2021年自招模拟卷(三)(教师版)16002.pdf

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1、1 自招模拟卷（三）1.点3,3P关于直线12yx的对称点坐标为_ 【答案】21 3,5 5【解析】设对称点为,s t，3133221 3222,3295523ststs tttss 2.若实数x满足211xx，则52xx的值为_【答案】1【解析】211xx，321xx，代入到52xx中得：原式=2212xxx=422xxx=2212xxxx=322xx=1 故答案为 1 3.某项工作，甲单独完成的天数是乙、丙合作完成天数的 m 倍，乙单独完成天数是甲、丙合作完成天数的 n 倍，丙单独完成的天数是甲、乙合作完成天数的 k 倍，则111mnkmnk_ 【答案】2【解析】由题意设甲、乙、丙单独完成

2、的天数分别为x、y、z，2 则111111111111mxyznmyzyxzmxyzkzxy原式2 4.在ABC中，AD 是 BC 边上的中线，若30B，45ADC，则ACD_ 【答案】105【解析】法一：设ABC的高AHh，则 313123CDBDhCHhhh，:1:2375105CHAHACHACD 法二：设sinsin30sin45sin15xADADACDxxCDBD sinsin15sin452sin15 cos15sin30 sinsin45sin75xxxx cos30cos30cos120cos30 xxxx ，30120360105xxkx 5.在平面直角坐标系xOy中，等边

3、ABC的顶点 B、C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴（包括坐标原点）上，顶点 A 在第一象限，已知2AB，则 O、A 两点间距离的最大值为_ 【答案】13【解析】设BC中点为K，1OK，313KAOAOKKA，当45CBO时等号成立 A B D C 3 6.已知函数 211f xxx的图象上有一点2,m n，其中 m，n 是正整数，则m nn_【答案】111【解析】由题意2211nmm 22244444214322122143nmmmnmnm 22143nm，2211nm，11n，10m，111m nn 7.用若干个体积为 1 的正方体搭成一个几何体，该几何体正视（从正面看）与俯视（从上面垂

4、直向下看）都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积是_ 【答案】11【解析】正面看第一层最多 5 个，第二、三层每层最多 3 个，共最多 11 个正方体 8.若 x 是实数，则122334455yxxxxx的最小值为_【答案】15【原式】1422533534xxxxxxx 4 12523533 036615 ，当4x 时等号成立 9.六位数 123123 含有质因数的个数是_ 【答案】5 4 【解析】12312310011233711 1341 10.已知811222n是一个正整数的平方，那么正整数n _【答案】12【解析】原式 82921mod3nn，于是n为偶数，当8n，原式829 21

5、nn，而892n为完全平方数，此时无解；当10n，原式88292n，设88822229922nnnttt 195122tn 11.解方程：22232331xxx xx【答案】1x 【解析】222222332334334xxx xxxxxx，22332xxx或221xx或17，经验证1x 是原方程的解 12.如图，在ABC中，45BAC，ADBC，垂足为 D，3BD，2CD，求 AD 的长【答案】6【解析】设ADa，则222225232ABCaaSa 24242501336373601aaaaaa或 6 由2CADCADCD 得6a A B C D 5 13.证明：54544545是合数【答案】

6、略【解析】证：54544545 2254522545 2254554522545222254554522545 22545227325452545 545227354522732545254525452545 显然5452273254525451，5452273254525451 故54544545是合数 14.7221能被 500 至 600 中的若干个数整除，试写出三个这样的数【答案】511，513，545【解析】7221363621 2118183621 21 21 99183621 21 21 21，950021511600，950021513600，找到 2 个符合条件的数 继续分解

7、1821 1821 2999222122 29102129595212212 ，95500212545600，符合条件 综上 511，513，545 为符合条件的三个因数 15.已知a，b，c为实数，且2221abc，1111113abcbcacab，求abc【答案】0，1，1 6 【解析】将等式1111113abcbcacab 去分母得：2222223a ca bb ab cc ac babc，2222220a ca babcb ab cabcc ac babc，0a abbccab abbccac abbcca，0abcabbcca 故0abc或0abbcca 若0abbcca，2221a

8、bc，22222210abcabbcca，21abc，1abc 综上0abc，1，1 16.证明：对任何整数x和y，代数式543223453515412xx yx yx yxyy的值都不会等于 33【答案】略【解析】证：543223453515412xx yx yx yxyy 422435343xxyx yxyyxy4222354xyxx yy 222234xyxyxy322xyxyxyxyxy 另一方面33311，故33至多分解为4个不同的因数乘积，如 3311 3 11 而对于代数式322xyxyxyxyxy，若0y，显然3xy，2xy，2xy，xy，xy互不相同，即为 5 个不同整数的乘

9、积，故其不可能为 33 若0y，则533x，显然不存在整数x满足条件 7 综上，对任何整数x和y，代数式543223453515412xx yx yx yxyy的值都不会等于 33 17.由 2016 个不同的实数组成一个数集 A，对于 A 中任意两个不同的数 m 与 n，数22mn都是有理数证明：对于数集 A 中的任何一个数 a，2a是有理数【答案】略【解析】取三个数集A中的不同数a、b、c，22ba、22bc均为有理数，2 ac为非 0 有理数，又由22ab、22cb为有理数，22acacact为有理数，222acact，222tacac为有理数2 222aacac为有理数，2a为有理数，

10、根据a的任意性，命题成立 8 【课后作业】1.（15 分）边长为 2 的正三角形面积为1S，边长为 1 的正六边形面积为2S，则12SS_ 【答案】23【解析】2122322433614SS 2.（15 分）平面直角坐标系，若坐标原点到直线20ykxk的距离等于3，则 k 的值等于_ 【答案】33【解析】220203331kk 3.（15 分）ABC中，64CAB，平面上点 P 满足PAPBPC，则PCB_【答案】26【解析】由题意P是ABC外心，则12826CPBPCB 4.（15 分）已知n为正整数，且71998444n是一个完全平方数，则n的值为_【答案】1003n 或 3988【解析】

11、2227199871998444222nn 分 3 种情况讨论：C P A B 9 若 272为交叉项，有1998142222n，不存在正整数n符合条件；若 22n为交叉项，有7199822222n，2006222n，1003n；若219982为交叉项，有739962222n，8399622n，3988n 综上，1003n 或 3988 5.（20 分）按下面规则扩充新数：已有两数a，b，可按规则cabab扩充一个新数，在a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，每扩充一个新数叫做一次操作 现有数 1 和 4，（1）求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；（2）能否通过上述规则扩充得

12、到新数 1999，并说明理由【答案】（1）499；（2）可以【解析】（1）一次操作后得到三个数为 1，4，9；要使得到的数尽可能大，则应挑选大的两个数进行操作，即选 4 和 9，故两次操作后得到的数为 1，4，9，49；同理，三次操作后得到的数为 1，4，9，49，499 操作三次得到扩充的最大新数为 499（2）111cababab，则扩充后有a，b，c三个数 若选a，c扩充，则 21111111111dacaabab ；若选b，c扩充，则21111111111ebcbabab 以此类推，若 111mnxab和a扩充，得到的数1111mnxab；若 111mnxab和b扩充，得到的数 111

13、1mnxab 10 431999200011 1411，故在每次得到新数后，3 次和 1 扩充，2 次和 4 扩充，经过 5 次操作，即可得到新数 1999 6.（20 分）已知多项式32xbxcxd的系数都是整数若bdcd是奇数，证明：这个多项式不能分解成两个整系数多项式的乘积【答案】略【解析】若32xbxcxd分解成两个整系数多项式的乘积，令322xbxcxdxmxnxr（m，n，r为整数），有3232xbxcxdxmn xrmn xmr，比较系数得bmncmnrdmr依题意有bdcdd bcmr mnrmn为奇数 由奇偶性分析得m，r，mnrmn 均为奇数，另一方面1mnrmnmrn m，m，r为奇数，1m 为偶数，1n m为偶数，mnrmn 为偶数，矛盾 故这个多项式不能分解成两个整系数多项式的乘积