河南省天一大联考“顶尖计划”2020届高三毕业班第一联考理科数学试题43756.pdf

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1、天一大联考“顶尖计划”2020 届高中毕业班第一次考试 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2|30Mx xx，|17Nxx，则MN（）A.|13xx B.|13xx C.|07xx D.|07xx 2.设复数21 3izi，则|z（）A.13 B.23 C.12 D.22 3.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位，万位用纵式表示，十位、千位、十万位用横式

2、表示，则 56846 可用算筹表示为（）A.B.C.D.4.为了贯彻落实党中央精准扶贫的决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制成下图，其中各项统计不重复.若该市老年低收入家庭共有 900 户，则下列说法错误的是（）A.该市共有 15000 户低收入家庭 B.在该市从业人员中，低收入家庭有 1800 户 C.在该市失无业人员中，低收入家庭有 4350 户 D.在该市大于 18 岁在读学生中，低收入家庭有 800 户 5.运行如图所示的程序框图，若输出的i的值为 99，则判断框中可以填（）A.1S B.2S C.lg99S D.lg98S 6.已知幂函数()f xx的图象过点(3,5)，且

3、1aae，3b，1log4ac，则a，b，c的大小关系为（）A.cab B.acb C.abc D.cba 7.已知非零向量a，b满足ab，若a，b夹角的余弦值为1930，且(2)(3)abab，则实数的值为（）A.49 B.23 C.32或49 D.32 8.记单调递增的等比数列|na的前n项和为nS，若2410aa，23464a a a，则（）A.112nnnSS B.2nna C.21nnS D.121nnS 9.函数2|sin|2()61xxf xx的图象大致为（）A.B.C.D.10.设抛物线C：22ypx（0p）的焦点为F，抛物线C与圆C：22(3)3xy交于M，N两点.若|6MN

4、，则MNF的面积为（）A.28 B.38 C.3 28 D.3 24 11.关于函数()|cos|cos|2|f xxx有下列三个结论：是()f x的一个周期；()f x在35,44上单调递增；()f x的值域为2,2.则上述结论中，正确的个数为（）12.已知四棱锥SABCD的底面为矩形，SA 底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E.若33SAAB，则SED的面积的最小值为（）C.92 D.72 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.若变量x，y满足约束条件21,24,20,yxxyy则2zxy的最大值为_.14.函数2()xf xx e的极大值为_

5、.15.已知双曲线C：22221xyab（0a，0b），直线l：4xa与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点.若OAB（点O为坐标原点）的面积为 32，且双曲线C的焦距为2 5，则双曲线C的离心率为_.16.记数列 na的前n项和为nS，已知211nnnSan a，且25a.若2nnSm，则实数m的取值范围为_.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17.ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知22()abcab.（）求角C；（）若

6、4 cossin02cAbC，1a，求ABC的面积.18.如图所示，三棱柱111ABCABC中，1AA 平面ABC，点D，E分别在线段1AA，1CC上，且113ADAA，/DE AC，F是线段AB的中点.（）求证：/EF平面111BC D；（）若ABAC，ABAC，13AAAB，求直线BC与平面1B DE所成角的正弦值.19.已知椭圆C：2214xy，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点.（）若线段MN的中点坐标为11,2，求直线l的方程；（）若直线l过点(4,0)，点0,0P x满足0PMPNkk（PMk，PNk分别为直线PM，PN的斜率），求0 x的值.20.已知函数21()ln2

7、f xmxx.（）若1m，求曲线()yf x在(1,(1)f处的切线方程；（）当1m 时，要使()lnf xxx恒成立，求实数m的取值范围.21.某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度.在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果.设小孩对四种食物排出的序号依次为ABCDx x x x，家长猜测的序号依次为ABCDy y y y，其中ABCDx x x x，ABCDy y y y都是 1，2，3，4 四个数字的一种排列.定义2222AABBCCDDXxyxyxyxy，

8、用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度.（）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.（i）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）.（）若有一组小孩和家长进行了三轮游戏，三轮的结果都满足4X，请判断这位家长对小孩的饮食习惯是否了解，说明理由.（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为12,6126xmmymm（m为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标

9、方程为cos13.（）求曲线C的普通方程以及直线l的直角坐标方程；（）已知点(2,0)M，若直线l与曲线C交于P，Q两点，求11|MPMQ的值.23.选修 4-5：不等式选讲 已知x，y，z是正数.（）若1xy，证明：|4xzzyxyz；（）若13xyzxyz，求222xyyzxz的最小值.天一大联考“顶尖计划”2020 届高中毕业班第一次考试 理科数学.答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.1.【答案】A【命题意图】本题考查集合的运算、一元二次不等式的解法，考查运算求解能力以及化归与转化思想【解析】2|30|(3)0|03Mx xxx x xxx，故|13MNx

10、x.2.【答案】D【命题意图】本题考查复数的概念、复数的运算，考查运算求解能力以及化归与转化思想.【解析】2(2)(1 3)263171 3(1 3)(1 3)101010iiiiiziiii ，故1492|1001002z.3.【答案】B【命题意图】本题考查数学文化、推理与证明，考查推理论证能力以及化归转化思想.【解析】根据算筹横式与纵式的区别，56846 可以表示为.4.【答案】D【命题意图】本题考查统计图表，考查创新意识以及必然与或然思想.【解析】依题意，得该市低收入家庭的总数为900150000.06，则在该市从业人员中，低收入家庭有150000.121800户，在该市失无业人员中，低

11、收入家庭有150000.294350户，在该市大于 18 岁在读学生中，低收入家庭的总数为150000.04600.5.【答案】C【命题意图】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想.【解析】运行该程序，第一次，1i，lg2S；第二次，2i，3lg2lglg32S；第三次，3i，4lg3lglg43S，；第九十八次，98i，99lg98lglg9998S；第九十九次，99i，100lg99lglg100299S，此时要输出i的值为 99.6.【答案】A【命题意图】本题考查指对数的大小关系，考查推理论证能力.【解析】依题意，得35，故3log 5(1,2)，故3log 5101e

12、a，33log 51b，3log 51log04c，故cab.7.【答案】D【命题意图】本题考查向量数量积的应用，考查运算求解能力.【解析】依题意，得(2)(3)0abab，即223520aa bb.将|ab代入可得，21819120，解得32（49 舍去）.8.【答案】C【命题意图】本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式以及等比数列的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想.【解析】33234336444a a aaa.设等比数列 na的公比为q，由2410aa，得4410qq，即22520qq，因为数列 na单调递增，所以2q.所以112810aa，解得11a.所以12nna，11 221

13、1 2nnnS.9.【答案】A【命题意图】本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力以及数形结合思想.【解析】依题意，xR，且函数()f x为偶函数，故函数的图象关于y轴对称，排除 C；202()601f，排除 B；222222666422 32 412f，排除 D，故选 A.10.【答案】B【命题意图】本题考查抛物线的方程、圆的方程，考查推理论证能力以及数形结合思想.【解析】作出图形如下图所示，由题意知|2 3AM.因为点N为圆C圆周上一点，所以90ANM，则在Rt ANM中，由|2 3AM，|6MN，得22|6ANAMMN，45AMN，所以(3,3)N.代入22ypx中，解得32p.故MN

14、F的面积为1333248.11.【答案】B【命題意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查推理论证能力以及数形结合思想.【解析】因为()|cos()|cos|2()|f xxx|cos|cos|22|()xxf x，所以函数()f x的一个周期为，故正确；因为3332coscos4422f，5552coscos4422f，所以函数()f x在35,44上并非单调递增，故错误；当0,2x时，2()coscos22coscos1f xxxxx，此时,(1)2f x ，当,2x时，2()coscos22coscos1f xxxxx，此时()1,2f x ，所以函数()f x的值域为1,2，故错误.12

15、.【答案】C【命题意图】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合 思想.【解析】设BEx，ECy，则BCADxy.因为SA 平面ABCD，ED 平面ABCD，所以SAED.又AEED，SAAEA，所以ED 平面SAE，则EDSE.易知23AEx，23EDy.在Rt AED中，222AEEDAD，即22233()xyxy，化简得3xy.在Rt SED中，212SEx，22933EDyx.所以221110834522SEDSSE EDxx.因为222210810832 336xxxx，当且仅当6x，62y 时等号成立，所以19364522SEDS.二、填空题

16、：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.【答案】7【命题意图】本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划，主要考查推理论证能力以及数形结合思想.【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如下图阴影部分所示.观察可知，当直线2zxy过点(3,2)C时，z有最大值，max7z.14.【答案】12e【命题意图】本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想.【解析】依题意，得222()e2 ee(12)xxxfxxx.所以当1,2x 时，()0fx；当1,2x时，()0fx.所以当12x 时，函数()f x有极大值12e.15.【答案】5或52【命题意图】本题考查双曲线的

17、方程与性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想.【解析】联立4,xabyxa解得4yb.所以OAB的面积14816322Sabab，所以2ab.而由双曲线C的焦距为2 5知，5c，所以225ab.联立解得1,2ab或2,1,ab故双曲线C的离心率为5或52.16.【答案】(2,)【命题意图】本题考查数列的前n项和与通项的关系、数列的递推公式，等差数列的前n项和公式，数列的性质，考查推理论证能力以及化归转化思想.【解析】当2n 时，2222121Saa，解得28S.所以13a.因为211nnnSan a，则11121(1)1nnnSana，两式相减，可得112(2)(1)1nnnanana，即1

18、(1)10nnnana，则21(1)(2)10nnnana.两式相减，可得2120nnnaaa.所以数列 na是首项为 3，公差为 2 的等差数列，所以21nan，则2222nnnSnn.令2nnnSb，则21132nnnnbb.当2n 时，10nnbb，数列 nb单调递减，而132b，22b，3158b，故2m，即实数m的取值范围为(2,).三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想.【解析】（）由22()abcab，得222abcab.所以由余弦定理，得2221cos2

19、2abcCab.又因为(0,)C，所以3C.（）由4 cossin02cAbC，得4 sinsin0cAbC.由正弦定理，得4cabc.因为0c，所以4ba.又因1a，所以4b.所以ABC的面积113sin1 43222SabC .18.【命题意图】本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角，考查空间想象能力以及数形结合思想.【解析】（）取1B D的中点G，连接1C G，FG.因为F，G分别是线段AB和1B D的中点，所以FG是梯形1ADB B的中位线，所以/FG AD.又1/AD CC，所以1/FG CC.因为1/AD CC，/DE AC，所以四边形ADEC为平行四边形，所以ADCE.所以1

20、123C ECC，111223ADBBFGCCC E.所以四边形1FGC E为平行四边形，所以1/EF C G.又EF 平面11BC D，1C G 平面11BC D，所以/EF平面11BC D.（）因为ABAC，且1AA 平面ABC，故可以A为原点，AB的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设1ABAC，则13AA，所以(0,0,1)C，(1,0,0)B，1(1,3,0)B，(0,1,0)D，(0,1,1)E.所以(1,0,1)BC ，1(1,2,0)B D ，(0,0,1)DE.设平面1B DE的法向量为(,)nx y z，则10,0.n B Dn DE所以20,0.xyz 可

21、取(2,1,0)n.设直线BC与平面1B DE所成的角为，则|2(1)|10sin552.19.【命题意图】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题，考查运算求解能力以及数形结合思想.【解析】（1）设11,M x y，22,N xy，则221122221,41.4xyxy 两式相减，可得1212121204xxxxyyyy.（*）因为线段MN的中点坐标为11,2，所以122xx，121yy.代入（*）式，得1212204xxyy.所以直线l的斜率121212yykxx.所以直线l的方程为11(1)22yx，即220 xy.（）设直线l：4xmy（0m），联立224,1.4xmyxy 整理得2

22、248120mymy.所以22644 1240mm ，解得212m.所以12284myym，122124y ym.所以121020PMPNyykkxxxx1202101020yxxyxxxxxx 21121201020 x yx yyyxxxxx2112120102044myymyyyyxxxxx 120121020240my yxyyxxxx，所以12012240my yxyy.所以01201202228112824240444m xmmy yxyymxmmm.因为0m，所以01x.20.【命题意图】本题考查导数与函数的单调性、利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想.【解

23、析】（）当1m 时，21()ln2f xxx，则1()2ln2fxxxx.所以(1)2f.又1(1)2f，故所求切线方程为12(1)2yx，即322yx.（）依题意，得21lnln2mxxxx，即21lnln02mxxxx恒成立.令21()lnln2g xmxxxx，则()(21)(ln1)g xmxx.当0m 时，因为1(1)02gm，不合题意.当01m时，令()0g x，得112xm，21ex，显然112em.令()0g x，得10 xe或12xm；令()0g x，得112xem.所以函数()g x的单调递增区间是10,e，1,2m，单调递减区间是11,2em.当10,ex时，20mxx，

24、ln0 x，所以21()lnln2g xmxxxx221ln02mxxxmx，只需1111ln02428gmmmm，所以12 em，所以实数m的取值范围为1,12 e.21.【命题意图】本题考查概率的计算、随机变量的分布列以及极大似然法的应用.【解析】（I）（i）若家长对小孩的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的.先考虑小孩的 排序ABCDx x x x为 1234 的情况，家长的排序有4424A 种等可能的结果.其中满足“家长的排序与 1234 对应位置的数字完全不同”的有 2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，共有 9 种结

25、果.故相应的概率为93248.若小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A，B，C，D按照小孩的排序 1234 的顺序调整即可.例如：假设小孩的排序ABCDx x x x为 1423，四种食物按 1234 排列为ACDB，再研究ADBCy y y y的情况即可，可知这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的.所以他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为38.（）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为 1234 的情况，家长的排序一共有 24 种情况，列出所有情况，分别计算每种情况下X的值.X的分布列如下表：X 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 P 124 1

26、8 124 16 112 112 112 16 124 18 124 （）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解.理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（）可知，在一轮游戏中，1(4)(0)(2)6P XP XP X.三轮游戏结果都满足“4X”的概率为311562161000，这个结果发生的可能性很小，所以可认为这位家长对小孩的饮食习惯比较了解.22.【命题意图】本题考查极坐标方程、参数方程间的转化、参数方程的几何意义，考查运算求解能力以及数形结合思想.【解析】（）将12,6126xmmymm两式相加，可得4xym，所以4xym.所以12464xyxxy，整理得2233144xy.故曲线C

27、的普通方程为2233144xy.依题意，得直线l：13cossin122，即cos3 sin2.所以直线l的直角坐标方程为320 xy.（）设直线l：32,212xtyt（t为参数），代入2233144xy中，得2312 3160tt.3(12 3)4 3 162400 .设P，Q对应的参数分别为1t，2t，则124 3tt，1 2163t t.所以121 211|3 3|4ttMPMQMPMQMPMQt t.23.【命题意图】本题考查不等式证明的方法、基本不等式，考查推理论证能力以及化归转化思想.【解析】（）依题意，|()()xzzyxzzy224xzzyz xy，当且仅当xyz时等号成立.因为01xy，所以44zxyxyz，所以|4xzzyxyz.（）因为13xyzxyz，所以1113yzxzxy.而1122yzyzyzyz，1122xzxzxzxz，1122xyxyxyxy，当且仅当1xyz时等号成立.三式相加，可得1116xyyzxzyzxzxy，所以3xyyzxz.故22228xyyzxzxyyz xz，即222xyyzxz的最小值为 8.