高中数学复习专题讲座(第17讲)关于某不等式证明地常用方法2859.pdf
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1、实用文案 标准文档 题目 高中数学复习专题讲座关于不等式证明的常用方法 高考要求 不等式的证明,方法灵活多样,它可以和很多内容结合 高考解答题中,常渗透不等式证明的内容,纯不等式的证明,历来是高中数学中的一个难点,本节着重培养考生数学式的变形能力,逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力 重难点归纳 1 不等式证明常用的方法有 比较法、综合法和分析法,它们是证明不等式的最基本的方法 (1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述 如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则考虑用判别式法证 (2)综合法是由因导果,而分析法是
2、执果索因,两法相互转换,互相渗透,互为前提,充分运用这一辩证关系,可以增加解题思路,开扩视野 2 不等式证明还有一些常用的方法 换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等 换元法主要有三角代换,均值代换两种,在应用换元法时,要注意代换的等价性 放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩要有的放矢,目标可以从要证的结论中考查 有些不等式,从正面证如果不易说清楚,可以考虑反证法 凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题,适宜用反证法 证明不等式时,要依据题设、题目的特点和内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤、技巧和语言特点 典型题例
3、示范讲解 例 1 证明不等式nn2131211(nN*)命题意图 本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目,考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力 知识依托 本题是一个与自然数n有关的命题,首先想到应用数学归纳法,另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等 错解分析 此题易出现下列放缩错误 1111111223nnnnnnnnn个 这样只注重形式的统一,而忽略大小关系的错误也是经常发生的 技巧与方法 本题证法一采用数学归纳法从n=k到n=k+1 的过渡采用了放缩法 证法二先放缩,后裂项,有的放矢,直达目标 而证法三运用函数思想,借助单调性,独具匠心,发人深省 证法一 (1)当n等于
4、1时,不等式左端等于 1,右端等于 2,所以不实用文案 标准文档 等式成立 (2)假设n=k(k1)时,不等式成立,即 1+k131212k,,1211)1(11)1(21121131211kkkkkkkkkk则 当n=k+1 时,不等式成立 综合(1)、(2)得 当nN*时,都有 1+n131212n 另从k到k+1 时的证明还有下列证法 ,1111212212:.12112,01),1(21)1(2,0)1()1()1(2)1(21)1(22kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk又如.12112kkk 证法二 对任意kN*,都有 .2)1(2)23(2)12(22131211),1
5、(21221nnnnkkkkkkk因此 证法三 设f(n)=),131211(2nn 那么对任意kN*都有 01)1()1(2)1(11 1)1(2)1(21111)1(2)()1(2kkkkkkkkkkkkkkkkfkf 实用文案 标准文档 f(k+1)f(k)因此,对任意nN*都有f(n)f(n1)f(1)=10,.2131211nn 例 2 求使yx ayx(x0,y0)恒成立的a的最小值 命题意图 本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力 知识依托 该题实质是给定条件求最值的题目,所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中,因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来,等价转化的思想
6、是解决题目的突破口,然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值 错解分析 本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围,此时我们习惯是将x、y与 cos、sin来对应进行换元,即令x=cos,y=sin(02),这样也得asin+cos,但是这种换元是错误的 其原因是 (1)缩小了x、y的范围 (2)这样换元相当于本题又增加了“x、y=1”这样一个条件,显然这是不对的 技巧与方法 除了解法一经常用的重要不等式外,解法二的方法也很典型,即若参数a满足不等关系,af(x),则amin=f(x)max 若 af(x),则amax=f(x)min,利用这一基本事实,可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值
7、域问题 还有三角换元法求最值用的恰当好处,可以把原问题转化 解法一 由于a的值为正数,将已知不等式两边平方,得 x+y+2xya2(x+y),即 2xy(a21)(x+y),x,y0,x+y2xy,当且仅当x=y时,中有等号成立 比较、得a的最小值满足a21=1,a2=2,a=2(因a0),a的最小值是2 解法二 设yxxyyxxyyxyxyxyxyxu212)(2 x0,y0,x+y2xy(当x=y时“=”成立),实用文案 标准文档 yxxy21,yxxy2的最大值是 1 从而可知,u的最大值为211,又由已知,得au,a的最小值为2 解法三 y0,原不等式可化为yx+1a1yx,设yx=t
8、an,(0,2)tan+1a1tan2 即 tan+1asec asin+cos=2sin(+4),又sin(+4)的最大值为 1(此时=4)由式可知a的最小值为2 例 3 已知a0,b0,且a+b=1 求证 (a+a1)(b+b1)425 证法一 (分析综合法)欲证原式,即证 4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40,即证 4(ab)233(ab)+80,即证ab41或ab8 a0,b0,a+b=1,ab8 不可能成立 1=a+b2ab,ab41,从而得证 证法二 (均值代换法)设a=21+t1,b=21+t2 a+b=1,a0,b0,t1+t2=0,|t1|21,|t2|21 实用文案
9、 标准文档.4254116254123162541)45(41)141)(141()21)(21()141)(141(211)21(211)21(11)1)(1(2242222222222222222112122221122212122tttttttttttttttttttttbbaabbaa 显然当且仅当t=0,即a=b=21时,等号成立 证法三 (比较法)a+b=1,a0,b0,a+b2ab,ab41 425)1)(1(04)8)(41(4833442511425)1)(1(2222bbaaabababababbabbaabbaa 证法四 (综合法)a+b=1,a0,b0,a+b2ab,a
10、b41 22225(1)1139(1)1251611(1)1441644abababababab 425)1)(1(bbaa即 证法五 (三角代换法)a0,b0,a+b=1,故令a=sin2,b=cos2,(0,2)实用文案 标准文档.425)1)(1(4252sin4)2sin4(412sin125162sin24.3142sin4,12sin2sin416)sin4(2sin42cossin2cossin)cos1)(cossin1(sin)1)(1(2222222222222442222bbaabbaa即得2 学生巩固练习 1 已知x、y是正变数,a、b是正常数,且ybxa=1,x+y的
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