2013年高考数学全国卷1(理科)519.pdf

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1、绝密启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷)数 学(理科)一、选择题共 12 小题。每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1、已知集合 A=x|x22x0，B=x|5x 5，则 ()A、AB=B、AB=R C、B?A D、A?B【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题.【解析】A=(-,0)(2,+),AB=R,故选 B.2、若复数 z 满足(34i)z|43i|，则 z 的虚部为 ()A、4 （B）45 （C）4 （D）45【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.

2、【解析】由题知z=|43|34ii=2243(34)(34)(34)iii=3455i，故 z 的虚部为45，故选 D.3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ()A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、系统抽样【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题.【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选 C.4、已知双曲线C：22221xy

3、ab（0,0ab）的离心率为52，则C的渐近线方程为 A.14yx B.13yx C.12yx D.yx 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.【解析】由题知，52ca，即54=22ca=222aba，22ba=14，ba=12，C的渐近线方程为12yx，故选C.5、运行如下程序框图，如果输入的 1,3t，则输出 s 属于 A.-3,4 B.-5,2 C.-4,3 D.-2,5【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.【解析】有题意知，当 1,1)t 时，3st 3,3)，当1,3t时，24stt3,4，输出 s 属于-3,4，故选A.6、如图，有一个水平放置

4、的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ()A、5003cm3 B、8663cm3 C、13723cm3 D、20483cm3【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易题.【解析】设球的半径为 R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4，球心到截面圆的距离为 R-2，则222(2)4RR，解得 R=5，球的体积为3453=50033cm，故选 A.7、设等差数列an的前 n 项和为 Sn，1mS2，mS0，1mS3，则m()A、3 B、4 C、5 D、6【命题意图】本

5、题主要考查等差数列的前 n 项和公式及通项公式，考查方程思想，是容易题.【解析】有题意知mS=1()2mm aa=0，1a=ma=（mS-1mS）=2，1ma=1mS-mS=3，公差d=1ma-ma=1，3=1ma=2m，m=5，故选 C.8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.168 B.88 C.1616 D.8 16【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题.【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为 4，上边放一个长为 4宽为 2 高为 2 长方体，故其体积为21244 2 22 =168，故选A.9、设 m 为正整数，

6、2()mxy展开式的二项式系数的最大值为a，21()mxy展开式的二项式系数的最大值为b，若 13a=7b，则m ()A、5 B、6 C、7 D、8【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题.【解析】由题知a=2mmC，b=121mmC，132mmC=7121mmC，即13(2)!mm m=7(21)!(1)!mmm，解得m=6，故选 B.10、已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点。若AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为 ()A、x245y2361 B、x236y2271 C、x227y

7、2181 D、x218y291【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题，是中档题.【解析】设1122(,),(,)A x yB xy，则12xx=2，12yy=2，2211221xyab 2222221xyab 得1212121222()()()()0 xxxxyyyyab，ABk=1212yyxx=212212()()bxxayy=22ba，又ABk=0 13 1=12，22ba=12，又 9=2c=22ab，解得2b=9，2a=18，椭圆方程为221189xy，故选 D.11、已知函数()f x=22,0ln(1),0 xx xxx，若|()f x|ax，则a的取值范围是 A.(,0 B.

8、(,1 C.-2,1 D.-2,0【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题。【解析】|()f x|=22,0ln(1),0 xx xxx，由|()f x|ax得，202xxxax且0ln(1)xxax，由202xxxax可得2ax，则a-2，排除，当a=1 时，易证ln(1)xx对0 x 恒成立，故a=1 不适合，排除 C，故选 D.12、设AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn，AnBnCn 的面积为 Sn，n=1,2,3,若 b1c1，b1c12a1，an1an，bn1cnan2，cn1bnan2，则()A、Sn为递减数列 B、Sn为递增数列 C、S2n

9、1为递增数列，S2n为递减数列 D、S2n1为递减数列，S2n为递增数列 【命题意图】【解析】B 第卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二填空题：本大题共四小题，每小题5分。13、已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，若bc=0，则t=_.【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积，是容易题.【解析】b c=(1)ttbab=2(1)tta bb=112tt=112t=0，解得t=2.14、若数列na的前 n 项和为 Sn2133na，则数列na的通项公式是na=_.【命

10、题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第 n 项与其前 n 项和的关系，是容易题.【解析】当n=1 时，1a=1S=12133a，解得1a=1，当n2 时，na=1nnSS=2133na(12133na)=12233nnaa，即na=12na，na是首项为 1，公比为2 的等比数列，na=1(2)n.15、设当x=时，函数f(x)sinx2cosx取得最大值，则cos=_【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，是难题.【解析】()f x=sin2cosxx=52 55(sincos)55xx 令cos=55，2 5sin5，则()f x=5(s

11、incossincos)xx=5sin()x，当x=2,2kkz，即x=2,2kkz时，()f x取最大值，此时=2,2kkz，cos=cos(2)2k=sin=2 55.16、若函数()f x=22(1)()xxaxb的图像关于直线x=2对称，则()f x的最大值是_.【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题.【解析】由()f x图像关于直线x=2 对称，则 0=(1)(3)ff=221(3)(3)3ab，0=(1)(5)ff=221(5)(5)5ab，解得a=8，b=15，()f x=22(1)(815)xxx，()fx=222(815)(1)(28)x xxxx=

12、324(672)xxx=4(2)(25)(25)xxx 当x(,25)(2,25)时，()fx0，当x(25,2)(25,+)时，()fx0，()f x在（，25）单调递增，在（25，2）单调递减，在（2，25）单调递增，在（25，+）单调递减，故当x=25 和x=25 时取极大值，(25)f =(25)f =16.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17、（本小题满分12分）如图，在ABC中，ABC90，AB=3，BC=1，P为ABC内一点，BPC90(1)若 PB=12，求 PA；(2)若APB150，求 tanP BA【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形

13、及两角和与差公式，是容易题.【解析】（）由已知得，PBC=o60，PBA=30o，在PBA 中，由余弦定理得2PA=o11323cos3042=74，PA=72；（）设PBA=，由已知得，PB=sin，在PBA 中，由正弦定理得，oo3sinsin150sin(30)，化简得，3cos4sin，tan=34，tanPBA=34.18、（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，BA A1=60.（）证明 ABA1C;（）若平面 ABC平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。【命题意图】本题主要考查空

14、间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推论证能力，是容易题.【解析】（）取AB中点E，连结CE，1AB，1A E，AB=1AA，1BAA=060，1BAA是正三角形，1AEAB，CA=CB，CEAB，1CEA E=E，AB面1CEA，AB1AC；6 分（）由（）知 ECAB，1EAAB，又面ABC面11ABB A，面ABC面11ABB A=AB，EC面11ABB A，EC1EA，EA，EC，1EA两两相互垂直，以 E 为坐标原点，EA的方向为x轴正方向，|EA|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，有 题 设 知 A(1,0,0),1A(0,3,0),C(

15、0,0,3),B(1,0,0),则BC=（1,0，3）,1BB=1AA=(1,0,3),1AC=(0,3,3),9 分 设n=(,)x y z是平面11CBBC的法向量，则100BCBBnn，即3030 xzxy，可取n=（3，1，-1），1cos,ACn=11|ACACn|n|105，直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为105.12 分 19、（本小题满分 12 分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n。如果 n=3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=4，再从这

16、批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X（单位：元），求 X 的分布列及数学期望。【命题意图】【解析】设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A，第一次取出的 4 件产品中全为优质品为事件 B,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 C，第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 D，这批产品通

17、过检验为事件 E，根据题意有 E=(AB)(CD),且 AB 与 CD互斥，P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=3244111()()222C+411()22=364.6 分（）X 的可能取值为 400,500,800，并且 P(X=400)=1-3344111()()222C=1116，P(X=500)=116，P(X=800)=33411()22C=14，X 的分布列为 X 400 500 800 P 10 分 EX=4001116+500116+80014=506.25 12 分(20)(本小题满分 12 分)已知圆M:22(1)1xy,圆N:2

18、2(1)9xy,动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C.（）求 C 的方程；（）l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|.【命题意图】【解析】由已知得圆M的圆心为M（-1，0）,半径1r=1，圆N的圆心为N(1,0),半径2r=3.设动圆P的圆心为P（x，y），半径为R.（）圆P与圆M外切且与圆N内切，|PM|+|PN|=12()()RrrR=12rr=4，由椭圆的定义可知，曲线C 是以M，N 为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为221(2)43xyx.（）对于曲线C 上任意一点P（x，

19、y），由于|PM|-|PN|=22R2，R 2,当且仅当圆P 的圆心为（2，0）时，R=2.当圆P 的半径最长时，其方程为22(2)4xy，当l的倾斜角为090时，则l与y轴重合，可得|AB|=2 3.当l的倾斜角不为090时，由1rR 知l不平行x轴，设l与x轴的交点为Q，则|QPQM=1Rr，可求得Q（-4，0），设l：(4)yk x，由l于圆M 相切得2|3|11kk，解得24k .当k=24时，将224yx代入221(2)43xyx 并整理得27880 xx，解得1,2x=46 27，|AB|=2121|kxx=187.当k=24时，由图形的对称性可知|AB|=187，综上，|AB|=

20、187或|AB|=2 3.（21）（本小题满分共 12 分）已知函数()f x2xaxb，()g x()xecxd，若曲线()yf x和曲线()yg x都过点 P(0，2)，且在点 P 处有相同的切线42yx（）求a，b，c，d的值（）若x2 时，()f x()kg x，求k的取值范围。【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，考查运算求解能力及应用意识,是中档题.【解析】（）由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4fgfg，而()fx=2xb，()g x=()xecxdc，a=4，b=2，c=2，d=2；4 分（）由（）知，2()42f

21、xxx，()2(1)xg xex，设函数()F x=()()kg xf x=22(1)42xkexxx（2x ），()F x=2(2)24xkexx=2(2)(1)xxke，有题设可得(0)F0，即1k，令()F x=0 得，1x=lnk，2x=2，（1）若21ke，则21x0，当1(2,)xx 时，()F x0，当1(,)xx时，()F x0，即()F x在1(2,)x单调递减，在1(,)x 单调递增，故()F x在x=1x取最小值1()F x，而1()F x=21112242xxx=11(2)x x0，当x2 时，()F x0，即()f x()kg x恒成立，(2)若2ke，则()F x=

22、222(2)()xexee，当x2 时，()F x0，()F x在(2,+)单调递增，而(2)F=0，当x2 时，()F x0，即()f x()kg x恒成立，(3)若2ke，则(2)F=222ke=222()eke0，当x2 时，()f x()kg x不可能恒成立，综上所述，k的取值范围为1,2e.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。（22）（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，AB

23、C 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于 D。（）证明：DB=DC；（）设圆的半径为 1，BC=，延长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆的半径。【命题意图】本题主要考查几何选讲的有关知识，是容易题.【解析】（）连结DE，交BC与点G.由弦切角定理得，ABF=BCE，ABE=CBE，CBE=BCE，BE=CE，又DBBE，DE是直径，DCE=090，由勾股定理可得DB=DC.（）由（）知，CDE=BDE，BD=DC，故DG是BC的中垂线，BG=32.设DE中点为O，连结BO，则BOG=o60，ABE=BCE=CBE=o30，CFBF，RtBCF的外接圆半径等于32.

24、（23）（本小题 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线 C1的参数方程为45cos55sinxtyt(t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为2sin。（）把 C1的参数方程化为极坐标方程；（）求 C1与 C2交点的极坐标（0,0 2）。【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化，是容易题.【解析】将45cos55sinxtyt消去参数t，化为普通方程22(4)(5)25xy，即1C：22810160 xyxy，将cossinxy代入22810160 xyxy得，2

25、8 cos10sin160，1C的极坐标方程为28 cos10sin160；（）2C的普通方程为2220 xyy，由222281016020 xyxyxyy解得11xy或02xy，1C与2C的交点的极坐标分别为（2,4），(2,)2.（24）（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数()f x=|21|2|xxa,()g x=3x.（）当a=2 时，求不等式()f x()g x的解集；（）设a-1,且当x2a，12)时，()f x()g x,求a的取值范围.【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式解法、不等式恒成立求参数范围，是容易题.【解析】当a=-2时，不等式()f x()g x化为|21|22|30 xxx，设函数y=|21|22|3xxx，y=15,212,1236,1xxxxxx，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x时，y0，原不等式解集是|02xx.（）当x2a，12)时，()f x=1 a，不等式()f x()g x化为13ax，2xa对x2a，12)都成立，故2a2a，即a43，a的取值范围为（-1，43.