2020中考数学复习分类汇编全国通用版中考数学6：二次函数与相似三角形问题17240.pdf

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1、专题:二次函数与相似三角形问题1.如图，在直角坐标系中，直线 y x3 与 x 轴，y 轴分别交于点 B，点 C，对12称轴为 x1 的抛物线过 B，C 两点，且交 x 轴于另一点 A，连接 AC.（1）直接写出点 A，点 B，点 C 的坐标和抛物线的解析式；（2）已知点 P 为第一象限内抛物线上一点，当点 P 到直线 BC 的距离最大时，求点P 的坐标；（3）抛物线上是否存在一点 Q（点 C 除外），使以点 Q，A，B 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.2如图，抛物线 y x2 x2 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C1232(1)试

2、求点 A，B，C 的坐标(2)将ABC 绕 AB 的中点 M 旋转 180，得到BAD求点 D 的坐标；判断四边形 ADBC 的形状，并说明理由(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点 P，使BMP 与BAD 相似？若存在，请直接写出所有满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由3.如图，已知抛物线y=ax2+bx3 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，M的半径为设5M与y轴交于D，抛物线的顶点为E（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似？若存在，请指出点P的位

3、置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由4.如图,已知直线 y=x+与抛物线 y=ax2+bx+c 相交于 A(-1,0),B(4,m)两点,抛物线 y=ax2+bx+c 交 y 轴于1212点 C 0,-,交 x 轴的正半轴于点 D,抛物线的顶点为 M.32(1)求抛物线的解析式及点 M 的坐标;(2)设点 P 为直线 AB 下方的抛物线上一动点,当PAB 的面积最大时,求PAB 的面积及点 P 的坐标;(3)点 Q 为 x 轴上一动点,点 N 是抛物线上一点,当QMNMAD(点 Q 与点 M 对应)时,求点 Q 的坐标.参考答案1.解：(1)A(4，0)，B(6，0)，C(0，3)；

4、抛物线的解析式为 y x2 x3；(4 分)1814【解法提示】令 y x30，解得 x6，令 x0，得 y3，B(6，0)，C(0，3)抛12物线的对称轴为 x1，且过点 B、A，抛物线与 x 轴的另一交点 A 的坐标为(4，0)，设抛物线的解析式为 ya(x4)(x6)，将点 C(0，3)代入得24a3，解得 a.抛物线的解析式18为 y(x4)(x6)x2 x3.181814(2)如解图，过点 P 作 PGx 轴于点 G，交 BC 于点 Q，过点 P 作 PHBC 于点 H.OC3，OB6，BC3.OC2OB25又HQPGQB，HPQCBO，故点 P 到直线 BC 的距离最大，即线段 P

5、Q 的长度最大B(6，0)，C(0，3)，直线 BC 的解析式为 y x123.设 P(m，m2 m3)，Q(m，m3)，181412PQ m2 m3(m3)181412 m2 m1834(m3)2.1898 0，18当 m3 时，PQ 有最大值为.98P(3，)(8 分)218(3)存在，点 Q 的坐标为(12，12)或(10，12)或 Q(2，3)(9 分)理由：由(1)得 A(4，0)、B(6，0)、C(0，3)，AB10，AC5.3242分为三种情况分类讨论：当ABCAQB 时，如解图所示，CABBAQ.ACABABAQAQ20，AB2AC1025sinBAQsinCAB.35过点 Q

6、 作 QDx 轴，垂足为点 D，QDAQsinBAQ20 3512，ADAQcosBAQ20 16.45Q(12，12)当ABCBQA 时，如解图所示，CABABQ.ABBQACBABQ20，AB2AC过点 Q 作 QEx 轴，垂足为点 E，同理可得 QEBQsinABQ20 12，35BEBQcosABQ20 16，45Q(10，12)当ABCBAQ 时，如解图所示，当点 Q 是点 C 关于抛物线对称轴 x1 的对称点易证ABCBAQ.Q(2，3)综上所述，点 Q 的坐标为(12，12)或(10，12)或(2，3)(13 分)2.解：（1）令 x2 x20，解得 x11，x24，则 A(1，

7、0)，B(4，0)1232当 x0 时，y2，则 C(0，2)（2）过点 D 作 DEx 轴于点 E.由旋转，得 DE2，AOBE1，OMME1.5，D(3，2)四边形 ADBC 是矩形理由：将ABC 绕 AB 的中点 M 旋转 180，得到BAD，ACBD，ADBC四边形 ADBC 是平行四边形AC，BC2，AB5，1222542225AC2BC2AB2.ACB 是直角三角形，且ACB90.四边形 ADBC 是矩形（3）由旋转，得 BDAC，ADBC2，则.55BDAD12当BMPADB 时，BM2.5，则 PM1.25，故 P(1.5，1.25)；PMBMBDAD12当BMP1ADB 时，

8、P1(1.5，1.25)；当BMP2BDA 时，同理可得 P2(1.5，5)；当BMP3BDA 时，同理可得 P3(1.5，5)综上所述，符合条件的点 P 的坐标为(1.5，1.25)或(1.5，1.25)或(1.5，5)或(1.5，5)3.解：（1）由题意可知 C（0，-3），-=1ab2抛物线的解析式为 y=ax2-2ax-3(a0)过点 M 作 MNy 轴于 N，连接 CN，则 MN=1，CN=5CN=2，m=-1同理可求 B（3，0）a=1抛物线的解析式为 y=x2-2x-3(2)RtCOARtBCE 此时点 P1（0，0）过点 A 作 AP2AC 交 y 轴正半轴于点 P2，由RtC

9、AP2RtBCE，得 P2（0，）31过点 C 作 CP3AC 交 x 轴的正半轴于点 P3，由 RtP3CARtBCE，得 P3（9，0）所以在坐标轴上存在点 P1（0，0）P2（0.）P3（9，0）使得 P、A、C 为顶点的三角形与BCE31相似。4.解:(1)将 B(4,m)的坐标代入 y=x+,得1212m=4+=B 4,.12125252将 A(-1,0),B 4,C 0,-的坐标分别代入 y=ax2+bx+c,5232得解得 +=0,16+4+=52,=32.=12,=1,=32.抛物线的解析式为 y=x2-x-,1232y=(x2-2x)-=(x-1)2-=(x-1)2-2,故顶

10、点 M 的坐标为(1,-2).123212123212(2)如图,过点 P 作 PEx 轴,交 AB 于点 E,交 x 轴于点 G,过点 B 作 BFx 轴于点 F.A(-1,0),B 4,AF=4(1)=5.52设点 P 的坐标为 n,n2-n-,1232则点 E 的坐标为 n,n+.1212点 P 在直线 AB 下方,PE=n+-n2-n-=-n2+n+2.SPAB=SAPE+SBPE=PEAG+PEFG=PE(AG+FG)=121212321232121212PEAF=5-n2+n+2=-.当 n=时,PAB 的面积最大,且最大面积为.当 n=1212123254(32)2+125163

11、212516时,n2-n-=-,故此时点 P 的坐标为,-.32123212(32)2323215832158(3)抛物线的解析式为 y=x2-x-=-2,123212(1)2抛物线的对称轴为直线 x=1.又A(-1,0),点 D 的坐标为(3,0).又M 的坐标为(1,-2),AD=3(1)=4,AD2=42=16,AM2=1-(-1)2+(-2)2=8,DM2=(13)2+(20)2=8,AD2=AM2+DM2,且 AM=DM.MAD 是等腰直角三角形,AMD=90.又QMNMAD,QMN 也是等腰直角三角形且 QM=QN,MQN=90,QMN=45.又AMD=90,AMQ=QMD=45,此时点 D(或点 A)与点 N 重合(如图),此时 MQx 轴,故点 Q 的坐标为(1,0).