边缘分布为 其他,010,23)2(),()(10 xxdyyxdyyxxX 由对称性得Y 的边缘分布为其他,010,23)2()(10yydxyxyY 显然）yxyxYX()(),(，所以 X，Y 不独立 125)23()()(10dxxxdxxxXEX，125)()(ydyyyYEY 61)2(),()(1010dyyxxydxdydxyxxyXYE 21 0)()(125

26、61)()()()()(2YDXDYDXDYEXEXYEXY，故 X，Y 相关（2）61)(XYE，1441112523)()()(210222dxxxXEXEXD 同理14411)(YD，365)()()(2)()(),cov(2)()()(YEXEXYEYDXDYXYDXDYXD 11.设某种商品每周的需求量X 服从区间10，30上的均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间 10，30中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理 1 单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每1 单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于92

27、80元，试确定最少进货量。解：设进货量为)3010(aa，每周销量为x，则利润为 aXaXXaaXaXXaXXaaXaXWa10,100600300,20030010,100)(50030,300)(500)(，X 的概率密度为其他,03010,201)(xxf 52503505.730)2002300(20110)1002600(201)200300(201)100600(201)(201)(22230103010aaaaxxaaxxdxaxdxaxdxxWXWEaaaa ，依题意有 928052503505.72aa 即040303505.72aa 解得263220 a 22 故为使商店所

28、获利润期望值不少于 9280元，最少进货量为 21 单位.12.经预测，国际市场每年对我国某种出口产品的需求量（以吨计）在 上服从均匀分布，每出口一吨可获利 3 万元，若积压一吨，则亏损 2万元，现由某公司独家经营此出口业务，问该公司应储备多少吨该种产品，才能使所获利润的数学期望最大？解 设该公司储备 吨该种产品，显然有 则该公司所获利润为 的概率密度为 于是 令，得.13.设 X e（1），kxkxYk,1,0（k=1,2）,求：（1）),(21YY的分布；（2）21YY 与边缘分布，并讨论他们的独立性；（3）).(21YYE 解：（1）0,00,1)(yyexFyX 23 1211)1(12,100eFXPXXPYYPX，02,11021PXXPYYP，2121)1()2(212,101eeFFXPXXPYYPXX，221)2(122,111eFXPXXPYYPX，故),(21YY的分布为 1Y 0 1 P 21e 1e 2Y 0 1 P 11e 2e 显然0021YYP，0021YPYP，故21YY 与不独立（3）)(21YYE2121)()(eeYEYE Y2 Y1 0 1 0 1e-1 0 1 e-1e-2 e-2