考研数学历年真题(2008-2017)年数学一1661.pdf

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1、文档 2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）若函数1 cos,0(),0 xxf xaxb x在0 x 处连续，则（）(A)12ab (B)12ab (C)0ab (D)2ab （2）设函数 f x可导，且 0f x fx则（）(A)11ff (B)11ff (C)11ff (D)11ff（3）函数22,f x y zx yz在点1,2,0处沿向量1,2,2n的方向导数为（）(A)12 (B)6 (C)4 (D)2（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单

2、位:m）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线 1vv t（单位:m/s）虚线表示乙的速度曲线 2vvt，三块阴影部分面积的数值依次为 10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t（单位:s）,则（）(A)010t (B)01520t (C)025t (D)025t 051015202530()t s(/)v m s1020（5）设为 n 维单位列向量，E 为 n 阶单位矩阵，则（）(A)TE不可逆 (B)TE不可逆 (C)2TE不可逆 (D)2TE不可逆（6）已知矩阵200021001A 210020001B100020002C，则（）(A)A 与 C 相似，B 与 C 相似 (B)A 与

3、C 相似，B 与 C 不相似 文档 (C)A 与 C 不相似，B 与 C 相似 (D)A 与 C 不相似，B 与 C 不相似 （7）设,A B为随机事件，若0()1,0()1P AP B,则 P A BP A B的充分必要条件是（）A.P B AP B A B P B AP B A C.PPB AB A D.PPB AB A（8）设12,.(2)nXXXn 来自总体(,1)N的简单随机样本，记11niiXXn 则下列结论中不正确的是：（）(A)2()iX服从2分布(B)212()nXX服从2分布 (C)21()niiXX服从2分布(D)2()n X 服从2分布 二、填空题：914 小题，每小题

4、 4 分，共 24 分。（9）已知函数21()1f xx,则(3)(0)f_（10）微分方程230yyy的通解为y _（11）若曲线积分Lyxdydyxdx122在区域22D,1x y xy内与路径无关，则a （12）幂级数 1111nnnnx在区间（-1,1）内的和函数()S x （13）设矩阵101112011A，123,为线性无关的 3 维列向量组，则向量组123,AAA的秩为（14）设随机变量 X 的分布函数为 40.50.52xF xx，其中 x为标准正态分布函数，则 EX=三、解答题：1523 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分 10 分

5、）设函数,f u v具有 2 阶连续偏导数，,xyf e cosx,求0dy dxx，220d dxyx （16）（本题满分 10 分）文档 求21limln 1nnkkkknn （17）（本题满分 10 分）已知函数 y x由方程333320 xyxy确定，求 y x得极值 （18）（本题满分 10 分）设函数()f x在 0,1上具有 2 阶导数，0()(1)0,lim0 xf xfx 证（1）方程()0f x 在区间(0,1)至少存在一个根；（2）方程0)()()(2 xfxfxf 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.（19）（本题满分 10 分）设薄片型物体S是圆锥面 22Zxy

6、 被 柱 面22Zx 割 下 的 有 限 部 分，其 上 任 一 点 弧 度 为222(,)9u x y zxyz。记圆锥与柱面的交线为C （1）求C在 xOy 平面上的投影曲线的方程（2）求 S 的质量M （20）（本题满分 11 分）设三阶行列式123(,)A 有 3 个不同的特征值，且3122 （1）证明()2r A （2）如果123求方程组Ax的通解 文档（21）（本题满分 11 分）设二次型132221232121 323(,)2282f x x xxxaxx xx xx x，在正交变换xQy下的标准型为221122yy 求 a的值及一个正交矩阵Q.（22）（本题满分 11 分）设随

7、机变量 X，Y 互独立，且 的概率分布为1P0P22XX，Y 概率密度为 2,010,yyfy其他(1)求P YEY (2)求ZX Y的概率密度 （23）（本题满分 11 分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 n 次测量，该物体的质量是已知的，设 n 次测量结果12,nx xx相 互 独 立，且 均 服 从 正 态 分 布2,N，该 工 程 师 记 录 的 是 n 次 测 量 的 绝 对 误 差,1,2,iizxin，利用12,nz zz估计(I)求1z的概率密度 (II)利用一阶矩求的矩估计量 (III)求的最大似然估计量 2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一

8、)试卷 文档 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）若反常积分011badxxx收敛，则（）11111111A abB abC aabD aab且且且且（2）已知函数 21,1ln,1xxf xx x，则 f x的一个原函数是（）22221,11,1ln1,1ln11,11,11,1ln11,1ln11,1xxxxA F xB F xxxxxxxxxxxC F xD F xxxxxxx（3）若22222211,11yxxyxx是微分方程 yp x yq x的两个解，则 q x（）2

9、222313111xxAxxBxxCDxx（4）已知函数,0111,1,2,1x xf xxnn nn，则（）（A）0 x 是 f x的第一类间断点 （B）0 x 是 f x的第二类间断点 （C）f x在0 x 处连续但不可导 （D）f x在0 x 处可导（5）设 A，B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是（）（A）TA与TB相似 （B）1A与1B相似 （C）TAA与TBB相似 （D）1AA与1BB相似（6）设二次型222123123121 323,444f x x xxxxx xx xx x，则123,2f x x x在空间直角坐标下表示的二次曲面为（）（A）单叶双曲面（B

10、）双叶双曲（C）椭球面 （D）柱面（7）设随机变量0,2NX，记2XPp，则（）（A）p随着的增加而增加 （B）p随着的增加而增加 （C）p随着的增加而减少 （D）p随着的增加而减少（8）随机试验E有三种两两不相容的结果321,AAA，且三种结果发生的概率均为31，将试验E独立重复做 2 次，X表示 2 次试验中结果1A发生的次数，Y表示 2 次试验中结果2A发生的次数，则X与Y的相关系数为（）文档（A）21（B）31（C）21 （D）31 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）_cos1sin1lnlim200 xdttttxx（10）向

11、量场 zkxyjizyxzyxA,的旋度_rotA（11）设函数vuf,可微，yxzz,由方程yzxfxyzx,122确定，则_1,0dz（12）设函数 21arctanaxxxxf，且1)0(f，则_a（13）行列式1000100014321_.（14）设12,.,nx xx为来自总体2,N 的简单随机样本，样本均值9.5x，参数的置信度为 0.95 的双侧置信区间的置信上限为 10.8，则的置信度为 0.95 的双侧置信区间为_.三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）已知平面区域,22

12、1 cos,22Drr，计算二重积分Dxdxdy.（16）（本题满分 10 分）设函数()y x满足方程02 kyyy其中01k.证明：反常积分0()y x dx收敛；若1)0(,1)0(yy，求0()y x dx的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y满足2(,)(21),x yf x yxex且(0,)1,tfyyL是从点(0,0)到点(1,)t的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tLf x yf x yI tdxdyxy，并求()I t的最小值 文档 （18）设有界区域由平面222zyx与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分zdxdyydzdxdydzxI3

13、212 （19）（本题满分 10 分）已知函数()f x可导，且(0)1f，10()2fx，设数列 nx满足1()(1,2.)nnxf xn，证明：（I）级数11()nnnxx绝对收敛；（II）limnnx存在，且0lim2nnx.（20）（本题满分 11 分）设矩阵1112221,11112AaBaaa 当a为何值时，方程AXB无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分 11 分）已知矩阵011230000A（I）求99A（II）设 3 阶矩阵23(,)B 满足2BBA，记100123(,)B 将123,分别表示为123,的线性组合。（22）（本题满分 11 分）设二维随机变量(,)X

14、Y在区域2,01,Dx yxxyx上服从均匀分布，令 文档 1,0,XYUXY（I）写出(,)X Y的概率密度；（II）问U与X是否相互独立？并说明理由；（III）求ZUX的分布函数()F z.（23）设总体X的概率密度为其他,00,3,32xxxf，其中，0为未知参数，321,XXX为来自总体X的简单随机样本，令321,maxXXXT。（1）求T的概率密度 （2）确定a，使得aT为的无偏估计 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题（1）设函数()f x在（-,+）连续，其 2 阶导函数()fx的图形如下图所示，则曲线()yf x的拐点个数为（）文档 （A）0 （B）

15、1 (C)2 (D)3 21123xxxyexeyaybyce（2）设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则：（）(A)3,1,1.(B)3,2,1.(C)3,2,1.(D)3,2,1.abcabcabcabc 11(3)331(A)(B)(C).(D)nnnnnaxxnax若级数条件收敛，则与依次为幂级数的：收敛点，收敛点.收敛点，发散点.发散点，收敛点发散点，发散点.（）（4）设 D 是第一象限中曲线21,41xyxy与直线,3yx yx围成的平面区域，函数(,)f x y在 D 上连续，则(,)Df x y dxdy（）（A）13sin2142sin2(cos,sin)df rrr

16、dr（B）1sin23142sin2(cos,sin)df rrrdr(C)13sin2142sin2(cos,sin)df rrdr(D)1sin23142sin2(cos,sin)df rrdr（5）设矩阵21111214Aaa，21bdd，若集合1,2，则线性方程组Axb有无穷多个解的充分必要条件为（）（A）,ad（B）,ad （C）,ad（D）,ad 文档（6）设二次型123(,)f x xx在正交变换xPy下的标准形为2221232yyy，其中123(,)Pe e e，若132(,)Qee e，则123(,)f x xx在正交变换xQy下的标准形为（）（A）2221232yyy（B）

17、2221232yyy （C）2221232yyy（D）2221232yyy（7）若,A B为任意两个随机事件，则（）（A）()()()P ABP A P B（B）()()()P ABP A P B （C）()()()2P AP BP AB（D）()()()2P AP BP AB(8)X,Y2,1,3,2EXEYDXE X XY设随机变量不相关，且则（）(A)3(B)3(C)5(D)5 二、填空题（9）20lncoslim_.xxx（10）dxxxx22|cos1sin_.（11）若函数由方程+cos2xexyz xx确定，则(0,1)dz.（12）设是由平面1xyz与三个坐标平面所围成的空间区

18、域，则(23)xyz dxdydz（13）n阶行列式2002-1202002200-12（14）设二维随机变量服从正态分布，则 三、解答题（15）设函数，3()g xkx，若()f x与()g x在0 x是等价无穷小，求a，b，k值。文档（16）设函数()f x在定义域I上的导数大于零，若对任意的0 xI，曲线()yf x在点00(,()xf x处的切线与直线0 xx及x轴所围成的区域的面积为 4，且(0)2,f求()f x的表达式。（17）已知函数xyyxyxf),(，曲线3:22xyyxC，求),(yxf在曲线C上的最大方向导数.（18）（本题满分 10 分）（）设函数(),()u x v

19、 x可导，利用导数定义证明 （）设函数12(),().()nu x uxux可导，12()()().(),nf xu x uxux写出()f x的求导公式.（19）（本题满分 10 分）已 知 曲 线L的 方 程 为222,zxyzx起 点 为(0,2,0)A，终 点 为(0,2,0)B，计 算 曲 线 积 分2222()()()LIyz dxzxy dyxydz （20）（本题满分 11 分）设向量组123,是 3 维向量空间3的一个基，11322k，222，313(1)k。（）证明向量组123,是3的一个基；（）当 k 为何值时，存在非零向量在基123,与基123,下的坐标相同，并求出所有

20、的。（21）（本题满分 11 分）文档 设矩阵02-3-1331-2Aa相似于矩阵1-2000031Bb.（）求,a b的值.（）求可逆矩阵P，使得1P AP为对角阵.（22）（本题满分 11 分）设随机变量X的概率密度为-2 ln20()=00 xxf xx 对X进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记Y为观测次数.（）求Y的概率分布；（）求EY.（23）（本题满分 11 分）设总体X的概率密度为 11(;)=10 xf x 其他 其中为未知参数，12.nXXX，为来自该总体的简单随机样本.（）求的矩估计.（）求的最大似然估计.2014 年全国硕士研究生入学统一考试

21、数学(一)试卷 一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分 下列曲线有渐近线的是（）（A）xxysin （B）xxysin2 （C）xxy1sin （D）xxy12sin 2设函数)(xf具有二阶导数，xfxfxg)()()(110，则在,10上（）文档 （A）当0)(xf时，)()(xgxf （B）当0)(xf时，)()(xgxf （C）当0)(xf时，)()(xgxf （D）当0)(xf时，)()(xgxf 3设)(xf是连续函数，则yydyyxfdy11102),(（）（A）210011010 xxdyyxfdxdyyxfdx),(),(（B）0101110102xxdyyxfd

22、xdyyxfdx),(),(（C）sincossincos)sin,cos()sin,cos(1021020drrrfddrrrfd （D）sincossincos)sin,cos()sin,cos(1021020rdrrrfdrdrrrfd 4若函数dxxbxaxdxxbxaxRba2211)sincos(min)sincos(,，则xbxasincos11（）（A）xsin2 （B）xcos2 （C）xsin2 （D）xcos2 5行列式dcdcbaba00000000等于（）（A）2)(bcad （B）2)(bcad （C）2222cbda（D）2222cbda 6设321,是三维向量，

23、则对任意的常数lk,，向量31k，32l线性无关是向量321,线性无关的 （A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件 （C）充分必要条件 （D）非充分非必要条件 7设事件 A 与 B 想到独立，3050.)(,.)(BAPBP则)(ABP（）（A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4 8设连续型随机变量21XX,相互独立，且方差均存在，21XX,的概率密度分别为)(),(xfxf21，随机变量1Y的概率密度为)()()(yfyfyfY21211，随机变量)(21221XXY，则（）（A）2121DYDYEYEY,（B）2121DYDYEYEY,（C）2121DYDYEYEY,（

24、D）2121DYDYEYEY,二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）9曲面)sin()sin(xyyxz1122在点),(101处的切平面方程为 10设)(xf为周期为 4 的可导奇函数，且 2012,),()(xxxf，则)(7f 11微分方程0)ln(lnyxyxy满足31ey)(的解为 12设L是柱面122 yx和平面0 zy的交线，从z轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分Lydzzdx 13设二次型3231222132142xxxaxxxxxxf),(的负惯性指数是 1，则a的取值范围是 文档 14 设总体 X 的概率密度为其它,),

25、(02322xxxf，其中是未知参数，nXXX,21是来自总体的简单样本，若niiXC12是2的无偏估计，则常数C=三、解答题 15（本题满分 10 分）求极限)ln()(limxxdttetxtx1112112 16（本题满分10分）设函数)(xfy 由方程06223yxxyy确定，求)(xf的极值 17（本题满分 10 分）设函数)(uf具有二阶连续导数，)cos(yefzx满足xxeyezyzxz222224)cos(若0000)(,)(ff，求)(uf的表达式 18（本题满分 10 分）设为曲面)1(22zyxz的上侧，计算曲面积分：dxdyzdzdxydydzx)()()(11133

26、 19（本题满分10 分）设数列 nnba,满足2020nnba,，nnnbaacoscos且级数1nnb收敛（1）证明0nnalim；文档 （2）证明级数1nnnba收敛 20（本题满分 11 分）设302111104321A，E 为三阶单位矩阵（1）求方程组0AX的一个基础解系；（2）求满足EAB 的所有矩阵B 21（本题满分 11 分）证明n阶矩阵111111111与n00200100相似 22（本题满分 11 分）设随机变量 X 的分布为2121)()(XPXP，在给定iX 的条件下，随机变量Y服从均匀分布210,),(iiU （1）求Y的分布函数；（2）求期望).(YE 文档 23（

27、本题满分 11 分）设总体 X 的分布函数为00012xxexFx,),(，其中为未知的大于零的参数，nXXX,21是来自总体的简单随机样本，（1）求)(),(2XEXE；（2）求的极大似然估计量 （3）是否存在常数a，使得对任意的0，都有0aPnnlim？2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题（18 题，每题 4 分）1.已知极限0arctanlimkxxxcx，其中 k，c 为常数，且0c，则（）A.12,2kc B.12,2kc .13,3kc D.13,3kc 2.曲面2cos()0 xxyyzx在点(0,1,1)处的切平面方程为（）A.2xyz B.0 xy

28、z C.23xyz D.0 xyz 文档 3.设1()2f xx，102()sin(1,2,)nbf xn xdx n，令1()sinnnS xbn x，则9()4S（）A.34 B.14 C.14 D.34 4.设221:1Lxy，222:2Lxy，223:22Lxy，224:22Lxy为四条逆时针方向的平面曲线，记)4,3,2,1(32633idyxxdxyyIii，则1234max,I III A.1I B.2I C.3I D 4I 5.设 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若 AB=C，且 B 可逆，则（）A.矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 B 矩阵 C 的列向量组与矩阵

29、A 的列向量组等价 C 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 D 矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价 6.矩阵1111aabaa与20000000b相似的充分必要条件为（）A.0,2ab B.0,ab 为任意常数 C.2,0ab D.2,ab 为任意常数 7.设123,XXX是随机变量，且1(0,1)XN，22(0,2)XN，23(5,3)XN，22(1,2,3)iiPPXi，则（）A.123PPP B.213PPP C.322PPP D132PPP 8.设随机变量()Xt n,(1,)YFn，给定(00.5)aa，常数 c 满足P Xca，则2P Yc()A.a B.a

30、1 C.a2 D a21 二、填空题（9-14 小题，每小题 4 分）9.设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y)确定，则01lim ()1nn fn 。10.已知y1=e3x xe2x，y2=ex xe2x，y3=xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解y=。11.设224sin()sincostxtd ytytttdx为参数，则 。12.21ln(1)xdxx 。13.设 A=(aij)是 3 阶非零矩阵，A为 A 的行列式，Aij为 aij的代数余子式.若 aij+Aij=0(i，j=1,2,3），则A 。文档 14.设随机变量 Y 服从参数为 1 的指

31、数分布，a 为常数且大于零，则 PYa+1|Ya=三解答题：（15）（本题满分 10 分）计算dxxxf)(10，其中f(x).)1ln(1dtttx (16)(本题 10 分)设数列an满足条件：0123,1(1)0(2).nnaaan nan，S（x）是幂级数0.nnna x的和函数（1）证明：()()0;SxS x （2）求().S x 的表达式 （17）（本题满分 10 分）求函数的极值yxexyyxf)3(),(3.(18)(本题满分 10 分)设奇函数f(x)在1,1上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：（I）存在.1)(1,0f），使得（文档（）存在1,1()1.ff（），使得（

32、）19.(本题满分 10 分)设直线 L 过 A（1,0,0），B（0,1,1）两点将 L 绕 z 轴旋转一周得到曲面，与平面0,2zz所围成的立体为。（1）求曲面的方程；（2）求的形心坐标。20.（本题满分 11 分）设101,101aABb，当 a,b 为何值时，存在矩阵 C 使得 AC-CA=B,并求所有矩阵 C。21.（本题满分 11 分）设二次型221231 122331 12233(,)2()()f x xxa xa xa xb xb xb x，记123aaa，123bbb。（1）证明二次型 f 对应的矩阵为2TT；（2）若,正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为22

33、122yy。文档 22.（本题满分 11 分）设随机变量 X 的概率密度为令随机变量2,1,12,1,2xYxxx（1）求 Y 的分布函数；（2）求概率P XY.23.(本题满分 11 分)设总体 X 的概率密度为23,0,(;)0,xexf xx其他其中为未知参数且大于零，12,nXXX，为来自总体 X 的简单随机样本。（1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量。2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221xxyx渐近线

34、的条数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3（2）设函数2()(1)(2)()xxnxf xeeen，其中n为正整数，则(0)f （A）1(1)(1)!nn （B）(1)(1)!nn （C）1(1)!nn （D）(1)!nn（3）如果函数(,)f x y在0,0处连续，那么下列命题正确的是（）（A）若极限00(,)limxyf x yxy存在，则(,)f x y在(0,0)处可微 文档 （B）若极限2200(,)limxyf x yxy存在，则(,)f x y在(0,0)处可微 （C）若(,)f x y在(0,0)处可微，则极限00(,)limxyf x yxy存在 （D）若(,)f x y在

35、(0,0)处可微，则极限2200(,)limxyf x yxy存在（4）设2kxkeIe sinxdx(k=1,2,3),则有 D （A）I1 I2 I3.(B)I2 I2 I3.(C)I1 I3 I1,(D)I1 I2 I3.（5）设1234123400110,1,1,1cccc 其中1234,c c c c为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A）123,（B）124,（C）134,（D）234,（6）设A为 3 阶矩阵，P为 3 阶可逆矩阵，且，123,P ，1223,Q 则1Q AQ（）(A).(B).(C).(D).（7）设随机变量 x 与 y 相互独立，且分别服从参数为 1 与

36、参数为 4 的指数分布，则 yxp（）1124()()()()5355ABCD （8）将长度为 1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）1)(21)(21)(1)(DCBA 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）若函数)(xf满足方程0)(2)()(xfxfxf及xexfxf2)()(，则)(xf=_。（10）2202xxx dx _。文档（11）(2,1,1)gradzxyy _。（12）设,0,0,0,1,zyxzyxzyx则dsy2_。（13）设 X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵TxxE 的秩为_。（14）

37、设,A B C是随机事件，,A C互不相容，1()2P AB,1()3P C,则_。三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）证明：21lncos1,1112xxxxxx （16）（本题满分 10 分）求函数22,2xyf x yxe的极值。（17）（本题满分 10 分）求幂级数0n244321nnnx2n 的收敛域及和函数 （18）（本题满分 10 分）已知曲线，其中函数)(tf具有连续导数，且0)0(f，。若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为 1，求函数)(tf的表达式，并求此

38、曲线 L 与 x 轴与 y 轴无边界的区域的面积。（19）（本题满分 10 分）文档 已知L是第一象限中从点0,0沿圆周222xyx到点2,0，再沿圆周224xy到点0,2的曲线段，计算曲线积分.（20）（本题满分 10 分）设（）求A（）当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解 （21）（本题满分 10 分）三阶矩阵10101110Aa，TA为矩阵A的转置，已知()2Tr A A，且二次型TTfx A Ax。1）求a 2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。（22）（本题满分 10 分）已知随机变量,X Y以及XY的分布律如下表所示，文档 求：(1)2P X

39、Y；(2)cov,XY Y与XY.（23）（本题满分 11 分）设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布2,N 与2,2N，其中是未知参数且0,设ZXY,（1）求z的概率密度2,fz；（2）设12,nz zz为来自总体Z的简单随机样本，求2的最大似然估计量2；（3）证明为的无偏估计量。2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上(1)曲线234(1)(2)(3)(4)yxxxx的拐点是()(A)(1,0)(B)(2,0)(C)(3,0)(D

40、)(4,0)(2)设数列 na单调减少，lim0nna，1(1,2,)nnkkSan 无界，则幂级数1(1)nnnax的收敛域为()文档(A)(1,1 (B)1,1)(C)0,2)(D)(0,2(3)设函数()f x具有二阶连续导数，且()0f x，(0)0f，则函数()ln()zf xf y在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是()(A)(0)1f，(0)0f (B)(0)1f，(0)0f (C)(0)1f，(0)0f (D)(0)1f，(0)0f (4)设40lnsinIxdx，40lncotJxdx，40lncosKxdx，则,I J K的大小关系是()(A)IJK (B)IKJ(C

41、)JIK (D)KJI(5)设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 列加到第 1 列得矩阵B，再交换B的第 2 行与第 3 行得单位矩阵，记1100110001P，2100001010P，则A()(A)12PP (B)112P P (C)21P P (D)121P P(6)设1234(,)A 是 4 阶矩阵，*A为A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax 的一个基础解系，则*0A x 的基础解系可为()(A)13,(B)12,(C)123,(D)234,(7)设1()F x，2()F x为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x，2()fx是连续函数，则必为概率密度的是()(A)12()

42、()f x fx (B)212()()fx F x(C)12()()f x F x (D)1221()()()()f x F xfx F x(8)设随机变量X与Y相互独立，且()E X与()E Y存在，记max,UX Y，min,VX Y则()E UV()(A)()()E UE V (B)()()E XE Y(C)()()E UE Y (D)()()E XE V 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上(9)曲线0tan(0)4xytdtx的弧长s (10)微分方程cosxyyex满足条件(0)0y的解为y (11)设函数20sin(,)1xytF

43、x ydtt，则2202xyFx 文档(12)设L是柱面方程221xy与平面zxy的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22Lyxzdxxdydz (13)若二次曲面的方程22232224xyzaxyxzyz，经过正交变换化为221144yz，则a (14)设二维随机变量,X Y服从正态分布22,;,;0N ，则2E XY=三、解答题：1523 小题，共 94 分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(15)(本题满分 10 分)求极限110ln(1)lim()xexxx (16)(本题满分 9 分)设函数(,()zf xy yg x，其中函数f

44、具有二阶连续偏导数，函数()g x可导且在1x 处取得极值(1)1g，求211xyzx y (17)(本题满分 10 分)求方程arctan0kxx不同实根的个数，其中k为参数 (18)(本题满分 10 分)()证明：对任意的正整数n，都有111ln(1)1nnn 成立 ()设111ln(1,2,)2nan nn，证明数列 na收敛 文档 (19)(本题满分 11 分)已 知 函 数(,)f x y具 有 二 阶 连 续 偏 导 数，且(1,)0fy，(,1)0f x，(,)Df x y dxdya，其 中(,)|01,01Dx yxy，计算二重积分(,)xyDIxyfx y dxdy (20

45、)(本题满分 11 分)设 向 量 组123(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)TTT，不 能 由 向 量 组1(1,1,1)T，2(1,2,3)T，3(3,4,)Ta线性表示 (I)求a的值；(II)将123,由123,线性表示 (21)(本题满分 11 分)设A为三阶实对称矩阵，A的秩为 2，即 2r A，且111100001111A(I)求A的特征值与特征向量；(II)求矩阵A (22)(本题满分 11 分)设随机变量X与Y的概率分布分别为 文档 X 0 1 P 1/3 2/3 Y 1 0 1 P 1/3 1/3 1/3 且221P XY(I)求二维随机变量(,)X Y的概率分布；

46、(II)求ZXY的概率分布；(III)求X与Y的相关系数XY （23）（本题满分 11 分）设12,nXXX为来自正态总体20(,)N的简单随机样本，其中0已知，20未知X和2S分别表示样本均值和样本方差(I)求参数2的最大似然估计量2；(II)计算2()E和2()D 2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)极限2lim()()xxxxa xb=（）(A)1(B)e(C)ea b(D)eb a (2)设函数(,)zz x y由方程(,

47、)0y zFx x确定,其中F为可微函数,且20,F 则zzxyxy=（）(A)x(B)z(C)x(D)z (3)设,m n为正整数,则反常积分210ln(1)mnxdxx的收敛性（）(A)仅与m取值有 (B)仅与n取值有关 文档 (C)与,m n取值都有关(D)与,m n取值都无关(4)2211lim()()nnxijnni nj=（）(A)12001(1)(1)xdxdyxy(B)1001(1)(1)xdxdyxy (C)11001(1)(1)dxdyxy(D)112001(1)(1)dxdyxy(5)设A为mn型矩阵,B为nm型矩阵，为阶单位矩阵，若,ABE则（）(A)秩(),mA秩()

48、mB(B)秩(),mA秩()nB (C)秩(),nA秩()mB(D)秩(),nA秩()nB(6)设A为 4 阶对称矩阵,且20,AA若A的秩为 3,则A相似于（）(A)1110(B)1110 (C)1110(D)1110 (7)设随机变量X的分布函数，则=（）(A)0(B)1(C)11e2(D)11e(8)设1()f x为标准正态分布的概率密度2,()fx为 1,3上均匀分布的概率密度,若为概率密度,则,a b应满足（）(A)234ab (B)324ab (C)1ab (D)2ab 二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.)文档(9)设求_.(1

49、0)20cosxxdy=.(11)已 知 曲 线L的 方 程 为1 1,1,yx x 起 点 是(1,0),终 点 是(1,0),则 曲 线 积 分2Lxydxx dy=.(12)设22(,)|1,x y zxyz 则的形心的竖坐标z=.(13)设123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,),TTT若 由123,形 成 的 向 量 空 间 的 维 数 是 2,则=.(14)设随机变量X概率分布为(0,1,2,),!CP Xkkk则=.三、解答题(1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分 10 分

50、)求微分方程322 exyyyx的通解.(16)(本题满分 10 分)求函数221()()extf xxtdt的单调区间与极值.(17)(本题满分 10 分)(1)比较10ln ln(1)nttdt与10ln(1,2,)ntt dt n 的大小,说明理由 （2）记10ln ln(1)(1,2,),nnuttdt n求极限lim.nxu (18)(本题满分 10 分)文档 求幂级数121(1)21nnnxn的收敛域及和函数.(19)(本题满分 10 分)设P为椭球面222:1S xyzyz上的动点,若S在点P的切平面与xOy面垂直,求P点的轨迹,C并计算曲面积分22(3)2,44xyzIdSyz