高等数学导数与微分练习题7374.pdf

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1、 1 作业习题 1、求下列函数的导数。（1）223)1(xxy；（2）xxysin；（3）bxeyaxsin；（4）)ln(22axxy；（5）11arctanxxy；（6）xxxy)1(。2、求下列隐函数的导数。（1）0)cos(sinyxxy；（2）已知,exyey求)0(y。3、求参数方程)cos1()sin(tayttax)0(a所确定函数的一阶导数dxdy与二阶导数22dxyd。4、求下列函数的高阶导数。（1）,xy 求)(ny；（2）,2sin2xxy 求)50(y。5、求下列函数的微分。（1）)0(,xxyx；（2）21arcsinxxy。6、求双曲线12222byax，在点)3

2、,2(ba处的切线方程与法线方程。7、用定义求)0(f，其中,0,1sin)(2xxxf.0,0 xx并讨论导函数的连续性。作业习题参考答案：1、（1）解：)1()1()()1(23223223xxxxxxy )(1(2)1(3223222xxxxx xxxxx2)1(2)1(323222 )37)(1(222xxx。（2）解：2sincos)sin(xxxxxxy。（3）解：bxbebxaebxeyaxaxaxcossin)sin()cossin(bxbbxaeax。1（4）解：1)ln(222222axxaxxaxxy )(211 1222222axaxaxx 2211 12222xaxa

3、xx 1 12222axxaxx221ax。（5）解：)11()11(11)11(arctan2xxxxxxy 11)1()1()1()1(2)1(2222xxxxxx。（6）解：)()1(1lnxxxxexxy 1ln)1()1()1()1(2xxxxxxxxxxx)1ln11()1(xxxxxx。2、（1）解：两边直接关于x求导得 0)1)(sin(cossinyyxxyxy)sin(sin)sin(cosyxxyxxyy。（2）解：将0 x代入原方程解得,1y 原方程两边直接关于x求导得 0yxyyey，上方程两边关于x再次求导得 ,02)(2 yxyyeyeyy 将0 x，,1y代入上

4、边第一个方程得1)0(ey，将0 x，,1y1)0(ey代入上边第二个方程得2)0(ey。1 3、解：),cos1(tadtdxtadtdysin；2cot)cos1(sinttatadtdxdtdydxdy；2csc41)cos1(1)212csc()(4222tatatdxdtdxdydtddxyd。4、（1）解：1xy；2)1(xy；依此类推)1(,)1()1()(nxnynn。（2）解：设,2sin2xvxu 则)50,2,1)(22sin(2)(kkxukk，),50,4,3(0,2,2)(kvvxvk 代入萊布尼茨公式，得 2)2482sin(2!249502)2492sin(25

5、0)2502sin(2)2sin(4849250)50(2)50(xxxxxxxy )2sin212252cos502sin(2250 xxxxx。5、（1）解：),1(ln)(lnxxeyxxx dxxxdyx)1(ln.（2）解：122arcsin111112222xxxxxxy 2322)1(arcsin1xxxx；dxydydxxxxx2322)1(arcsin1。6、解：首先把点)3,2(ba代入方程左边得1343422222222bbaabyax，即点)3,2(ba是切点。对双曲线用隐函数求导得,0222222yaxbybyyax 1 过点)3,2(ba的切线的斜率为,3232)3

6、,2(22abbaabbay 故过点)3,2(ba的切线方程为)2(323axabby；过点)3,2(ba的法线方程为)2(233axbaby。7、解：,01sin1sin0)0()()0(limlimlim0200 xxxxxxfxffxxx 同理0)0(f；故0)0(f。显然xxxxxxxxxf1cos1sin211cos1sin2)(22在0 x点连续，因此只需考查)(xf 在0 x点的连续性即可。但已知x1cos在0 x点不连续，由连续函数的四则运算性质知)(xf 在0 x点不连续。讨论习题：1、设,)3()(xxxxf求)(xf。2、求和nnxnxxxS2322232。3、设函数)(

7、xf在 1,1上有定义，且满足,11,)(3xxxxfx 证明)0(f 存在，且1)0(f。讨论习题参考答案：1、解：因为),3(),3(),3()(222xxxxxxxf .0,30,3xxx 易知)(xf在开区间),3()3,0()0,(内都是可导的；又 对于分段点0 x，3x，有 00)3(0)0()()0(200limlimxxxxfxffxx，1 00)3(0)0()()0(200limlimxxxxfxffxx，即0)0(f；930)3()3(2323limlimxxxxfxx，9)(30)3()3(2323limlimxxxxfxx，即)3(f 不存在；所以除3x之外)(xf在区

8、间),3()3,(內均可导，且有,36,0,63)(22xxxxxf ).3,0(,0),3()0,(xxx 2、解：因为xxxxxnn11112，212)1()1(1)1(xnxxnxxxnnn，2112)1()1(1321xnxxnnxxxnnn；1)1()122()1()1()1()1()1(1)321()32()321(3221222322121123212132223222xxnxnnxnxxxnxxnxxxnxxnxxnxxxxxnxxxxxxnxxxxnxxxSnnnnnnnnnnnn 3、证：由,11,)(3xxxxfx可知当0 x时，0)0(0 f，即0)0(f。又)0,11

9、(,0)0()()(3xxxxxxfxfxxfxx；1 已知1300limlimxxxxxxx，由两边夹定理可得 10)0()()0(lim0 xfxffx。思考题：1、若)(uf在0u不可导，)(xgu 在0 x可导，且)(00 xgu，则)(xgf在0 x处（）（1）必可导，（2）必不可导，（3）不一定可导。2、设)(xg连续，且)()()(2xgaxxf，求)(af 。思考题参考答案：1、解：正确选择是（3）例如：uuf)(在0u处不可导；若取xxgusin)(在0 x处可导，则xxgfsin)(在0 x处不可导；即（1）不正确。又若取 4)(xxgu在0 x处可导，则有44)(xxxgf在0 x处可导。即（2）也不正确。2、解：因为)(xg可导，所以)()()()(2)(2xgaxxgaxxf 又因为)(xg 不一定存在，故用定义求)(af ，)(2)()()(2)()0)()()()(limlimlimagxgaxxgaxxfafaxafxfafaxaxax