2020中考数学复习分类汇编全国通用版中考数学2：二次函数与平行四边形问题17078.pdf

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1、专题：二次函数与平行四边形问题1.如图，抛物线 yax2bx6 经过点 A（2，0），B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C.点 D 是抛物线上一个动点，设点 D 的横坐标为 m（1m4）.连接 AC，BC，DB，DC.（1）求抛物线的函数表达式；（2）当BCD 的面积等于AOC 的面积的 时，求 m 的值；34（3）在（2）的条件下，若点 M 是 x 轴上一动点，点 N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点 M，使得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.2.如图，抛物线 yx23x4 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A

2、 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 N，过 A点的直线 ykxn 与 y 轴交于点 C，与抛物线 yx23x4 的另一交点为 D，已知 D(5，6)P点为抛物线 yx23x4 上一动点(不与 A、D 重合)(1)求直线 AD 的表达式及 A、B、C 三点的坐标；(2)当点 P 在直线 l 上方的抛物线上时，过 P 点作 PEx 轴交直线 l 于点 E，作 PFy 轴交直线 l于点 F，求 PEPF 的最大值；(3)设 M 为直线 l 上的点，探究是否存在点 M，使得以点 N、C、M、P 为顶点的四边形为平行四边形若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由3.如图，抛物线 y x2 x

3、2，与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点1412C，抛物线的对称轴为 l.（1）求点 A，B，C 的坐标；（2）若点 D 是第一象限内抛物线上一点，过点 D 作 DEx 轴于点 E，交直线 BC 于点 F，当OE4DF 时，求四边形 DOBF 的面积；（3）在（2）的条件下，若点 M 在抛物线上，点 N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.4.如图，在平面直角坐标系中，直线 y x2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线12y x2bxc

4、 经过 A，B 两点且与 x 轴的负半轴交于点 C.12(1)求该抛物线的表达式；(2)若 D 为直线 AB 上方抛物线上的一个动点，当ABD2BAC 时，求 D 点的坐标；(3)已知 E，F 分别是直线 AB 和抛物线上的动点，当以 B，O，E，F 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的 E 点的坐标5.如图，抛物线 yax26xc 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C.直线 yx5 经过点 B，C.（1）求抛物线的解析式；（2）过点 A 的直线交直线 BC 于点 M.当 AMBC 时，过抛物线上一动点 P（不与点 B，C 重合），作直线 AM 的平行线交直线 BC

5、于点 Q，若以点 A，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的横坐标；6如图，抛物线经过 A（1，0），B（5，0），C（0，）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标；（3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a0），A（1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，解得抛物线的解析式为：y=x22x；（2）抛物线的解析式为：y=x22

6、x，其对称轴为直线 x=2，连接 BC，如图 1 所示，B（5，0），C（0，），设直线 BC 的解析式为 y=kx+b（k0），解得，直线 BC 的解析式为 y=x，当 x=2 时，y=1=，P（2，）；（3）存在如图 2 所示，当点 N 在 x 轴下方时，抛物线的对称轴为直线 x=2，C（0，），N1（4，）；当点 N 在 x 轴上方时，如图，过点 N2作 N2Dx 轴于点 D，在AN2D 与M2CO 中，AN2DM2CO（ASA），N2D=OC=，即 N2点的纵坐标为x22x=，解得 x=2+或 x=2，N2（2+，），N3（2，）综上所述，符合条件的点 N 的坐标为（4，），（2+，）

7、或（2，）参考答案1.解：(1)抛物线 yax2bx6 经过点 A(2，0)，B(4，0)，4a2b60，16a4b60.)解得a34，b32.)抛物线的函数表达式为 y x2 x6；3432(2)如解图，过点 D 作直线 DEx 轴于点 E，交 BC 于点 G.作 CFDE，垂足为点 F.点 A 的坐标为(2，0)，OA2.由 x0，得 y6.点 C 的坐标为(0，6)OC6.SAOC OAOC 266.1212SBCD SAOC，34SBCD 6.3492设直线 BC 的函数表达式为 ykxn(k0)由 B，C 两点的坐标得4kn0，n6，)解得k32，n6.)直线 BC 的函数表达式为

8、y x6.32点 G 的坐标为(m，m6)32DG m2 m6(m6)343232 m23m.(6 分)34点 B 的坐标为(4，0)，OB4.SBCDSCDGSBDG DGCF DGBE DG(CFBE)121212 DGBO12(m23m)41234 m26m.32 m26m.3292解得 m11(舍去)，m23.m 的值为 3；(3)存在以 B，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，点 M 的坐标为(8，0)或(0，0)或(，0)或(，0)1414【解法提示】由(2)可知 m3，将 m3 代入抛物线表达式得 y，D(3，)154154设点 N 的坐标为(n，n2 n6)，当以 B，D，

9、M，N 为顶点的四边形是平行四边形时，分四3432种情况：当 DNBM 时，此时 N(n，)，154可得 n2 n6，3432154解得 n11，n23(舍)，N(1，)154()如解图，以 BD 为对角线，M(8，0)；()如解图，以 BD 为边，M(0，0)；当 BDMN 时，BD 为边，BM 为对角线，此时 N(n，)，即 n2 n6，1543432154解得 n11，n21.1414()当点 M 在点 y 轴左侧时，n1，如解图，14N(1，)，14154M(，0)；14()当点 M 在 y 轴右侧时，n1，如解图，14N(1，)，14154M(，0)14综上所述，存在以 B，D，M，

10、N 为顶点的四边形是平行四边形，点 M 的坐标是(8，0)或(0，0)或(，0)或(，0)14142.解：(1)令x23x40，解得 x11，x24，点 A 在点 B 的左侧，A(1，0)、B(4，0)，将 A(1，0)、D(5，6)代入 ykxn 中，得解得kn0，5kn6，)k1，n1，)直线 AD 的表达式为 yx1，令 x0，得 y1，C(0，1)；(2)设 P(m，m23m4)，则 F(m，m1)，PFyPyFm24m5，由题意得 OAOC，OACOCA45，PEx 轴，PFy 轴，PEFPFE45，PEPF.PEPF2PF2(m24m5)2m28m102(m2)218，20，1m5

11、，当 m2 时，PEPF 取得最大值，其最大值为 18；(3)存在点 M，使得以点 N、C、M、P 为顶点的四边形为平行四边形，易得 NC5，下面分两种情况进行讨论：当线段 NC 为平行四边形的一条边时，有 NCPM，NCPM 或 NCMP，NCMP，设M(m，m1)，则 P(m，m23m4)|yMyP|5 即|m1m23m4|5，m24m55 或 m24m55，解得 m12，m22或 m10(不合题意，舍去)m24，1414点 M 坐标为(2，3)，(2，3)，(4，5)；14141414当线段 NC 为平行四边形的一条对角线时，有 NC 和 PM 互相平分，如解图，分别过点 P、M作 y

12、轴的垂线，垂足分别为 H、R，连接 MP 交点 y 轴于点 I，易得 I(0，)，PHIMRI，32PHMR，RIHI.PHMR，xMxP，设 M(m，m1)，则 P(m，m23m4)，RIHI，yM yP，3232即m1 (m23m4)，解得 m10(不合题意，舍去)，m24，3232当 m4 时，m13，点 M 坐标为(4，3)；综上所述，共存在四个点 M，都能使得以点 N、C、M、P 为顶点时四边形为平行四边形它们的坐标分别为(2，3)，(2，3)，(4，5)，(4，3)141414143.解：(1)令 y0，得 x2 x20.1412解得 x12，x24.点 A 在点 B 的左侧，点

13、A 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为(4，0)令 x0，得 y2，点 C 的坐标为(0，2)；(2)设直线 BC 的函数解析式为 ykxb，将 B(4，0)，C(0，2)代入得解得4kb0，b2，)k12，b2.)直线 BC 的函数解析式为y x2.12设点 D 的坐标为(m，m2 m2)，则点 F 的坐标为(m，m2)，点 E 的坐标为(m，0)141212点 D 在第一象限，m0.又OE4DF，m4 m2 m2(m2)141212解得 m15，m20(舍去)点 E 的坐标为(5，0)，点 D 的坐标为(5，)，点 F 的坐标为(5，)7412S四边形 DOBFSOEDSBEF 5 1；

14、12741212338(3)存在符合题意的点 M.理由如下：1，b2a设点 N 的坐标为(1，n)当 NB 为对角线时，如解图所示，点 M 的坐标为(0，n)，74代入 y x2 x2，得 n 2.141274此时点 M 的坐标为(0，2)；当 ND 为对角线时，如解图所示，点 M 的坐标为(2，n)，74代人 y x2 x2，得 n 1122.141274此时点 M 的坐标为(2，2)；当 BD 为对角线时，如解图所示，点 M 的坐标为(8，n)，74代人 y x2 x2，得 n164210.141274此时点 M 的坐标为(8，10)综上所述，存在以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是平行

15、四边形，点 M 的坐标分别为(0，2)或(2，2)或(8，10)4.解：(1)在 y x2 中，令 y0，得 x4，令 x0，得 y2，12A(4，0)，B(0，2)把 A(4，0)，B(0，2)代入 y x2bxc，12得12 164bc0，c2，)解得b32，c2.)抛物线的表达式为 y x2 x2；1232(2)如解图，过点 B 作 x 轴的平行线交抛物线于点 E，过点 D 作 BE 的垂线，垂足为点 F.BEx 轴，BACABE.ABD2BAC，ABD2ABE.即DBEABE2ABE.DBEABE.DBEBAC.设 D 点的坐标为(x，x2 x2)，1232则 BFx，DF x2 x.

16、1232tanDBE，tanBAC，DFBFBOAO，即.DFBFBOAO12x232xx24解得 x2.当 x2 时，x2 x23，1232点 D 的坐标为(2，3)；(3)E 点的坐标为(2，1)或(22，1)或(22，1)或(22，3)或222222(22，3)22【解法提示】如解图，当 BO 为边时，OBEF，且 OBEF，设 E(m，m2)，F(m，m2 m2)，121232EF|(m2)(m2 m2)|2，121232解得 m12，m222，m322，22E 点的坐标为(2，1)或(22，1)或(22，1)；2222如解图，当 BO 为对角线时，OB 与 EF 互相平分，过点 O

17、作 OFAB，直线 OF：y x 交抛物线于点 F(22，1)或(22，1)122222设 OB 的中点为 P，则 P(0，1)则 EF 所在直线过点 P.求得直线 EF 的表达式为 yx1 或22yx1，22直线 EF 与 AB 的交点为 E，联立得y22x1，y12x2，)或y22x1，y12x2，)解得x12 22，y13 2，)或x22 22，y23 2，)E 点的坐标为(22，3)或(22，3)2222综上所述，E 点的坐标为(2，1)或(22，1)或(22，1)或(22，3)或(22222222，3)225.解：(1)直线 yx5 交 x 轴于点 B，交 y 轴于点 C，B(5，0

18、)，C(0，5)抛物线 yax26xc 过点 B、C，025a30c5c)a1c5)抛物线的解析式为yx26x5.(2)OBOC5，BOC90，ABC45.抛物线 yx26x5 交 x 轴于 A，B 两点，A(1，0)，AB4，AMBC，AMABsinABC2.2PQAM，PQBC.若以点 A，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，则 PQAM2.2如解图，过点 P 作 PDx 轴交直线 BC 于点 D，则PDQ45，PDPQ42设 P(m，m26m5)，则 D(m，m5)分两种情况讨论如下：()当点 P 在直线 BC 上方时，PDm26m5(m5)m25m4，m11(舍去)，m24.()当

19、点 P 在直线 BC 下方时，PDm5(m26m5)m25m4，m3，m4；5 4125 412综上所述，点 P 的横坐标为 4 或或；5 4125 4126.解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a0），A（1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，解得抛物线的解析式为：y=x22x；（2）抛物线的解析式为：y=x22x，其对称轴为直线 x=2，连接 BC，如图 1 所示，B（5，0），C（0，），设直线 BC 的解析式为 y=kx+b（k0），解得，直线 BC 的解析式为 y=x，当 x=2 时，y=1=，P（2，）；（3）存在如图 2 所示，当点 N 在 x 轴下方时，抛物线的对称轴为直线 x=2，C（0，），N1（4，）；当点 N 在 x 轴上方时，如图，过点 N2 作 N2Dx 轴于点 D，在AN2D 与M2CO 中，AN2DM2CO（ASA），N2D=OC=，即 N2 点的纵坐标为x22x=，解得 x=2+或 x=2，N2（2+，），N3（2，）综上所述，符合条件的点 N 的坐标为（4，），（2+，）或（2，）