焦点三角形的性质(经典!必看)7295.pdf

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1、椭圆中焦点三角形的性质及应用 定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等.一焦点三角形的形状判定及周长、面积计算 例 1 椭圆上一点P到焦点21,FF的距离之差为 2，试判断21FPF的形状.解：由1121622yx椭圆定义：3|,5|.2|,8|212121PFPFPFPFPFPF.又4|21FF，故满足：,|2122122PFFFPF故21FPF为直角三角形.说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功.性质一：已知椭圆方程为),0(12222babyax两焦点分别为,21FF设焦

2、点三角形21FPF中,21 PFF则2tan221bSPFF。cos2)2(2122212212PFPFPFPFFFc)cos1(2)(21221PFPFPFPF cos12)cos1(244)cos1(24)(222222121bcacPFPFPFPF 2tancos1sin21222121bbPFPFSPFF 性质二：已知椭圆方程为),0(12222babyax左右两焦点分别为,21FF设焦点三角形21FPF，若21PFF最大，则点 P 为椭圆短轴的端点。证明：设),(ooyxP,由焦半径公式可知：oexaPF1，oexaPF1 在21PFF中，2122121212cosPFPFFFPFP

3、F21221221242)(PFPFcPFPFPFPF 1)(24124422122ooexaexabPFPFca=122222oxeab axa0 22axo 性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab22 性质四：已知椭圆方程为),0(12222babyax两焦点分别为,21FF设焦点三角形21FPF中,21PFF则.21cos2e 证明：设,2211rPFrPF则在21PFF中，由余弦定理得：1222242)(2cos212221221221212212221rrcarrcrrrrrrFFrr .2112221)2(222222222122eacarrca 命题得

4、证。（2000 年高考题）已知椭圆)0(12222babyax的两焦点分别为,21FF若椭圆上存在一点,P使得,120021PFF求椭圆的离心率e的取值范围。简解：由椭圆焦点三角形性质可知.21120cos20e即22121e ,于是得到e的取值范围是.1,23 性质五：已知椭圆方程为),0(12222babyax两焦点分别为,21FF设焦点三角形21FPF，,1221FPFFPF则椭圆的离心率sinsin)sin(e。,1221FPFFPF 由正弦定理得：sinsin)180sin(1221PFPFFFo 由等比定理得：sinsin)sin(2121PFPFFF 而)sin(2)sin(21

5、cFF，sinsin2sinsin21aPFPF sinsin)sin(ace。已知椭圆的焦点是 F1(1，0)、F2(1，0)，P 为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项(1)求椭圆的方程；(2)若点 P 在第三象限，且PF1F2120，求 tanF1PF2 解：(1)由题设 2F1F2PF1PF2 2a，又 2c2，b3 椭圆的方程为3422yx1(2)设F1PF2，则PF2F160 椭圆的离心率21e 则)60sin(23sin)60sin(120sin)180sin(21oooo，整理得：5sin3(1cos)53cos1sin故532tan，tanF1PF2tan11352531532