圆锥曲线定点问题探究——有趣的“母子圆锥曲线”24264.pdf

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1、 1 圆锥曲线定点问题探究 有趣的“母子圆锥曲线”一、母子抛物线及其性质的探求过程：第一步：一个经典的例题 例 1：已知抛物线2:C yx，O是坐标原点，作射线OA OB、交抛物线C于两点AB、求证：直线AB过定点 证明：如图 1,显然直线AB斜率不是0，设直线AB的方程为xym，联立2yx得：20yym，显然0m，240m，设1122(A xB x,y)、,y)，则12y y，12my y，又OAOB，0OA OB，即1 2120 x x+y y，又211yx，222yx，21212)0(y yy y，20mm，解得0m，或1m 当0m时,直线AB的方程为xy,直线AB过定点(0,0),不符

2、合题意 当1m时,直线AB的方程为1xy，显然直线AB过定点(1,0)综上,直线AB过定点(1,0)第二步：经典例题中的直角顶点换个位置 例 2：已知抛物线2:C yx，(1,1)M是C上的一个定点，作射线MA MB、交抛物线C于A B、，MAMB求证：直线AB过定点 证明：如图 2,显然直线AB斜率不是0，设直线AB的方程为xym，联立2yx得：20yym，显然0m，240m，设1122(A xB x,y)、,y)，则12y y，12my y，又MAMB，0MA MB，图1BAOxy 2 即1212(1)(1)(1)(1)0 xxyy+，即1 2121212()1()10 x xxxy yy

3、y ，又211yx，222yx，2212121212)()3()20(y yy+yy yy+y，22320mm，解 得1m，或2m 当1m 时,1xy,即(1)(1)0 xy,即直线AB过定点(1,1),不符合题意 当2m时,2xy,即(2)(1)0 xy,即直线AB过定点(2,1)综上,直线AB过定点(2,1)第三步：例 2 中(1,1)M再改为其关于x轴的对称点1(1,1)M 例 3：已知抛物线2:C yx，1(1,1)M是C上的一个定点，作射线11M AM B、交抛物线C于AB、，11M AM B求直线AB所过定点 解：根据抛物线的对称性，不难猜想直线AB所过定点与例 2 中所过定点关于

4、x轴对称,即为(2,1)求解过程略 第四步：提出一个问题，并对问题的答案作出猜想 当M点在抛物线上运动时，直线AB所过的定点Q也在运动，那么点Q的轨迹是什么呢？如何求出轨迹方程呢？我们首先猜想Q的轨迹是抛物线，我们已经得到1(1,0)Q、2(2,1)Q、3(2,1)Q，于是进一步猜想Q的轨迹是以1(1,0)Q为顶点，开口向右的抛物线，于是我们设轨迹方程为2(1)ya x，把2(2,1)Q代入可以求得1a，于是得到猜想的轨迹方程为21yx 第五步：给出第四步中猜想的详细证明 注意:证明中涉及参数非常多，因此变换过程要参照例 2 中的思路方法，变换过程中分解因式比较复杂，注意按照某个字母的降幂排列

5、 例 4：设抛物线2:C yx上一定点为2(,)M t t，作射线MA MB、交抛物线C于AB、，M(1,1)图2BAOxy 3 MAMB求直线AB所过定点Q的坐标,并求出Q的轨迹方程 解:显然直线AB斜率不是0，设直线AB的方程为xym，联立2yx得：20yym，显然0m，240m，设1122(A xB x,y)、,y)，则12y y，12my y，于是222212121212()2()2xxyyyyy ym,221212()x xy ym,又MAMB，0MA MB，即221212()()()()0 xtxtytyt+，即24212121212()()0 x xtxxty yt yyt，即2

6、2242(2)0mtmtmtt 222242(21)0mtmtttt，2223(21)()()0mtmt ttt，22()(1)0mttmtt，解得2mtt，或21mtt 当2mtt时,2xytt,即2()()0 xtyt,即直线AB过定点2(,)M t t,不符合题意 当21mtt时,21xytt,即2(1)()0 xtyt,即直线AB过定点2(1,)Q tt 设(,)Q x y,则21,xtyt 消去t得21yx 即Q的轨迹方程为21yx 第六步：母子抛物线性质及其逆命题 1、母子抛物线及其性质:如图 3,在抛物线2:C yx上取点2(,)M t t，作射线MA MB、交抛物线C于AB、，

7、MAMB 则直线AB过的定点为2(1,)Q tt2(1,)Q tt的轨迹方程为2:1Cyx 我 4 们把2:C yx与2:1Cyx称为一对母子抛物线 2、母子抛物线性质的逆命题:在子抛物线2:1Cyx上任取2(1,)Q tt,过2(1,)Q tt作母抛物线2:C yx的弦AB,那么在母抛物线2:C yx上一定存在异于AB、一点2(,)M t t,且点M满足MAMB,在实际命题中经常叙述为0MA MB,或者联系圆的性质,叙述为“以弦AB为直径的圆过定点”我们不难论证母子抛物线的性质的逆命题也是真命题，限于篇幅，在此从略 二、母子椭圆 我们用研究母子抛物线类似的方法研究母子椭圆 1、求特殊点:例

8、5、已知椭圆22:12xCy，(0,1)M是C的一个顶点，作射线MA MB、交椭圆C于AB、，MAMB求直线AB所过定点的坐标 解：显然直线AB有斜率，设直线AB的方程为ykxm，联立2212xy得：222(21)4220kxkmxm，当0 时，设1122(A xB x,y)、,y)，则2121 222422,2121kmmxxx xkk 又MAMB，0MA MB，即12120 x x+(y-1)(y-1)，121212()10 x xy yyy，又1ykxm，2ykxm，5 221212(1)(1)()210kx xk mxxmm，把2121 222422,2121kmmxxx xkk代入上

9、式得：22222224(1)(1)2102121mkmkk mmmkk，注意到1m显然不合题意，于是上式化为：2222(1)4(1)(1)02121mkmkkmkk，整理得31 0m，13m 即直线AB的方程为13ykx，显然直线AB过定点11(0,)3Q 把M的坐标改为顶点(2,0)，类似可以求得直线AB过定点22(,0)3Q 把M的坐标改为顶点(0,1)，类似可以求得直线AB过定点31(0,)3Q 把M的坐标改为顶点(2,0)，类似可以求得直线AB过定点42(,0)3Q 2、猜想:由11(0,)3Q,22(,0)3Q,31(0,)3Q42(,0)3Q 可以猜想,当M在椭圆22:12xCy上

10、运动时,相应Q的轨迹为以1Q、2Q、3Q、4Q为四个顶点的椭圆，其轨迹方程为22:12199xyC，即229:912Cxy 3、检验:一般的证明过程比较复杂,我们在此仅仅把M改为椭圆22:12xCy上的非顶点来进行检验 例 6、已知椭圆22:12xCy，2(1,)2M是椭圆C上的一个定点，作射线MA MB、交椭圆C于A B、，MAMB求直线AB所过定点坐标 解：如图 4,显然直线AB有斜率，设直线AB的方程为ykxm，联立2212xy得：222(21)4220kxkmxm，6 当0 时，设1122(A xB x,y)、,y)，则2121 222422,2121kmmxxx xkk 又MAMB，

11、0MA MB，即121222(1)(1)022xx+(y-)(y-)，又1ykxm，2ykxm，221 21223(1)(1)()2022kx xkmk xxmm，把2121 222422,2121kmmxxx xkk代入上式化简得22143202kkmmm，解关于k的方程得：22km，或232km 当22km时,2()2ymxm 即2()(1)02yxm x,由此得20,210,yxx 解得,2,21,yx即直线AB过定点2(1,)2,不符合题意 当232km 时,2(3)2ymxm 即2()(31)02yxm x,由此得20,2310,yxx 解得,2,61,3yx即直线AB过定点12(,

12、)36 综上,直线AB过定点512(,)36Q 把 512(,)36Q的坐标代入229:912Cxy,左右两边相等,可以知道512(,)36Q在229:912Cxy上 4、结论:图4 AM(1,22)BOxy 7 在椭圆22:12xCy上取定点M，作射线MAMB、交椭圆C于AB、，MAMB 则直线AB过的定点为Q当M在22:12xCy上运动时，得到相应Q的轨迹方程为229:912Cxy我们把22:12xCy与229:912Cxy称为一对母子椭圆 显然,这个性质的逆命题也是真命题 三、母子双曲线 1、双曲线的情况比较复杂，对于等轴双曲线满足类似条件的直线AB是一组平行线，不再过定点：例 7、已知

13、等轴双曲线22:1C xy，(1,0)M是等轴双曲线C的一个顶点，作射线MA MB、交椭圆C于A B、，MAMB证明直线AB平行于x轴 证明：如图 5,可以计算，当直线AB没有斜率时，90AMB，当直线AB有斜率时，设直线AB的方程为ykxm，联立221xy得：222(1)210kxkmxm，当210k，0 时，设1122(A xB x,y)、,y)，则2121 22221,11kmmxxx xkk 又MAMB，0MA MB，即1212(1)(1)0 xx+y y，又1ykxm，2ykxm，221212(1)(1)()10kx xkmxxm，把2121 22221,11kmmxxx xkk代入

14、上式化简得20kkm，解关于k的方程得：0k，或km 当0k 时,直线AB的方程为(0)ym m,直线AB平行于x轴 当km 时,直线AB的方程为ymxm，显然直线AB过定点(1,0)，不合题意 综上,AB平行于x轴 换个异于顶点的点M，可以证明相应AB也是一组平行线 2、非等轴双曲线 8 例 8：已知双曲线22:12yC x，(1,0)M是双曲线C的一个顶点，作射线MA MB、交椭圆C于AB、，MAMB试探求直线AB是否过定点 解：如图 6,当直线AB没有斜率时，90AMB，当 直 线AB有 斜 率 时，设 直 线AB的 方 程 为ykxm，联立2212yx 得：222(2)220kxkmx

15、m，当220k，0 时，设1122(A xB x,y)、,y)，则212122222,22kmmxxx xkk 又MAMB，0MA MB，即1212(1)(1)0 xx+y y，又1ykxm，2ykxm，221212(1)(1)()10kx xkmxxm，把212122222,22kmmxxx xkk代入上式化简得22230mkmk，解关于k的方程得：mk，或3mk 当mk时,直线AB的方程为ykxk,直线AB过定点(1,0),不合题意当3mk时,直线AB的方程为3ykxk，显然直线AB过定点(3,0)综上,直线AB过定点(3,0)3、有兴趣的同学自己探求母子双曲线：在双曲线22:12yC x

16、 上取定点M，作射线MAMB、交椭圆C于AB、，MAMB则直线AB过的定点为Q当M在双曲线22:12yC x 上运动时，得到相应Q的轨迹方程为22:1918xyC我们把22:12yC x 与22:1918xyC称为一对母子双曲线 四、母子圆:显然,在圆22:1C xy上取定点M，作射线MAMB、交椭圆C于AB、，图 6xy0M(1,0)BA图5xy0M(1,0)BA 9 MAMB则直线AB过的圆心O当M圆22:1C xy上运动时，得到相应Q仍然是圆心O 也就是本文中所谓的子圆已经退化为一个点圆心 当然,把MAMB改为120AMB,则很容易求得Q的轨迹方程为221:.4Cxy 我们显然可以把22

17、:1C xy与221:4Cxy称为在120AMB时的一对母子圆 但是,如果我们把研究抛物线、椭圆、双曲线问题中的MAMB改为120AMB等非直角，则其情形怎样呢，这个问题显然十分复杂，期待着有兴趣的读者去研究、去探索 规律总结:在圆锥曲线C(不包括等轴双曲线和圆)上取定点M，作射线MA MB、交椭圆C于AB、，MAMB则直线AB过定点Q当M在C上运动时，得到相应Q的轨迹C仍然是相应种类的圆锥曲线,我们把C与C叫做一对母子圆锥曲线 对于母子抛物线,子抛物线C由母抛物线C平移得到(平移长度恰好等于抛物线的通径),开口大小方向不变;对于椭圆,母子椭圆中心相同,离心率相同;对于双曲线,母子双曲线中心相同,离心率相同,当然渐进线也相同 本文所探究的问题涉及高考中经常考查的定值与定点问题,其变化的题目是高考的热点