2022年秋高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离夹角问题8541.pdf

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1、 第 2 课时 夹角问题 A 级必备知识基础练 1.已知点A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为()A.52266 B.-52266 C.52222 D.-52222 2.已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角为()A.30 B.45 C.60 D.90 3.(2021 河南洛阳模拟)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.63 B.255 C.55 D.105 4.两个平面的法

2、向量分别为(0,-1,3)和(2,2,4),则这两个平面的夹角的余弦值为 .5.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,ABC=BAD=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;(2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值.B 级关键能力提升练 6.已知在菱形ABCD中,ABC=60,将ABC沿AC折起,使得平面BAC平面DAC,则二面角B-CD-A的余弦值为()A.2 B.12 C.33 D.55 7.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为 .8.如图,三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1

3、O1平面OAB,且O1OB=60,AOB=90,OB=OO1=2,OA=3,求异面直线A1B与O1A所成角的余弦值为 .C 级学科素养创新练 9.如图,在正方形ABCD中,EFAB,若沿EF将正方形折成一个二面角后,AEEDAD=112,则直线AF与CE所成角的余弦值为 .第 2 课时 夹角问题 1.A =(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),而 cos,=|=5322=52266,故直线AB和CD所成角的余弦值为52266.2.B 如图所示,建立空间直角坐标系.设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),=(0,1,0).取PD的中点E,则E(0,12,1

4、2),=(0,12,12),易知 是平面PAB的一个法向量,是平面PCD的一个法向量,所以 cos=22,故平面PAB与平面PCD的夹角为 45.3.D 如图所示,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1),1=(-2,0,1).连接AC,易证AC平面BB1D1D,平面BB1D1D的一个法向量为 a=(-2,2,0).所求角的正弦值为|cos|=|1|1|=485=105.4.156 由(0,-1,3)(2,2,4)1+9 4+4+16=-2+121024=156,知夹角的余弦值为156.5.解(1)建立

5、如图所示的空间直角坐标系,S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),=(2,2,-2),AB平面ASD,故平面ASD的一个法向量为=(0,2,0),设SC与平面ASD所成的角为,则 sin=|cos|=|=33,故 cos=63,即SC与平面ASD所成角的余弦值为63.(2)平面SAB的一个法向量为 m=(1,0,0),=(2,2,-2),=(1,0,-2),设平面SCD的一个法向量为 n=(x,y,z),由 =0,=0 +-=0,-2=0,令z=1 可得平面SCD的一个法向量为 n=(2,-1,1),设平面SAB和平面SCD的夹角为,则 cos=|=63,即平面SAB和平面SCD

6、夹角的余弦值为63.6.D 设菱形ABCD的边长为 1,取AC的中点O,连接BO,DO,因为ABC=60,所以BOAC,又平面BAC平面DAC,平面BAC平面DAC=AC,所以BO平面ACD,如图,建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),C12,0,0,B0,0,32,D0,32,0,所以=0,0,32,=12,0,-32,=-12,32,0.设平面BCD的法向量为 n=(x,y,z),则 =0,=0,即12-32=0,-12+32=0,令z=1,得x=3,y=1,则 n=(3,1,1).易知平面CDA的一个法向量为=0,0,32,所以|cos|=32325=55.故选 D.7.104 设三棱

7、柱的棱长为 1,以B为原点,建立坐标系如图,则C1(0,1,1),A(32,12,0),1=(-32,12,1),又平面BB1C1C的一个法向量 n=(1,0,0),设AC1与平面BB1C1C的夹角为,则 sin=|cos|=|1|1|=64,故 cos=1-sin2=104.8.17 以O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,2,0),A1(3,1,3),O1(0,1,3),所以1=(-3,1,-3),1=(3,-1,-3).设所求的角为,则 cos=|1 1|1|1|=|-3-1+3|77=17,即异面直线A1B与O1A所成角的余弦值为17.9.45 因为AEEDAD=112,所以AEED,即AE,DE,EF两两垂直,所以建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=EF=CD=2,则E(0,0,0),A(1,0,0),F(0,2,0),C(0,2,1),所以=(-1,2,0),=(0,2,1),所以 cos=|=455=45,所以直线AF与CE所成角的余弦值为45.